动量定理、动量守恒

一、动量与冲量

1．动量

按定义, 物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=m v

(1)动量是描述物体运动状态的一个状态量, 它与时刻相对应.

(2)动量是矢量, 它的方向和速度的方向相同.

(3)动量与动能的区别和联系：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量；动量是矢量, 动能是标

量；动量和动能的关系是E k=p 2

2m

2、动量的变化量

Δp=p t-p0.

动量的变化量是矢量, 其方向与速度变化的方向相同, 与合外力冲量的方向相同, 跟动量的方向无关．求动量变化量的方法：Δp=p t-p0=mv2-mv1, Δp=Ft

3．冲量

(1)定义：力和力的作用时间的乘积, 叫做该力的冲量, I=F t, I=ΣF i t i

(2)冲量表示力在一段时间内的累积作用效果, 是矢量, 其方向由力的方向决定, 如果在作用时间内力的方向不变, 冲量的方向就和力的方向相同.

(3)冲量的计算

高中阶段只讨论恒力的冲量：直接用定义式I＝F t计算．

恒力F的方向与位移S的方向一致时：W＝FS.

4．动量定理及其应用

(1)内容：物体所受合外力的冲量, 等于这个物体动量的变化量．Ft=p′-p或Ft=mv′-mv.

(2)适用条件：直线与曲线问题、恒力与变力问题都可以用动量定理处理.

(3)用动量定理解题的基本思路

①确定研究对象.

②对物体进行受力分析．可以先求每个力的冲量, 再求各力冲量的矢量和—合力的冲量；或先求合力, 再求其冲量．

③抓住过程的初、末状态, 选好正方向, 确定各动量和冲量的正、负号．

④根据动量定理列方程, 如有必要, 还需要其他补充方程式, 最后代入数据求解．

5．动量守恒的条件及简单应用

(1)动量守恒定律：一个系统不受外力或者所受外力之和为零, 这个系统的总动量保持不变．

p=p′或m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′或Δp1+Δp2=0.

(2)动量守恒定律的适用条件：

①系统不受外力或系统所受外力之和为零．

②系统所受的外力之和虽不为零, 但比系统内力小得多, 如碰撞问题中的摩擦力, 爆炸过程中的重力等外力, 这些外力相比相互作用的内力来小得多, 可以忽略不计．

③系统所受的合外力不为零, 但系统在某一方向不受外力或所受外力的矢量和为零, 或外力远小于内力, 则系统在该方向上动量守恒．

二、几种常见的模型

1．爆炸类问题(反冲)

爆炸问题：(初态, 两个物体均静止)爆炸损失的能量为E：

两个小球向反方向运动的动量相等：

m1v1= m2v2 E1=

m2

m1+ m2·E

1

2m1v12 + 1

2m2v2

2 = E E

2

=

m1

m1+ m2·E

E1

E2= m2

m1两个物体分配的能量与质量的比值成反比

eg：打拳击、打枪.

反冲问题：在某些情况下, 原来系统内物体具有相同的速度, 发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开. 这类问题相互作用过程中系统的动能增大, 有其它能向动能转化. 可以把这类问题统称为反冲.

例：人船模型：

mv1=Mv2

v1=x/t, v2=y/t；

mx=My, 其中x+y=L.

2．碰撞类问题

碰撞：两个物体在极短时间内发生相互作用, 这种情况称为碰撞. 由于作用时间极短, 一般都满足内力远大于外力, 所以可以认为系统的动量守恒. 碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种.

(1)碰撞过程：

设光滑水平面上, 质量为m1的物体A以速度v1

向质量为m2的静止物体B运动, B的左端连有轻弹簧.

①在Ⅰ位置A、B刚好接触, 弹簧开始被压缩, A开始减速, B开始加速；

②到Ⅱ位置A、B速度刚好相等(设为v), 弹簧被压缩到最短；

再往后A、B开始远离, 弹簧开始恢复原长,

③到Ⅲ位置弹簧刚好为原长, A、B分开, 这时A、B的速度分别为v1和v2.

全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了.

(2)碰撞类问题要遵循碰撞三原则：

①动量守恒；

②动能不增；p102+p202≥p12+p22

③真实场景原则.

(3)完全弹性碰撞(碰撞过程动能不损失)：

①Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能,

②Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；

③Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；

因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等.

这种碰撞叫做弹性碰撞.

由动量守恒和能量守恒可以证明A 、B 的最终速度分别为：

v 1=

m 1-m 2m 1+m 2·v 10+2m 2m 1+ m 2v 20

v 2=m 2-m 1m 1+m 2·v 20+2m 1m 1+ m 2v 10 (4)完全非弹性碰撞(碰撞后两物体共速, 动能损失最大)：

①Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能, Ⅱ状态系统动能仍和(1)相同, 但没有弹性势能；

②由于没有弹性, A 、B 不再分开, 而是共同运动, 不再有Ⅱ→Ⅲ过程.

这种碰撞叫完全非弹性碰撞. 可以证明, A 、B 最终的共同速度为：

v=m 1v 10+m 2v 20

m 1+m 2

在完全非弹性碰撞过程中, 系统的动能损失最大, 为：

ΔE k =12·m 1·m 2m 1+m 2

·(v 10-v 20)2 (双动) ΔE k =12·m 1v 102·m 2m 1+m 2· (一动一静)

(5)非完全弹性碰撞(碰撞后两物体不共速, 且有动能损失)：

①Ⅰ→Ⅱ系统动能减少, 一部分转化为弹性势能, 一部分转化为内能,

②Ⅱ状态系统动能仍和弹性碰撞相同, 弹性势能仍最大, 但比弹性碰撞小；

③Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少, 部分转化为动能, 部分转化为内能；

因为全过程系统动能有损失(一部分动能转化为内能). 这种碰撞叫非完全弹性碰撞.

1、动量和冲量

1．下列关于动量的论述中正确的是( ).

A、质量大的物体动量一定大

B、速度大的物体动量一定大

C、两物体动能相等, 动量不一定相等

D、两物体动能相等, 动量一定相等

2．两个具有相等动量的物体A、B, 质量分别为m A和m B, 且m A＞m B, 比较它们的动能, 则( ).

A、B的动能较大

B、A的动能较大

C、动能相等

D、不能确定

3．放在水平桌面上的物体质量为m, 用一个水平推力F推它, 作用时间为t, 物体始终不动, 那么在t时间内, 推力对物体的冲量应为______.

4．甲、乙两物体的质量之比为m甲: m乙=1: 4, 若它们在运动过程中的动能相等, 则它们动量大小之比p甲: p乙是( ).

A、1: 1

B、1: 2

C、1: 4

D、2: 1

5．以初速度v0=40m/s竖直向上抛出物体, 质量为4kg,则第2秒末的动量为____kg·m/s, 第5秒末动量为____kg·m/s, 从第2秒末到第5秒末动量的变化量为____kg·m/s(g取10m/s2).

6．如图所示, 物体质量m=2kg, 放在光滑水平桌面上, 在恒定的牵引力F作用下由位置A运动到位置B, 速

度由2m/s增加到4m/s, 力F与水平面成60°角, 求在此过程中力F的冲量.

2、动量定理

7．质量为m的小球, 从沙坑上方自由下落, 经过时间t1到达沙坑表面, 又经过时间t2停在沙坑里.

求：(1)沙对小球的平均阻力F；(2)小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I.

8．如图所示, 把重物G压在纸带上, 若用一水平力迅速拉动纸带, 纸带将会从重物下抽出;若缓慢拉动纸带, 纸带也从重物下抽山, 但重物跟着纸带一起运动一段距离. 下列解释上述现象的说法中正确的是( ). A、在缓慢拉动纸带时, 纸带给重物的摩擦力大

B、在迅速拉动纸带时, 纸带给重物的摩擦力小

C、在缓慢拉动纸带时, 纸带给重物的冲量大

D、在迅速拉动纸带时, 纸带给重物的冲量小

9．质量为0.2kg的球, 从5.0m高处自由下落到水平钢板上又被竖直弹起, 弹起后能达到的最大高度为4.05m, 如果球从开始下落到弹起达到最大高度所用时间为1.95s, 不考虑空气阻力(g取10m/s2), 求小球对钢板的作用力.

10．以2m/s的速度作水平匀速运动的质量为0.1kg的物体, 从某一时刻起受到一个始终与速度方向垂直、大小为2N的力的作用, 在作用0. 1π(s)后, 物体的速度大小是_______m/s, 这0.1π(s)内, 力对物体的冲量大小为______N·s.

3、动量守恒定律

11．质量相等的甲乙两球在光滑水平面上沿同一直线运动. 甲以7kgm/s的动量追上前方以5kgm/s的动量同向运动的乙球发生正碰, 则碰后甲乙两球动量不可能的是( )

A. 5kgm/s, 7kgm/s

B. 6kgm/s, 6kgm/s

C. 5.5kgm/s, 6.5kgm/s

D. 4kgm/s, 8kgm/s

12．在光滑水平直路上停着一辆较长的木板车, 车的左端站立一个大人, 车的右端站立一个小孩. 如果大人向右走, 小孩(质量比大人小)向左走, 他们的速度大小相同, 则在他们走动过程中( ).

A、车可能向右运动

B、车一定向左运动

C、车可能保持静止

D、无法确定

13．质量分别为60kg和70kg的甲、乙两人, 分别同时从原来静止的在光滑水平面上的小车两端. 以3m/s的水平初速度沿相反方向跳到地面上. 若小车的质量为20㎏. 则当两人跳离小车后, 小车的运动速度为( ).

A、19.5m/s. 方向与甲的初速度方向相同

B、19.5m/s, 方向与乙的初速度方向相同

C、1.5m/s, 方向与甲的初速度方向相同

D、1.5m/s, 方向与乙的初速度方向相同

14．质量相同的物体A、B静止在光滑的水平面上, 用质量和水平速度相同的子弹a、b分别射击A、B, 最终a子弹留在A物体内, b子弹穿过B, A、B速度大小分别为v A和v B, 则( ).

A、v A＞v B

B、v A＜v B

C、v A=v B

D、条件不足, 无法判定

15. 如图所示, 在一个足够大的光滑平面内有A、B两个质量相同的木块, 中间

用轻质弹簧相连, 今对B施以水平冲量FΔt(Δt极短), 此后A、B的情况是( ).

A、在任意时刻, A、B的加速度大小相同

B、弹簧伸长到最长时, A、B的速度相同

C、弹簧恢复到原长时. A、B的动量相同

D、弹簧压缩到最短时, 系统总动能最少

16．质量为M的楔形物块上有圆弧轨道, 静止在水平面上. 质量为m的小球以速度v1向物块运动. 不计一切摩擦, 圆弧小于90°且足够长. 求小球能上升到的最大高度H和物块的最终速度v.

17．设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块, 并留在木块中不再射出, 子弹钻入木块深度为D. 求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离.

18．如图所示, 有A、B两质量均为M的小车, 在光滑的水平面上以相同的速率v0在同一直线上相向运动, A车上有一质量为m的人, 他至少要以多大的速度(对地)从A车跳到B车上, 才能避免两车相撞?

19．如图所示, 质量相同的木块A和B, 其间用一轻质弹簧相连, 置于光滑的水平桌面上, C为竖直坚硬挡板. 今将B压向A, 弹簧被压缩, 然后突然释放B, 若弹簧刚恢复原长时, B的速度大小为v, 那么当弹簧再次恢复

原长时, B的速度大小应为( )

A、0

B、v/2

C、v

D、

2 2

v

20．如图, (a)图表示光滑平台上, 物体A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小车上, 车与水平面间的动摩擦因数不汁, (b)图为物体A与小车的v-t图像, 由此可知( ).

A、小车上表面至少的长度

B、物体A与小车B的质量之比

C、A与小车上B上表面的动摩擦因数

D、小车B获得的动能

21．平直的轨道上有一节车厢, 车厢以12m/s的速度作匀速直线运动. 某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时, 车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出, 如图所示, 平板车与车厢顶高度差为1.8m, 设平板车足够长, 问钢球落在平板车上何处(g取10m/s2)?

22．[2011·高考全国新课标卷, 35(2)]如图, A、B、C三个木块的质量均为m, 置于光滑的水平桌面上, B、C 之间有一轻质弹簧, 弹簧的两端与木块接触而不固连. 将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连, 使弹簧不能伸展, 以至于B、C可视为一个整体. 现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动, 与B相碰并粘合在一起. 以后细线突然断开, 弹簧伸展, 从而使C与A、B分离. 已知C离开弹簧后的速度恰为v0. 求弹簧释放的势能.

23．质量为M的小车静止在光滑的水平面上, 小车的上表面是一光滑的曲面, 末端是水平的, 如图所示, 小车被挡板P挡住, 质量为m的物体从距地面高H处自由下落, 然后沿光滑的曲面继续下滑, 物体落地点与

小车右端距离s0, 若撤去挡板P, 物体仍从原处自由落下, 求物体落地时落地点与小车右端距离是多少?

23．如图所示, 在足够长的光滑水平轨道上有三个小木块A、B、C, 质量分别为m A、m B、m C, 且m A=m B=1.0kg, m C=2.0kg, 其中B与C用一个轻弹簧拴接在一起, 开始时整个装置处于静止状态. A和B之间有少许塑胶炸药, A的左边有一个弹性挡板. 现在引爆塑胶炸药, 若炸药爆炸产生的能量中有E=9.0J转化为A和B的动能, A和B分开后, A恰好在BC之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B, 并且与B发生碰撞后粘在一起. 忽略小木块和弹性挡板碰撞过程中的能量损失. 求：

(1)塑胶炸药爆炸后瞬间A与B的速度各为多大?

(2)在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；

(3)A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值.

24．小球A和B的质量分别为m A和m B, 且m A>m B. 在某高度处将A和B先后从静止释放. 小球A与水平地面碰撞后向上弹回, 在释放处的下方与释放处距离为H的地方恰好与正在下落的小球B发生正碰. 设所有碰撞都是弹性的, 碰撞时间极短. 求小球A. B碰撞后B上升的最大高度.