三角形知识整理复习说课稿

三角形知识整理复习说课稿
三角形知识整理复习说课稿

三角形知识整理复习说课稿

一、说内容:四年级下册的教学内容,它是在学生直观认识三角形的基础上

编写的,同时也是为以后学习三角形的面积计算作准备。

二、说教学目标:

我确定了以下几个教学目标。(1)通过回忆,融会贯通,使学生通过整理复习弄清知识的来龙去脉,前因后果,帮助学生建立一个三角形,相关知识的网络体系。(2)系统整理,让学生在主动建构知识体系的过程中,学会整理的方法,并能对自己的学习情况进行合理的评价,逐步养成回顾整理和反思质疑的学习习惯。(3)查漏补缺,使学生通过有针对性的重点复习,弥补前面学习的不足,消除疑惑,进一步巩固知识,提高技能。(4)运用拓展,让学生运用所学的知识解决实际问题,提高学习能力。根据学生的学习现状,我认为这节课的教学重点是帮助学生巩固三角形的相关知识,构建知识网络体系。教学难点是综合运用三角形相关知识解决实际问题。

基于以上几点思考,在本节课的教学中,我充分发挥学生的主体作用,把课堂交给学生,让学生经历回顾、梳理、应用、拓展的过程,通过课前回顾整理、课堂展示汇报、小组合作整理、相互交流,相互评价等方式,实现知识的传递、迁移和融合,使学生进一步巩固所学知识,构建知识网络体系,从而达到训练思维,发展能力的目的。

三、说教学过程:(一)回忆导入法就是通过轻柔的引导语言让学生平静自己的

思绪,处于一种放松的状态,并用自己的想象力唤醒储存在身体内的某种记忆。如课堂上,我让学生回忆三角形”的知识体系,培养学生的空间想象能力。

(二)自主回顾,再现知识。为了满足孩子们“我做了”的表现欲望,了解学生对所学知识的掌握情况和已有的整理水平,我首先让学生把自己课前整理的结果上台来进行展示和汇报,再现“三角形”的相关知识。这个时候学生的

回顾是自由的、零散的,甚至是不完整的。随后我再组织学生从知识整理的有序性和全面性两个方面自主地进行评价,使学生初步掌握回顾整理的方法和步骤。(三)合作整理,构建网络。合作交流是学生学习数学的重要方式。

因此我让学生以小组合作的形式对三角形相关知识再次进行疏理。(课件:整理方法)并引导学生在分组进行整理时,不仅要全面有序地回顾所学知识,还要根据学习内容的特点和知识间的内在联系选择较好的整理方式把各部分知识“串联起来”,形成知识网络图。大家看,这是学生在分组合作整理后,向全班进行展示汇报的成果。一个完整的整理过程,不仅仅是知识的梳理,还有方法的提升。(四)应用拓展,深化提高。为了让学生在练习中进一步理解知识间的内在联系,并能运用所学知识解决实际问题,我让学生结合三角形知识网络图,给每个知识点设计一个题目或从书上找一个蕴含了此知识点的习题进行举例说明。

四、说教法:为了培养学生的问题意识,我让学生借助网络图进行反思,结

合三角形的知识,提出相关的数学问题,如,“三角形为什么会具有稳定性?”“三角形的周长是三边之和,那面积是不是三边之积呢?”等等,孩子们通过讨论交流、自主探究,尝试着解决,从而提高学生的学习能力和探究能力。

总之,教学是一门遗憾的艺术,在教学中,如何调控课堂生成与课前预设之间的矛盾,如何求得学生个性与共性的共同发展,如何形成自己独有的教学风格,是我一直在思考的问题,我期待通过今天的学习与交流能够得到各位专家的指导和老师们的帮助,我也相信,通过不断的思考与学习,我们教学得到发展。

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。 注意:(1)相似比是有顺序的。 (2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 (3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /, 相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 (1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 (2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。 (3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质:±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一:比例的性质及平行线分线段成比例定理 (一)相关概念:1.两条线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段 的比是,或写成a :b=m :n ; 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项 2:比例尺= 图上距离/实际距离 3:成比例线段:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作:c d a b =(或a :b=c :d ) ① 线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项, ② 线段a 叫首项,d 叫a ,b ,c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. (二)比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比:若 ,则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比:若 ……(若……)a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割: 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-≈, (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图:当AD∥BE∥CF 时,都可得到 = . = , = , n m b a =

三角形全等相似知识点总结

三角形全等、相似知识点比较总结
三角形特点及相似全靠等的概: 特点:三角形的稳定性,这一特征的本质就是“边长确定,大小、形状也就确定”,三角形的一个元素变化,相应的边和角都会跟着变化。 概念:1、相似三角形是指形状相同的三角形。2、全等三角形指的是两个三角形的形状、大小完全相同。 结论:1、可见全等三角形要在相似三角形的基础上多加几个个条件才能确定。2、判断三角形的全等与相似实际上是看由哪几个元素能确定一 个唯一的一个大小或形状相同的三角形。3、要保证三角形相似(形状一样),对应角必须相等;要保证对应角相等,对应边变化必须成比例。
三角形全等
三角形相似

(1) 全等三角形对应边相等,全等三角形对应角相等。

(1)(SSS)三边对应相等的两个三
角形全等。?

(2)(AAA)
×
(3)(ASA)两角和它们的夹边对应
判 相等的两个三角形全等。
√?
A
(4)(AAS)两角和其中一角的对边 A
对应相等的两个三角形全等。 √?
(5)(SAS)两边和它们的夹角对应 A
定 相等的两个三角形全等。

(6)(SSA)
S
×
(7)斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等。

A
S
A S
S
A
S S
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例。? (2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比。? (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
(1)(SSS)三边对应成比例,
两三角形相似。

A A
(2)(AA)两角对应相等,两三
角形相似。

A
A
(3)(SAS)两边对应成比例且 平行线分线段成比例
夹角相等,两三角形相似 √
A
(4)(SSA)
×
D
E
B
F
C

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一:比例的性质及平行线分线段成比例定理 (一)相关概念:1.两条线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段 的比是,或写成a :b=m :n ; 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项 2:比例尺= 图上距离/实际距离 3:成比例线段:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作:c d a b =(或a :b=c :d ) ① 线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项, ② 线段a 叫首项,d 叫a ,b ,c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. (二)比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比:若 ,则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比:若 ……(若……)a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割: 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB , (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图:当AD∥BE∥CF 时,都可得到 = . = , = , 语言描述如下: = , = , = . (4)上述结论也适合下列情况的图形: n m b a =

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质:±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。 则 ,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例。 ③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定: ①两角对应相等,两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析: 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点. 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 (比例的有关性质): 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质:c d a b = 更比性质:d b c a a c b d ==或 合比性质:d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a (比例基本定理)

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念,判定及性质,以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1.相似形 具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比 两个相似图形的对应角相等,对应边成比例. 二、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”. A ' B ' C ' C B A 2.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”. 三、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠,,. 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2.相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''(k 为相似比) . 3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比. 如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线, 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' (k 为相似比). M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' (k 为相似比). H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线,则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' (k 为相似比). D ' D A ' B ' C B A 图3 4.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''(k 为相似比) .应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++.

相似三角形知识点梳理及经典练习

相似三角形知识点梳理及经典练习 知识点1:有关相似形的概念 1.形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. 2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2:比例线段的相关概念 1.线段比:如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段 写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 2.比例线段:在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段 d c b a ,,,叫做成比 例线段,简称比例线段. d 叫比例后项, d 叫第四比例项.如果b=c ,即a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项,此时有 2b ad =。 3.黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是AB 和BC 的比例中项, 注:①黄金三角形:顶角是360 的等腰三角形。②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形。 知识点3:比例的性质(注意性质成立的条件:分母不能为0) 1.基本性质: (1)bc ad d c b a =?=::;

(2)2::a b b c b a c =?=?. 注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,可化为: d c b a ::=,d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=, c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=. 注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如: 注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关 比例计算变形中一种常用方法. ②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零. ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 (1)定义: 在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段. 注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d c b =. ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? , 交换内项,交换外项.同时交换内外项 核心内容:bc ad = (2)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-= ≈0.618AB .即512AC BC AB AC -== 简记为:512-长短==全长 注:①黄金三角形:顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 (3)合、分比性质: a c a b c d b d b d ±±=?=.

注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间 发生同样和差变化比例仍成立.如:???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等. (4)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ, 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ. 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中: 由DE ∥BC 可得:AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注:①对应性:即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样. ④全等三角形是相似比为1的相似三角形. F E D C B A E A B C D

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一:比例的性质及平行线分线段成比例定理 (一)相关概念:1.两条线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的 比 在同一长度单位下两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段 的比是,或写成a :b=m :n ; 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项 2:比例尺= 图上距离/实际距离 3:成比例线段:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作:c d a b =(或a :b= c : d ) ① 线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项, ② 线段a 叫首项,d 叫a ,b ,c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. (二)比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比:若 ,则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比:若 ……(若……)a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割: 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项, 叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB , (三)平行线分线段成比例定理 n m b a =

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例. 如图:当AD∥BE∥CF 时,都可得到 = . = , = , 语言描述如下: = , = , = . (4)上述结论也适合下列情况的图形: 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得:AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图:若 = . = , = ,则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边...... 与原三角形三边...... 对应成比例.

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 (1)定义: 在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段. 注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为: a d c b =. ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? , 交换内项,交换外项. 同时交换内外项 核心内容:bc ad = (2)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2 AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中 AB AC 215-= ≈0.618AB .即512AC BC AB AC -== 简记为:51 2 -长短==全长 注:①黄金三角形:顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 (3)合、分比性质: a c a b c d b d b d ±±=?=. 注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间 发生同样和差变化比例仍成立.如:??? ????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等. (4)等比性质:如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ, 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ. F E D C B A

九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结 知识点一 1、相似图形:把具有相同形状的图形称为相似图形。 2、相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例。知识点二:比例线段 1、比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即(或a:b=c:d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位) 2、比例性质的基本性质: (两外项的积等于两内项积) 3、更比性质(交换比例的内项或外项): 4、合比性质:(分子加(减)分母,分母不变) 5、等比性质:(分子分母分别相加,比值不变、)如果,那么、注意:(1)此性质的证明运用了“设法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零、知识点三:黄金分割 1、定义:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果,即AC2=ABBC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0、618。知识点四:相似三角形

1、相似三角形:两个三角形中,如果三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似,记作△ABC ∽△DEF。 2、相似比:两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比。通常用k来表示。相似比具有顺序性、 3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例、②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。 ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方、4、三角形相似的判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。(2)两角对应相等,两三角形相似、(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似、(4)三边对应成比例,两三角形相似、(5)直角三角形相似判定定理: 、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似。射影定理:CD=ADBD,AC=ADAB,BC=BDBA知识点五:中位线 1、三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段。(3条) 2、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3、重心:三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心、 4、重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离,

相似三角形知识点大总结

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是 n m b a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d c b = .②()a c a b c d b d ==在比例式 ::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2 b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB .即 AC BC AB AC == 简记为:长短=全长 注:黄金三角形:顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质: ①bc ad d c b a =?=::;②2 ::a b b c b a c =?=?. 注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=. (2) 更比性质(交换比例的内项或外项): ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??, 交换内项,交换外项. 同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c =?=. (4)合、分比性质:a c a b c d b d b d ±±=?=.

相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.

拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用. 一、基础知识(不局限于此) (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段; 2。比例性质: (1)基本性质: bc ad d c b a =?=ac b c b b a =?=2 (2)合比定理:d d c b b a d c b a ±=±?= (3)等比定理:)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3。黄金分割:如图,若AB PB PA ?=2,则点P为线段AB 的黄金分割点. 4.平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形。 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● (1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ● (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 ● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. ● (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质 ● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。 ● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ● (4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用: 1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式); 2、利用三角形相似,求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1.如图在4×4的正方形方格中,△ABC 和△D EF的顶点都在长为1的小正方形顶点上. B

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是 n m b a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于 d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为: a d c b =.②()a c a b c d b d ==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中 AB AC 215-= ≈0.618AB .即AC BC AB AC == 简记为:长短=全长注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1)基本性质: ① bc ad d c b a =?=::;②2::a b b c b a c =?=?. (2)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c =?=. (3)等比性质:如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ,那么 b a n f d b m e c a =++++++++ . 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成

相似三角形知识点整理及习题-(中考经典题)

相似三角形知识点整理 一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质): 涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下: 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质:d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a (比例基本定理) b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质

相似三角形 基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是 n m b a =,或写 成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d c b =.② ()a c a b c d b d ==在比例式 ::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后 项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即 2 AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 2 15-= ≈ 0.618AB .即 12 AC BC AB AC = = 简记为: 12 长短= = 全 长 注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质: ①bc ad d c b a =?=::;②2 ::a b b c b a c =?=?. 注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=. (2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c =? =. (4)合、分比性质: a c a b c d b d b d ±±=? =. 注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间

沪科版九年级数学下册 相似三角形知识点梳理

第17讲 相似三角形 知识点一:比例线段 关键点拨与对应举例 1. 比例 线段 在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 a c b d =, 那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱. 2.比例 的基本性质 (1)基本性质:a c b d =? ad =b c ;(b 、 d ≠0) (2)合比性质:a c b d =?a b b ±=c d d ±;(b 、d ≠0) (3)等比性质:a c b d ==…=m n =k (b +d +…+n ≠0)? ......a c m b d n ++++++=k .(b 、d 、···、n ≠0) 已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例:若 35a b =,则a b b +=8 5 . 3.平行 线分线 段成比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l 3∥l 4∥l 5,则 AB DE BC EF = . 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解. 例:如图,已知D ,E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点,AE=2,CE=3, 要使DE ∥AB ,那么BC :CD 应等于5 3 . (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例. 即如图所示,若AB ∥CD ,则 OA OB OD OC =. (3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似. 如图所示,若DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC. 4.黄金分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB ==5-12 ≈0.618, 那么线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 例:把长为10cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段长为5(5-1)cm . 知识点二 :相似三角形的性质与判定 5.相似三角 形的 判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图,若∠A =∠D ,∠B =∠E ,则△ABC ∽△DEF. 判定三角形相似的思路:①条件中若有平行 线,可用平行线找出相等的角而判定;②条 件中若有一对等角,可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例;③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等;④条件 中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有 等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例. (2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三 角形相似. 如图,若∠A =∠D , AC AB DF DE =,则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如 图,若AB AC BC DE DF EF == ,则△ABC ∽△DEF. F E D C B A l 5 l 4 l 3l 2 l 1O D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A

相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳: 1、三角形相似的判定方法 (1)定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。 (2)平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似。 (3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 (4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 (5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 (6)判定直角三角形相似的方法: ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高, 则有射影定理如下: (1)(AD)2=BD·DC,(2)(AB)2=BD·BC , (3)(AC)2=CD·BC 。 注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。即(AB)2+(AC)2=(BC)2。

典型例题: 例1 如图,已知等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ‖AB ,BG 分别交AD ,AC 于E 、 F ,求证:BE2=EF·EG 证明:如图,连结EC ,∵AB =AC ,AD ⊥BC , ∴∠ABC =∠ACB ,AD 垂直平分BC ∴BE =EC ,∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2, 即∠3=∠4,又CG ∥AB ,∴∠G =∠3,∴∠4=∠G 又∵∠CEG =∠CEF ,∴△CEF ∽△GEC ,∴EG CE =CE EF ∴EC 2 =EG· EF,故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原来处在同一条直线上的三条线段BE ,EF ,EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知:如图,AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高,E 是AC 的中点,ED 与AB 的延长线相交于F ,求证:BA FB =AC FD 证法一:如图,在Rt △ABC 中,∵∠BAC =Rt ∠,AD ⊥BC , ∴∠3=∠C ,又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点, ∴ED=21 AC =EC ,∴∠2=∠C ,又∠1=∠2,∴∠1=∠3, ∴∠DFB =∠AFD ,∴△DFB ∽△AFD ,∴FD FB =AD BD (1) 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高,∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ,∴AD BD =AC BA (2) 由(1)(2)两式得FD FB =AC BA ,故BA FB =AC FD 证法二:过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ,则BA FB =AG FD (1) ∵E 是AC 的中点,ED ∥AC ,∴D 是GC 的中点,又AD ⊥GC ,∴AD 是线段GC 的垂直平分线,∴AG =AC (2) 由(1)(2)两式得:BA FB =AC FD ,证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中,通过连续两次证明三角形相似,得到相应的比例式,然后通过中间比“AD BD ”过渡,使问题得证,证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论,三角形的中位线的判定,线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证.

相关文档
最新文档