数列求和经典例题

数列通项的方法

⑴利用观察法求数列的通项.

⑵利用公式法求数列的通项：①???≥-==-)2()

111n S S n S a n n

n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.

⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ ⑶构造等差、等比数列求通项：

① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.

[示例]已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式为()

223N n n n S n ∈-=，求}{n a 的通项公式。

题型一利用公式法求通项

[例]数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；

(2)等差数列{b n }的各项为正数，前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .

[练3]数列{a n }是公差大于零的等差数列，2a ,5a 是方程2

x 02712=+-x 的两根。数列{}n b 的前n 项和为n T ,

且n T 2

1-=n b ()*∈N n ，求数列{}n a ,{}n b 的通项公式。

3.已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n +1·a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。

[例]已知}{n a 的首项11=a ，)(2*1N n n a a n n ∈+=+，

，求}{n a 的通项公式，并求100a 的值。

题型二应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

[练1]数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a ( )

.A 12-n .B 2n .C 1

)1(

-+n n

n .D n

[练2]已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2，求数列{}n a 的通项公式.

[例]数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( )

A 811 .

B 8180- .

C 271 .

D 27

26-

题型三构造等比数列求通项 [练1]数列{}n a 中，()212

,111≥+==-n a a a n n ，求通项公式n a 。

[例]已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

[练2]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n

n n ，设n n n S b 3-=，求数列{}n b 的通项

公式．

数列求和方法

1.基本数列的前n 项和

⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ????

?????+?-++=n b n a d n n na a a n n 2

11)1(212)(

⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ：

①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q

a a q q a S n n n --=

--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.

题型一公式法、性质法求和

1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a

2.等差数列{}n a 中，公差2

=d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a .

[例1]求数列，，，，，)21(813412211n

n +的前n 项和n S .

题型二拆项分组法求和

[练2]在数列{}

n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*

N .

（1）求数列{}n

a 的通项公式;（2）设数列{}n

a 的前n 项和为S n ，求S n

。

[练].求数列{

)

12(-n 的前n 项和n S

[例].求和：)

1(1431321211+++?+?+?n n .

题型三裂项相消法求和

[例].求和：n

n +++++++++11

341231121 .

[例]求和：n

+++++

++++++ 3211

32112111

[练4]已知数列{}n a 满足()

1112,1N n a a a n n ∈+==+

(1) 求数列{}n a 的通项公式。（2）若数列{}n b 满足()n

n nb b b b a n 144

4411

3121321+=?????+---，求数列{}n b 的通项公

式。（3）若1

2+=n n n

n a a c ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

【示例】以a 1为首项等比数列，q 为公比，前n 项和S n 的推导

题型四错位相减法求和

[例].设数列{}n a 为 n

n 224,23,22,213

?????()0≠x 求此数列前n 项的和

[例].设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32

a 3＋…＋3

n －1

a n ＝n 3

，n∈N *

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n

a n ，求数列{

b n }的前n 项和S n .

[练1]已知数列}{n a 、}{n b 满足11=a ，32=a ，

)(2*1

N n b b n

n ∈=+，n n n a a b -=+1。

（1）求数列}{n b 的通项公式；

（2）数列}{n c 满足2log (1)n n n c b a =?+)(*

N n ∈，求12......n n S c c c =+++。

[练4]等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n,12321-=???+++n n a a a a ,求2

232221n a a a a +???+++的值

(

2.-n A ()

1.-n

B 14.n -C

()

143

1.-n

课后练习

1设正项等比数列的首项

，前n项和为，且。

（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求

的前n项和。

2数列的前项和

记为求的通项公式；

3在数列{a

n }与{b

}中,a

=1,b

=4,数列{a

}的前n项和S

满足nS

n+1

-(n+3)S

=0, n∈N*.

(1)求a 2,的值; (2)求数列{a n }通项公式;

4设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1n

n n

a b n N a +=∈-。求数列{}n b 的通项公式

5设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，a n +S n =4096. (1)求数列{a n }的通项公式：

(2)设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .对数列{T n }，从第几项起T n ＜-509

6设数列｛a

｝的前n项和…。

(1)求首项a

求证是等比数列

（2）求数列{a

}的通项公式

7(17)设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式.

8已知数列{n a } 的前n 项和222n s n n =+，数列{n b }的前n 项和2n n T b =- （Ⅰ）求数列{n a }与{n b }的通项公式；

（Ⅱ）设2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n n c c +<.

9等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且

1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1

()4n n

n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

10设数列{}n a 的前n 项和为,n s 对任意的正整数n ，都有51n n a s =+成立，记4().1n

n n

a b n N a ++=

∈-

求数列{}n a与数列{}n b的通项公式；