《平行四边形》经典题

平行四边形经典题

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD中，AB = 2，BC = 3，∠B、∠C的平分线分别交AD于F、E两点，则EF的长为( )

A．3 B．2

C．1.5 D．1

2．如图，在 ABCD中，EF过对角线交点O，交AD于E，交BC于F，若AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么，四边形EFCD的周长为( )

A．16 B．14

C．12 D．10

3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为( )

A．8和12 B．20和30

C．6和8 D．4和6

4．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF = 60o，BE = 2，DF = 3，则平行四边形的周长为( )

A．203B．123

C．20 D．12

5．如图，平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，过O的直线交AB于E，交DC于F，图中全等的三角形共有( )

A．3对B．4对

C．6对D．8对

6．A、B、C、D四点在同一平面内，从①AB//CD ②AB = CD ③BC//AD ④BC = AD这四个条件中任选两个，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )

A．3种B．4种C．5种D．6种

7．用两块全等的含30o角的三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．填空题

1．在 ABCD中，若∠A = 2∠B，则∠A = ________，∠D = ________．2．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC = 8，BD = 12，则边AD的长度的取值范围是________．

3．如图，在 ABCD中，对角线AC的长为12cm，∠ACB = 60o，BC的长为6cm，则□ABCD的面积为________．

4．已知 ABCD的面积为72cm2，相邻两边上的高分别为6cm和4cm，则它的周长为________cm．

解答题：

1．如图，在 ABCD中，AB = 8，AD = 6，∠DAB = 30o，E、F是对角线AC的三等分点．求△BEF的面积．

2．如图，在 ABCD中，M是DA延长线上一点，连结MB、MC，且MC

= S△AND．

交AB于N，连结DN．求证：S

△BMN

3．求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．分析：此题为语言文字证明题，首先应画图，写出已知、求证，然后证明．已知：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

4．如图，△ABC是等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD = BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：①△ACD≌△CBF．

②当点D、F分别在什么位置时，四边形CDEF是平行四边形，且∠DEF = 30o，并证明你的结论．

参考答案

一、选择题

1.答案：D

说明：根据平行四边形的性质不难得出△ABF 、△DEC 为等腰三角形，则AB = AF = 2，DC = DE = 2，即AE+EF = DF+EF = 2，则AE+EF+DF+EF = 4，由于AE+EF+DF = 3，所以EF = 4?3 = 1，答案为D ．

2. 答案：C

说明：由△AOE ≌△COF 得EO = FO = 1.5，AE = CF ．由BC = 5，则AD = AE+ED = CF+ED = 5．所以，四边形EFCD 的周长 = EF+CF+ED+CD = 2×1.5+5+4 = 12．

3. 答案：B

说明：如图， ABCD 中，利用“三角形两边之和必须大于第三边”进行判断，则21AC+2

1BD>10即AC+BD>20，所以只有选项B 满足，答案为B ． 4. 答案：C

说明：在四边形AECF 中，∠C = 120o，则∠D =∠B = 60o．在Rt △AEB 与Rt △AFD 中，AB = 2BE = 4，AD = 2DF = 6．因此，□ABCD 的周长 = 2(AB+AD) = 20．

5. 答案：C

说明：利用平行四边形的性质不难得出ΔAOE ≌ΔCOF ，ΔDOF ≌ΔBOE ，ΔAOB ≌ΔCOD ，ΔAOD ≌ΔCOB ，ΔABD ≌ΔCDB ，ΔCDA ≌ΔABC ，共有6对全等的三角形，答案为C ．

6. 答案：B

说明：有①②、①③、②④、③④四种．

7. 答案：C

说明：有图中的三种情况，答案为C ．

二、填空题

1：120o，60o．

2：2

1BD = 6，在△AOD 中，DO ?AO

3：90o 说明：AE = DE =21AD ，AB =2

1AD ，则AE = AB = DE ．则∠ABE =∠AEB ，∠DEC =∠DCE ．由于∠A+∠D = 180o，则

(180o?2∠AEB)+(180o?2∠DEC) = 180o，得：∠AEB+∠DEC = 90o．所以∠BEC = 90o．

4：60 说明：根据“平行四边形的面积 = 底边×高”，则6×底边 = 72，得一底边为12；或4×另一底边 = 72得另一底边为18．所以周长 = 2×(12+18) = 60cm ．

三、解答题

1. 分析：由于△BEF 与△ABC 是底共线高相同的关系，可得出S △BEF =3

1S △ABC ．又因为S △ABC =2

1S 平行四边形ABCD ，所以只需求出 ABCD 的面积即可． 解：过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，

∵∠DAB = 30o，DQ ⊥AB ，AD = 6，∴DQ =2

1AD = 3 ∵AB = 8，∴S 平行四边形ABCD = AB·DQ = 8×3 = 24

∴S △ABC = 2

1S 平行四边形ABCD = 12 ∵E 、F 是对角线AC 的三等分点，∴EF =3

1AC ，△BEF 与△ABC 的高相同． ∴S △BEF =31S △ABC =3

1×12 = 4．

2. 分析：即证S △BMA = S △DMN ，利用S △CAM 进行等量代换．易证S △BMA = S △CAM ，因此只需证出S △DMN = S △CAM ．由S △DAN = S △CAN 得出S △DMN = S △CAM ，得证． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC

∴S △DAN = S △CAN (同底等高的两个三角形面积相等)

∴S △DAN +S △AMN = S △CAN +S △AMN

即S △DMN = S △CAM

∵S △BMA = S △CAM (同底等高的两个三角形面积相等)，∴S △DMN = S △BMA ∴S △DMN ?S △AMN = S △BMA ?S △AMN

即S △AND = S △BMN ．

3. 分析：作一条对角线，得到三角形，然后利用三角形中位线定理证出一组对边平行且相等．

证明：连结AC ．

∵点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点

∴EF 、GH 分别是△ABC 、△DAC 的中位线

∴EF//AC 且EF =21AC ，GH//AC 且GH =2

1AC ∴EF//GH 且EF = GH

∴四边形EFGH 是平行四边形．

4. 解：①证明：∵△ABC 是等边三角形，

∴AC = CB ，∠ACD =∠CBF = 60o

∵CD = BF ，∴△ACD ≌△CBF

②当点D 、F 分别为BC 、AB 的中点时，四边形CDEF 是平行四边形，且∠DEF = 30o，如图．

证明：∵△ABC 是等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 的中点

∴∠DCF =

2

1∠ACB = 30o，∠ADC = 90o ∴△ADE 为等边三角形

∴∠ADE = 60o，AD = DE

∴∠BDE = 180o?∠ADE ?∠ADC = 180o?60o?90o = 30o

∴∠BDE =∠DCF ∴DE//CF

∵CD =21BC ，BF =2

1AB ，AB = BC ∴CD = BF ∴△ACD ≌△CBF(同①) ∴AD = CF

∴DE = CF ∴DE//CF 且DE = CF

∴四边形CDEF 是平行四边形

∴∠DEF =∠DCF = 30o(平行四边形的对角相等)

因此当点D 、F 分别为BC 、AB 的中点时，四边形CDEF 是平行四边形，且∠DEF = 30o．