矩形中的折叠问题教案
课题：矩形中的折叠问题
114中学 张爱
教学目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中
的折叠问题.
过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想
解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感
受数学学习的乐趣.
教学重点：解决矩形中的折叠问题.
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学
教学过程
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（一）课堂引入
师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.
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（二）讲授新课
例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F .
师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗 生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ；
∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ；
师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质
生：△EBD ?△CBD ?△ADB 且都是直角三角形，△ABF ?△EDF ；△FBD 是等腰三
角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）.
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师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰
三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：
（1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数．
B C
D
E F
A
（2） 若4=AB ，8BC =，求AF ．
解：（1）∵矩形ABCD 中，∠C =90°，又∵翻折，∴∠E =∠C =90°，
∵∠ADE =20°，∴∠EFD =70°.∵AD ∥BC ，∴∠FDB =∠DBC ， 又∵∠FBD =∠DBC ，∴ ∠FBD =∠FDB ，∴∠FBD =35°.
（2）∵∠FBD =∠FDB ，∴FB=FD ，设AF 为x ，则FD=FB= 8-x ，在△ABF 中，∠
A =90°，222AF A
B BF +=，因此，()222
48+=-x x ，解得3=x ，∴AF =3.
[
【小结】
师生共同小结，教师进行归纳： 将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.
图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一
定要注意挖掘出图中的基本几何图形.
例2：将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与点D 重合， 点A 落在点G 处.
师：请你分析出图中存在着哪些数量关系.
生：AB=DC=DG ，BF=DF=DE ，AE=EG=FC ；∠G =∠A=90°， '
∠CDF =∠GDE ，∠DFC =∠DEG ，∠BFE =∠DFE =∠FED ；
△DGE ?△DCF ，且都是直角三角形，△DEF 是等腰三角形；并且四边形EABF 与四边形EGDF 关于直线EF 对称.
师：下面我们来看具体问题： （1） 判断四边形BFDE 的形状；
（2） 若AB =2，BC =4，求折痕EF 的长. 解：（1）四边形BFDE 是菱形
证法一： ∵B 与D 关于直线EF 对称 ∴EF ⊥BD ，且BO=OD ,
∵AD ∥BC
∴EO ：OF=BO ：DO ∴EO=OF
∴四边形BFDE 是菱形.
A
B
C
E
G '
D
A
B
C
[
E
G
D
O
证法二： ∵ED 平行且等于BF
∴四边形BFDE 是平行四边形
∵△DGE ?△DCF ，ED=DF
∴四边形BFDE 是菱形
$
（2）∵四边形BFDE 是菱形
∴DC BF EF BD S ?=?=
2
1
21 设FC 为x ，则FD=FB= 4-x ，在△DFC 中，2
2
2
FC DC DF +=，因此，
()222
24+=-x x ，解得5.1=x ，∴FC = ，BF=
又∵DC =2 ，BD =52 ∴22
5
52?=
?EF ， EF =25. 这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.
【小结】
师生共同小结，教师适当归纳：
例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. :
回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工
具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.
例3：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好 落在BC 边上F 点处.
问题：若=∠EFC sin 3
1
，求tan ∠DAE .
师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.
生：图中的主要关系有：A FE DE ???A ，B F A ?∽FCE ?，?=∠=∠=∠=∠90AFE D C B ，勾股定理可以用于任何一个直角三角形. ?
解：∵∠B=∠C=∠AFE =90°，∠BAF +∠BFA =90°，∠BFA +∠EFC =90°，
∴∠BAF=∠EFC ，∴∴B F A ?∽FCE ?
F
E
D
C
B
A
∴3
1
AF BF FE EC sin ===∠EFC 设EC 为a ，则EF=ED =3a ，∴AB =DC =4a ， ∴AF=a 23 ∴AD=a 23
∴tan ∠DAE=
2
2
233a AD DE =
=a 【小结】
师生共同小结：
本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或60°角或120°角）时，则会出现相似图形.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.
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（三）课堂小结
这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.
学生畅谈感受和收获.
教师总结：
以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.
首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.
其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.
再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法.
图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.
（四）布置作业
完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.