正四面体

<<正四面体>>课堂实录

成都航天中学 邓成兵

（一）情景引入:

师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它

是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果:

（二）、知识碰闯；

万天平(学生):我们组得到的性质如下：

①、它们6条棱均相等；

②、相邻棱的夹角为0

60；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直）

④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设

为a ）。

⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为

1

⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为

3

3

容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。可求AO=

3

a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO=

3

3

PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。

（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体EFGH 为正四面体；

（2）、求

ABC

S FHG E S :--表表S （3）、求

ABC

S FHG E V :--V

廖红菊（学生）：我们组得到的性质是：

⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 4

6

R =

分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。

在

中，由于,a 23AD =

a 2

1

AE =可得a 22DE =，所以 a 42E O =

，于是外接球的半径a 4

6

E O AE AO R 22=+== 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得到什么样的结论？

廖红菊：（思考片刻）可以算出1PO 长度。1PO =

a 3

6

师：对也就得到顶点到底面的距离为

a 3

6

；请问正四面体内任意一点到四个面的距离为多少？（培养学生的空间想象能力及猜想能力） 学：为一个定值。 师：这个定值是多少？

（思考片刻后）几个学生：为

a 3

6

。 师：正四面体内任意一点到四个面的距离为一个定值且为

a 3

6 师：其实求正四面体的外接球的半径与正四面体棱长关系除了用刚才这位同学的证明方法外，还可以用补形的方法更简单：把正四面体补成一个正方体，正四面体的边长为正方体面对角线，而球的直径为正方体的体对角线。也就求出外接球的半径。

（学生恍然大悟后）老师：既然有外接球那么就有…… 学：内切球。

师：内切球的半径为多少？（环视班级，看没有同学上来讲） 师：设内切球的半径为r ，球心为1O ，)PAC PAB PBC ABC ABC P S S S r(S 3

1

V +++=

- S S S S PAC PAB PBC ABC ===

a 12

6r =?=??=

∴-ABC ABC ABC ABC P r4S 31aS 3631r4S 31V 在这个证明过程用了什么方法？ 学：等体积法；

既第九个性质：⑨、正四面体的内切球的半径与正四面体棱长的关系是：a 12

6

r =

谢朝培（学生）：我们组得到的性质是：

⑩、正四面体的表面积S=2

a 3；正四面体的体积V=

3

a 12

3；顶点到底面的距离为

a 3

6

； ⑾、正四面体的体积等于相应正方体体积的

3

1

；正四面体的高等于相应正方体体对角线的

3

2。

师：正四面体与正方体是立体几何中较特殊内涵较丰富的几何体且二者有着

密切不可分的联系。我们在解题时要运用二者的特殊关系，就会达到“山穷水复疑无路，柳岸花明又一村”的效果。下课了，请同学们对这11条正四面体的性质下来认真消化。

高考数学攻关：二项式的递推展开（2）

(2008-12-30 12:55:04)

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高考数学攻关：二项式的递推展开（2）

四、子集组合得展开式系数

为了弄清二项式(a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有

(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)

=a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2

由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合{ b1，b2}中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.

常数项b1b2，是从集合{ b1，b2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.

统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合{ b1，b2}每次取出0个元素所对应的组合.

组合数为=1.

这样一来，“和的平方”展开式可写成(a+b)2 =a2+ab+b2

有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.

【例4】试探索用组合数表示二项式

(a+b)n=(a+b) (a+b)…(a+b) = A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn

展开式中各系数A0，A1，…，An-1，An.

【解答】对于an，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.

对于an-1b，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=. ……

对于abn-1，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.

对于bn，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n个元素的组合，

组合数为.

于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式

(a+b)n=an+an-1b +…+abn-1 +bn ——这就是所谓的“二项式定理”.

【说明】二项式展开后各项的系数依次为：，，…，.

其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为

这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.

五、加法定理来自二项式性质

将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，

则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的

加法式. 如

这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”

的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.

一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑

两数”的结果为组合的加法定理：

有了组合的加法定理，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.

【例5】试用数学归纳法证明二项式定理

(a+b)n=an+an-1b +…+abn-1 +bn

【证明】（1）当n=1时，a+b = a +b=a + b 命题真.

（2）假设n=k时命题真，即

(a+b)k =ak +ak-1b +…+abk-1 +bk

两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得

(a+b)k+1=ak+1 +()akb +()ak-1 b2 +…+()ab k + bk+1

=ak+1 +akb +…+ab k +bk+1

综合（1），（2）可知，对任意的n∈N+，二项式(a+b)n展开式成立.

六、n始于1 r始于0

二项式定理将(a+b)的乘方式展开成一个数列的和：

(a+b) n=an+an-1b +…+an-rbr +…+bn =an-rbr

展开式中的r从0取到n，故展开式共有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是它的第r

项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为Tr+1=an-rbr 初学者经常误成Tr=

an-rbr

在通项公式中弄清了“n与r的关系”后，以下考题可以做到“一挥而就”.

【例6】已知，求展开式中x9的系数.

【分析】x9的系数与x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式an-rbr求出

对应的r来.

【解答】设展开式的第r+1项能化简得到x9项.

则有Tr+1 =(x2)9-r·=

令18-3r = 9 得r =3 故x9的系数为

【说明】数学解题，切忌拘泥公式. 如本题中求r的值，不一定要硬套通项公式. 事实上，展开式按x的降幂排列：第1项的指数是18，第2项的指数是15，依次递减，指数为9的项是第4项，故有r = 3.

由此直接得x9的系数为. 这样的计算量大为减少.

七、数形趣遇算式到算图

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.

【例7】（2007全国甲卷理13文16）

的展开式中常数项为.

【式算】先考虑展开后的常数项

Tr +1 =x 8 – r=

（1）令8 – 2r = 0，得r = 4，得= 70；

（2）令8 – 2r = – 2，得r = 5，得= 56.

故求得的展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……15 20 15 6 …

1 …… 35 35 21 ……

…70 56 …

图上得到=70，==56.

故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【点评】“式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<, /o:p>

杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.

杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

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高考数学攻关：二项式的递推展开（2）

四、子集组合得展开式系数

为了弄清二项式(a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有

(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)

=a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2

由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合{ b1，b2}中，每

次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.

常数项b1b2，是从集合{ b1，b2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.

统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合{ b1，b2}每次取出0个元素所对应的组合.

组合数为=1.

这样一来，“和的平方”展开式可写成(a+b)2 =a2+ab+b2

有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.

【例4】试探索用组合数表示二项式

(a+b)n=(a+b) (a+b)…(a+b) = A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn

展开式中各系数A0，A1，…，An-1，An.

【解答】对于an，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中每次取出0个元素的组合. 组合数为

A0=.

对于an-1b，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=. ……

对于abn-1，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为. 对于bn，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n个元素的组合，组合数为.

于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式

(a+b)n=an+an-1b +…+abn-1 +bn ——这就是所谓的“二项式定理”.

【说明】二项式展开后各项的系数依次为：，，…，.

其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为

这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递

推.

五、加法定理来自二项式性质

将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，

则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的

加法式. 如

这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”

的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.

一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑

两数”的结果为组合的加法定理：

有了组合的加法定理，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.

【例5】试用数学归纳法证明二项式定理

(a+b)n=an+an-1b +…+abn-1 +bn

【证明】（1）当n=1时，a+b = a +b=a + b 命题真.

（2）假设n=k时命题真，即

(a+b)k =ak +ak-1b +…+abk-1 +bk

两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得

(a+b)k+1=ak+1 +()akb +()ak-1 b2 +…+()ab k + bk+1

=ak+1 +akb +…+ab k +bk+1

综合（1），（2）可知，对任意的n∈N+，二项式(a+b)n展开式成立.

六、n始于1 r始于0

二项式定理将(a+b)的乘方式展开成一个数列的和：

(a+b) n=an+an-1b +…+an-rbr +…+bn =an-rbr

展开式中的r从0取到n，故展开式共有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是它的第r

项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为Tr+1=an-rbr 初学者经常误成Tr= an-rbr

在通项公式中弄清了“n与r的关系”后，以下考题可以做到“一挥而就”.

【例6】已知，求展开式中x9的系数.

【分析】x9的系数与x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式an-rbr求出

对应的r来.

【解答】设展开式的第r+1项能化简得到x9项.

则有Tr+1 =(x2)9-r·=

令18-3r = 9 得r =3 故x9的系数为

【说明】数学解题，切忌拘泥公式. 如本题中求r的值，不一定要硬套通项公式. 事实上，展开式按x的降幂排列：第1项的指数是18，第2项的指数是15，依次递减，指数为9的项是第4项，故有r = 3.

由此直接得x9的系数为. 这样的计算量大为减少.

七、数形趣遇算式到算图

二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.

【例7】（2007全国甲卷理13文16）

的展开式中常数项为.

【式算】先考虑展开后的常数项

Tr +1 =x 8 – r=

（1）令8 – 2r = 0，得r = 4，得= 70；

（2）令8 – 2r = – 2，得r = 5，得= 56.

故求得的展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……15 20 15 6 …

1 …… 35 35 21 ……

…70 56 …

图上得到=70，==56.

故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42

【点评】“式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<, /o:p>

杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.

杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.

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抽象函数常见题型解法综述

赵春祥

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得

所以函数的定义域是

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；

②，求f(3)，f(9)的值。

解：取，得

因为，所以

又取

得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在，使得，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题

例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。

解：在中以代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题

例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

证明：在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，；当时，

而

所以

又当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有

，试判断函数f(x)的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

七、对称性问题

例8. 已知函数满足，求的值。

解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。

所以

将上式中的x用代换，得

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。

八、网络综合问题

例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0

（1）判断f(x)的单调性；

（2）设，

，若，试确定a的取值范围。

解：（1）在中，令，得，因为，所以。

在中，令

因为当时，

所以当时

而

所以

又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则

所以

所以在R上为减函数。

（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以

即有

又，根据函数的单调性，有

由，所以直线与圆面无公共点。因此有

，解得。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。