杆的模型应用及受力情况分析
杆的模型应用及受力情况分析
中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中，只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身———理想化模型(如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简谐振动等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等……)，再对模型进行研究，得出有关的定义、概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。即从实际问题分析
总结得出模型研究得出规律运用解决实际问题。因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用模型是解决问题的关键。
物理学中杆是很常见的。由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力，有时可能是切力。其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。正是因为这样，实际中在没有明确给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模型。但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质粗杆，即轻质粗杆模型。
对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零，这是分析轻质杆受力问题的依据。现举例分析两种模型的应用。
例1．小车上有轻质杆支架，B端固定一质量为m的小球，ADC端为铰链，D为AB 的中点，CB两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD杆对AB杆的作用力各多大2）当小车以加速度a向左运动时，球和CD杆对AB杆的作用力又怎样分析：1）当小车
静止时，系统平衡，要
分析小球和CD杆对AB
杆的作用力，必须先分析
小球和CD杆的受力情况。
以小球为研究对象：受力
如图1a，这时有F1＝mg,
即小球给AB杆的作用力
大小为mg,方向竖直向下。
以CD杆为研究对象：C端
和D端各受一个力作用
（CD为轻质细杆，不计杆
的重力）而平衡，这两个力
一定合力为零，合力矩为零。
受力如图1b，其方向一定沿
CD连线，大小相等，方向
相反，与CD的形状无关。
因此AB杆受力如图1c，
以A为轴，由ΣM＝0得：
F1‘ABsinα－N1’ADsin(180o－2α)=0
所以N1‘＝mg/cosα2）当小车以加速度a 向左运动时，以小球为
F
1
m
g
图1a
D
C
图1b
A
N1‘
αD
CB
F1‘
图1c
A
研究对象，这时杆给小
球的作用力既有竖直分
量和mg 平衡；又有水
平分量产生加速度a,
如图1d ，有F 2＝m 22a g ，
tg θ＝a/gCD 杆的受力如前。
故对AB 杆，受力如图1e 以A 为轴，由ΣM ＝0得：
F 2‘ABsin(α－θ)－N 2‘ADsin （180o －2α）＝0 所以N 2’＝m(gtg α-a)/sin α
可见，当a 杆中有压力沿D 指向C ，AB 杆的B 端F 2‘不沿杆。 当a ＝gtg α时，θ＝α，CD 杆中无力，AB 杆B 端F 2‘ 沿AB 杆。 当a>gtg α时，θ>α,CD 杆中有拉力，沿CD 方向，AB 杆B 端F 2‘的反向延长线在∠ABC 内。 例2．如图2所示，质量均为m 的小球ABCD 分别用轻质杆相连，AB ＝CD ＝2L ，AC 、BD 、OE 为细绳，且AC ＝BD ＝L ，E 为AB 的中点，试求：BD 剪断瞬时，OE 绳内的张力 分析：因为杆为轻质杆， 每个小球及杆的受力如图 2a,下杆不受力（否则不能 满足合力为零， 合力矩为零）， 而a 1a 2a 3一定 相等（因为AC 间绳不可伸长 AE ＝BE ） 由此可得方程： mg ＋T 1—N 1＝ma ① N 2－mg ＝ma ② Mg －T 1＝ma ③ N 1L ＝N 2L ④ 解得：N 1＝N 2＝4mg/3 所以T ＝N 1＋N 2＝8mg/3 例3、质量为m ＝6kg 半径为R 的球B ，固定在与半径等长的轻杆AD 的一端，另一端可绕A 转动，球搁在放置于水平地面的物体C 上，此杆水平，如图3，球与物体间的动摩擦因数μ＝，将物体从球下匀速向右抽出，则杆的两端受到的力如何 (g ＝10m/s 2) 分析：杆球受 力情况如图3a,杆 球受力可转化为 三个共点力,F A 必 过A 、E 力情况如图以为A ΣM ＝0mg2R ＝F 2 Θ mg 图1d O AEB CD 图2 N 1TN 2 a 1T 1a 2 T 1mgN 1N 2mg a 3mgmgg 图2a AD B C 图3 N F A F D1， F D2， F D1F D2f mg 图3c f ＝μN 解得：N ＝50N 所以，f ＝20N 故将F A 分解为竖直分量F Ay ＝mg －N ，水平分量F Ax ＝f,则： F A ＝22)(N mg f -+＝105N 方向与水平成tg α＝1/2 同理，球受到AD 杆D 端的力过D 、E 两点，受力如图 3b 。 F D 方向与水平成45°角。 仔细分析球的受力情 况就会发现存在严重的 问体，球受力不满足平 衡条件。对球无论F D 的 大小怎样，要竖直方向 平衡，则水平方向不平 衡；要水平方向平衡，则竖直方向不平衡。为什么会出现这样的结果呢原因是这种情况下把杆看成理想的细杆，与球接触处为一个点，即把杆看成轻质细杆模型是错误的。假如杆与球接触处真为一个点，拉动C 物体时杆受合力矩不为零，必然转动，D 处必被折断。所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动C 时，杆与球之间有两个力F D1、F D2，且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。杆球受力如图3c ，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。 例4、一根长为2L ，质量不计的硬杆，杆的中点和 右端各固定一个质量为m 的小球a 、b ，杆可带着两 小球在竖直面内绕O 点转动，若杆从水平位置静止 释放，当杆下落到竖直位置时，如图4所示，求 两小球之间的杆 AB 对a 、b 小球 做的功并分析 AB 杆的受力情况 分析：a 、b 两球在下摆的过程中系统机械能守恒。因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O 转动的角速度相等，故a 、b 两球在竖直位置时速度关系为： V b ＝ω?2L ＝2ω?L ＝2V a ① 以过O 点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得：21m 2a V ＋2 1m 2b V －mgL －mg2L ＝0② 解①②得：V a ＝56gL V b ＝524gL 杆对a 球做的功等于a 球的机械能增量，即W a ＝21m 2a V －mgL ＝－52mgL 即杆对a 球做负功5 2mgL 。 杆对b 球做的功等于b 球的机械能增量，即W b ＝21m 2b V －mg2L ＝5 2mgL 即杆对b 球做正功5 2mgL 。可见杆对a 、b 两球做功的代数和为零。 既然杆AB 对a 、b 球都做功，那么杆的受力情况怎样呢这又牵涉到杆的模型问题，若取 轻质细杆模型，则受力如图4a N F D D Ef mg 图3b OaABb 图4 F a1 F a2’F b1’ F a2 F b2F b2’ F a1’ 图4bF b1 这种情况对a、b 两球受力看不出问题，但对AB 杆受力则很容易 看出F' a 和F' b 的 合力矩不为零， 不满足力矩平衡条件。果真这样的话，OAB将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。 问题出在哪里呢问题还出在对AB杆的模型应用上。在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处不再是一个点，而是一个面。杆受力情况应为图4b所示。图中a球受到杆给的 F a1、F a2的作用，其切向分量对a球来说与运动方向相反，故做负功；F a1、F a2径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a球做圆周运动的向心力。对b球来说，杆给它的力F b1、F b2的切向分量与速度方向相同，故做正功；其径向分量和重力的径向分量共同提供b球做圆周运动的向心力。对杆AB来说，A端受到F a1’、F a2’作用，B端受到F b1’、F b2’作用，其中F a1’＝F b1’、F a2’＝F b2’，而力偶F a1’、F b1’，F a2’、F b2’的力矩大小相等，转动方向相反，这样对杆合力为零，合力矩也为零，满足平衡条件。 综上所述，在分析轻杆的受力时，要根据实际情况，正确应用杆的模型，才能得出正确的结论,才能解开有些问题的症结。