高中数学立体几何专题空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何 空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.

(2)在Rt △BEF 中，BF =

a 23

,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2

12，即EF =a 22

.

由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为

a 2

2

. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .

∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .

∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.

∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232

2

=??? ??-???

? ??. ∴AB 、CD 的距离是

2

2

. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离

.

例1题图

例2题图

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =

3

2BE =332332=

?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312

22=

???? ??-=-BO AB .∴A 到平面BCD

的距离是36. 【例4】

在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.

【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin

55

,AD =3a ,∴AF =5

3a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535=

=a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 3

5. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,

∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,

∴PB =2a ,∴AH =a 2

2.

【例5】

如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.

∴DF=C 1H=2. .622

2

=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.

在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.

.11

33

417

12317

123,17

121743cos 3cos 3,.

17,1,2

2

1

1

221=+

?

=

?=

∴=?

===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG

BG

CC EB 知由从而可得由

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.

∵AEC 1F 为平行四边形，

例3题图

B A

C

D

1

A

1

B 1

C

1

A .

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由??

?

??-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即

111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos ||||

CC n CC n α?=

=

? ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33

4333343cos ||1=?==αCC d

【例6】

正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,6810222211=-=-=

BC C B BB 34=BD ．

2122121=+=∴B B BD D B ．

（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， BDC C BDC C V V --=11 ，

13

1

311CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离；

3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π

.

解析：法1

（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，

故.2121,232152211=??==-??=

??BC AE S S ACE C AD 而 11

111131,1,.33223

D AEC

AEC AD C V S DD S h h h -??∴=?=?∴?=?∴=

1

A

（3）过D 作DH ⊥CE

于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.

设AE=x ，则BE=2－x

11,, 1.

4

,,,

Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π

?∠=

∴=?=∴?=在中在中在中

.

4

,32.

32543.

54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=

+∴+-=?=?

法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ，

设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，

则?????=?=?,

0,01AD n 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2， 从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3

1

3212|

|1=-+=

=n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由???=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b CE n D 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，

∴).2,1,2(x n -=依题意.2

25

)2(22

2

4

cos

211=

+-?=

=

x π ∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实

1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )

A.a

B.

a 26 C.a 33 D.a 4

15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7

B.9

C.11

D.13

3.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )

A.4cm

B.3cm 或4cm

C.6cm

D.4cm 或6cm

4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )

A.a 2

1 B.a 2

2 C.a 2

3 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )

A.a 43

B.

a 43 C.a 23 D.a 4

6

7.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )

A.1

B.d 1

C.d 1<1

D.d 2

8.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )

A.2d

B.3d

C.4d

D.以上都不对

9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且

2====DG

CG

FB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )

A.

2

a B.a 22 C.a 23 D.a 615

二、思维激活

10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .

11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .

12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .

13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高

第6题图

第7题图

第8题图

第9题图

14.在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求点E 到平 面PBC 的距离．

15.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面AB 1与侧面AC 1所成的二面角为60°，M 为AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠BMC 1=90°，AB =a .

(1)求BM 与侧面AC 1所成角的正切值. (2)求顶点A 到面BMC 1的距离.

16.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直.∠ABC =90°,BC =2,AC =23,且AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C .

（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;

（2）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小; （3）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.

17.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF 与BD 交于H . (1)求二面角B 1—EF —B 的大小.

(2)试在棱B 1B 上找一点M ，使D 1M ⊥面EFB 1，并证明你的结论. (3)求点D 1到面EFB 1的距离.

第15题图

第17题图

空间的距离习题解答

1.D 折后BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为41542

2a a a =??

?

??-.

2.A BC =21120cos 159215922=???-+. ∴△ABC 外接圆半径R =

37120sin 221

=?

,

∴点P 到α的距离为.7)37(1422=-

3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°, tan β=

2x ,tan γ=12

x

,tan (β-γ)=tan 45° 展开左边并整理得:x 2-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4.

4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意.

5.A PM =7632222=++.

6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =2

3a . 7.D 点C 到平面P AB 的距离d 1=

2

2, 点B 到平面P AC 的距离d 2=

332

1

122

1=+

?

， ∵

12

233<<,∴d 2

312

2=+-+-

c b a c

b d .∴a +b +

c =3

d . 9.A 设BD 的中点为O ，

∴EO =6760cos 232232

2a a a a a =???-??

?

??+??? ??，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-. 10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ，

∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ，

∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α，

∴BD 的长即为所求，得BD =2．

11.a 3 AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=????-++. 12.23cm 或

3

3

10cm 当点A 、B 在α同侧时，AB =

3260sin 3

=?;

当点A 、B 在α异侧时，AB =3

3

1060sin 5=

? 13.9

4

如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴,

∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3, B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α=

9

4. 14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，

过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ， 又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC =

2

a ,OG =OC sin60°=43a .

点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．

15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角，

∴∠BAC =60°.

又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1.

连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角.

且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°. 设BC =m ，则AC =m 33

，MC =3

2m ， 所以tan ∠BMC =

2

3. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为

2

3. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1.

∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =2

a

,且∠ACN =30°， ∴AN =

4

a 且∠AMN =60°，∴MN =a 123

.

第14题图解

∴NH =MN sin ∠BMC =

a 123×a 52

39(本题还可用等积法). 16.(1)如图所示,作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角 ∵AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ∴∠A 1AD =45°为所求.

(2)作DE ⊥AB 垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB , ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角.

由已知AB ⊥BC 得DE ∥BC ,又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23 ∴DE =1,AD =A 1D =3,tan ∠A 1ED =

DE

D

A 1=3,故∠A 1ED =60°为所求. (３)连结A 1

B ,根据定义,点

C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C —A 1AB 的高h . 由V C —A 1AB =V A 1-ABC 得31S △AA 1B h =3

1

S △ABC ·A 1D 即

313223

1

22??=??h ,∴h =3为所求. 17.(1)如图连结B 1D 1，AC ，B 1H ， ∵底面为正方形ABCD ， ∴对角线AC ⊥BD .

又∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC .∴EF ⊥BD .

又∵棱B 1B ⊥底面ABCD ，EF 面ABCD ，∴EF ⊥B 1B . 又B 1B ∩BD =B ,BB 1面BB 1D 1D ，BD 面BB 1D 1D . ∴EF ⊥面BB 1D 1D .

而B 1Ｈ面BB 1D 1D ，BH 面BB 1D 1D ，∴EF ⊥B 1H ，EF ⊥BH . ∴∠B 1HB 为二面角B 1—EF —B 的平面角. 在Rt △B 1BH 中，B 1B =a ,BH =a 4

2

， ∴tan ∠B 1HB =

221=BH

B

B . ∴∠B 1HB =arctan22.

∴二面角B 1—EF —B 的大小为arctan22.

(2)在棱B 1B 上取中点M ，连D 1M ， 则D 1M ⊥面EFB 1.连结C 1M .

∵EF ⊥面BB 1D 1D ，D 1M 面BB 1D 1D . ∴D 1M ⊥EF .

又∵D 1C 1⊥面B 1BCC 1.

∴C 1M 为D 1M 在面B 1BCC 1内的射影.

在正方形B 1BCC 1中，M 、F 分别为B 1B 和BC 的中点， 由平面几何知识B 1F ⊥C 1M .

于是，由三垂线定理可知B 1Ｆ⊥D 1Ｍ，

而B 1F 面EFB 1，EF 面EFB 1，EF ∩B 1F =F ， ∴D 1M ⊥面EFB 1.

(3)设D 1M 与面EFB 1交于N 点，则D 1N 为点D 到面EFB 1的距离， ∵B 1Ｎ面EFB 1,D 1M ⊥面EFB 1，

第17题图解

∴B 1N ⊥D 1M .

在Rt △MB 1D 1中，由射影定理D 1B 12=D 1N ·D 1M ， 而D 1B 1=2a ,D 1Ｍ=a M B D B 2

3

21211=

+， ∴D 1N =.3

4

1211a M D B D =

即点D 1到面EFB 1的距离为a 3

4.

高中数学立体几何 空间距离的计算（学生版）

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；

【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.

例1题图

例2题图

【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例7】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；

【例8】

在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.

【例9】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，

BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

例3题图

B A

C

D

1

A

1

B 1

C

1

A 【例10】 正三棱柱111C

B A AB

C -的底面边长为8，对角线101=C B ，

D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．

【解后归纳】 求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【例11】 如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. ●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )

A.a

B.

a 26 C.a 33 D.a 4

15 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7

B.9

C.11

D.13

3.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )

A.4cm

B.3cm 或4cm

C.6cm

D.4cm 或6cm

4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )

A.a 2

1 B.a 2

2 C.a 2

3 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

6.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )

A.a 43

B.a 43

C.a 23

D.a 4

6

7.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )

A.1

B.d 1

C.d 1<1

D.d 2

8.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )

A.2d

B.3d

C.4d

D.以上都不对

9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且

2====DG

CG

FB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )

A.

2

a B.a 22 C.a 23 D.a 615

二、思维激活

10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .

11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .

12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .

13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高

14.在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求点E 到平 面PBC 的距离．

15.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面AB 1与侧面AC 1所成的二面角为60°，M 为AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠BMC 1=90°，AB =a .

(1)求BM 与侧面AC 1所成角的正切值. (2)求顶点A 到面BMC 1的距离.

16.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直.∠ABC =90°,BC =2,AC =23,且AA 1

⊥

第8题图

第9题图

A1C,AA1=A1C.

（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;

（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;

（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.

17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.

(1)求二面角B1—EF—B的大小.

(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.

(3)求点D1到面EFB1的距离.

第17题图