建立概率模型

2.2 建立概率模型

1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)

2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理概率模型

阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．

由概率模型认识古典概型

(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．

(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．

(3)树状图是进行列举的一种常用方法．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()

(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()

(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()

(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．()

【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正确．

(2)√，用树状图进行列举直观形象．

(3)×，结果越多问题就越复杂．

(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．

【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√

[小组合作型]

121

连续取两次.

【导学号：63580037】

(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；

(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．

【精彩点拨】利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．

【自主解答】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝4

6＝

2

3.

(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.

1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．

2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．

[再练一题]

1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全

相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.

(1)求红色球的个数；

(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．

【解】(1)设红色球有x个，依题意得

x

24＝

1

6，解得x＝4，∴红色球有4个．

(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．

事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，

∴P(A)＝5 12.

察向上的点数．

(1)求两数之积是6的倍数的概率；

(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x2y＝1的概率是多

少？

【精彩点拨】列出一颗骰子先后抛掷两次的36种结果，然后根据题目要求找出所求事件所包含的基本事件的个数即可．

【自主解答】(1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基

本事件，所以P(A)＝15

36＝

5

12，即两数之积是6的倍数的概率为

5

12.

661218243036

551015202530

44812162024

3369121518

224681012

1123456

积123456

①

(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且log x2y＝1”为事件B，则满足log x2y＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，

(6,3)三种情况，所以P(B)＝3

36＝

1

12，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，

y且满足log x2y＝1的概率是1 12.

若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.

[再练一题]

2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．

(1)求出现的点数相同的概率；

(2)求出现的点数之和为奇数的概率．

【解】(1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，

6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为6

36＝

1

6.

(2)法一：出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数

的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为18

36＝

1

2.

法二：由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)

这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为2

4＝

1

2.

[探究共研型]

探究1

基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？

【提示】基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事

件出现的可能性相同．其概率都为1 6.

探究2掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？

【提示】基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这两个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.

探究3在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？

【提示】不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．

有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；

(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．

【思路点拨】 用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可． 【自主解答】 将A ，B ，C ，D 四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．等可能基本事件共有24个．

(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124.

(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝3

8.

(3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝1

3.

A

—

???

????

—B —??

?

—C —D —D —C

—C —?

???

—B —D

—D —B —D —?

??

?

—B —C

—C —B

B

—???

????

—A —???

—C —D

—D —C —C —?

??

?

—A —D —D —A —D —?

???

—A —C —C —A

a 席位

b 席位

c 席位

d 席位 a 席位 b 席位 c 席位 d 席位

C —???

???? —A —???

—B —D

—D —B —B —?

??

?

—A —D —D —A —D —?

???

—A —B —B —A

D —???

????

—A —???

—B —C

—C —B —B —?

??

?

—A —C —C —A —C —?

???

—A —B —B —A

a 席位

b 席位

c 席位

d 席位

a 席位

b 席位

c 席位

d 席位

1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算． 2

．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．

[再练一题]

3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率． (1)甲在边上； (2)甲和乙都在边上； (3)甲和乙都不在边上．

【解】 利用树状图来列举基本事件，如图所示．

由树状图可看出共有24个基本事件． (1)甲在边上有12种情形：

(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)， (甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)， (乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)， (丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，

故甲在边上的概率为P＝12

24＝

1

2.

(2)甲和乙都在边上有4种情形：

(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，

故甲和乙都在边上的概率为P＝4

24＝

1

6.

(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，

故甲和乙都不在边上的概率为P＝4

24＝

1

6.

1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()

A.3

4B．

1

2

C.1

3 D.

1

4

【解析】这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，

女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为2

4＝

1

2.

【答案】 B

2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()

A.1

12B．

5

12

C.7

12 D.

5

6

【解析】由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一

个，故所求概率为P＝1 12.

【答案】 A

3．甲乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是________． 【解析】 设两间房分别为A ，B ，则基本事件有(A ，A )，(A ，B )，(B ，A )，(B ，B )共计4种，则两人各住一间房包含(A ，B )，(B ，A )两个基本事件，故所求概率为12.

【答案】 1

2

4．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．

【解析】 7的倍数用7n (n ∈N ＋)表示，则7n ≤100，解得n ≤142

7，即在100以内有14个数是7的倍数，所以概率为14100＝7

50.

【答案】 7

50

5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， (1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率； (2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率． 【解】 (1)设取出的2只球颜色不同为事件A .

基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A 包含5种．故P (A )＝56.

(2)设两次取得球的颜色相同为事件B .

基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P (B )＝616＝38.