离散数学各章要点16
主要内容
1.
无向树的定义及其性质.
2.
生成树的定义及存在定理.
3.
基本回路及基本回路系统.
4.
基本割集及基本割集系统.
5.
最小生成树.
6.
根树及其分类.
7.
最优树、Huffman算法.
8.
最佳前缀码.
9.
波兰符号法与逆波兰符号法.
学习要求
1.
深刻理解树的定义和性质.
2.
熟练地求解无向树.
3.
准确地求解最小生成树（见例题）.
4.
深刻理解基本回路、基本割集、基本回路系统、基本割集系统等概念.
5.
深刻理解根树、分类、家族树等诸多概念.
6.
会画阶数n较小的非同构的根树.
7.
熟练掌握用Huffman算法求最优树的方法.
8.
熟练掌握求最佳前缀码的方法.
9.
会用二叉树表示算式.
10
会求算式的波兰符号法和逆波兰符号法表示的算式.
典型习题
1.
无向树T有n i个i度顶点, i=2,3,…,k, 其余顶点都是树叶, 求T的树叶数t.
2.
设T为非平凡的无向树, 最大度△(T)≥k（k≥1）, 证明T至少有k片树叶.
3.
设G'是无向连通图G的无圈子图, 证明G中存在生成树T, 使得E(G')E(T).
4.
设C为无向图G中一个圈, 边e1与e2在C中, 证明G中存在割集S, 使得e1,e2∈S.
5.
设G为n阶无向简单图, n≥5, 证明G或必含圈.
6.
关于顶点和度数选择题.
7.
画出5阶所有非同构的根树, 并分析它们都是几叉树.
8.
设T是正则二叉树, 有t片树叶. 证明T的阶数n=2t-1.
9.
设7个字母在通信中出现的频率如下：
a：35% b：20%
c：15% d：10%
e：10% f：5%
g：5%
用Huffman算法求传输它们的前缀码. 要求画出最优树, 指出每个字母对应的编码. 并指出传输10n个按上述频率出现的字母, 需要多少个二进制数字.
10
下图所示的2叉树表达一个算式.
（1）用中序行遍法还原算式.
（2）用前序行遍法写出该算式的波兰符号法表示式.
（3）用后序行遍法写出该算式的逆波兰符号法表示式.
离散数学第三版课后习题答案
离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论
离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}}
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点 离散数学是中央广播电视大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程，共72学时，开设一学期．该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等． 下面按章给出复习要点与重点． 第1章 集合及其运算 复习要点 1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法． 具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.． 集合的表示方法：列举法和描述法. 注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念． 注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与?(?),空集?与所有集合等的关系. 空集?，是惟一的，它是任何集合的子集． 集合A 的幂集P (A )＝}{A x x ?， A 的所有子集构成的集合．若∣A ∣＝n ，则∣P (A )∣=2n ． 2．熟练掌握集合A 和B 的并A ?B ，交A ?B ，补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差⊕，A ⊕B ＝(A －B )?(B －A )，或A ⊕B ＝(A ?B )－（A ?B ）等运算，并会用文氏图表示． 掌握集合运算律(见教材第9～11页)(运算的性质). 3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法． 集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明． 证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A ?B ，又A ?B ； (2)通过运算律进行等式推导． 重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明． 第2章 关系与函数 复习要点 1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算． 有序对就是有顺序二元组，如
离散数学2
离散数学测试题2 一、 选择题 1、若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A ．A ? B ，且A ∈B B ．B ?A ，且A ∈B C ．A ?B ，且A ?B D ．A ?B ，且A ∈B 2．设集合A= {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如下图所示，若A 的子集B= {3, 4, 5}，则元素3为B 的（ ）． A. 下界 B. 最小上界 C. 最大下界 D. 最小元 3.设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）． A ．(?x )(A (x )∧ B (x )) B ．(?x )(A (x )∧B (x )) C ．┐(?x )(A (x ) →B (x )) D ．┐(?x )(A (x )∧┐B (x )) 4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集 C ．{(a, d ) ,(b, d )}是边割集 D ．{(b , d )}是边割集 5、已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )． A ．6 B ．4 C ．3 D ．5 二、 填空题 1.设集合A ={0, 1, 2}，B ={1,2, 3, 4,}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ?∈∈∈><=且且 则R 的有序对集合为 ． 2.设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ． 3.已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ． 4.设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 ，就可使新得到的关系为对称的． 5.()(()()(,))x P x Q x R x y ?→∨中的自由变元为 ． 三、 逻辑翻译 1.将语句“他今天不去锻炼，仅当他没有时间．”翻译成命题公式． 2.将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．
离散数学章练习题及答案
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
离散数学复习要点 (2)
离散数学复习 2018.1.3 第1章数学语言与证明方法 知识点1：幂集的定义 幂集的元素个数计算，如果A有n个元素，那么P（A）有2的n次方个元素例1 φ的幂集P（φ）的元素个数为1，因为2的0次方为1.即{φ}。 {φ}的幂集P（{φ}）元素个数为2，其幂集为{φ，{φ}} 知识点2：集合的运算 P8的公式，特别要注意下面的公式： A-B=A ~B ~~A=A ~(A B)= ~A ~B ~(A B) = ~A ~B A⊕B=（A - B） (B - A) 知识点3 文氏图 P7 用文氏图表达集合运算 第2章命题逻辑 1 成真赋值，成假赋值 例1：求(p∨q)→r的成假赋值 若上式子成假，必须(p∨q)为1，r为0 故成假赋值为110 ，100，010 2可满足式，矛盾式，永真式的定义 3 合取范式，析取范式的定义 4 极大项，极小项的定义。 例2 求(p∨q)→r的合取范式的极大项，析取范式的极小项 解成假赋值为110，100，010，故此有三项极大项， (p∨q)→r?M2∧M4∧M6 成真赋值为000，001，011，101，111，故此析取范式有五项极小项 (p∨q)→r?m0∨m1∨m3∨m5∨m7 5 联接词完备集 {∨，?，∧}是完备的，因为→和?都可以用前三个符号来表达 例如p?q?（p→q）∧（q →p）
（p→q）??p∨q {?，∧}也是完备的 因为p∨q??(?(p∨q)) ??(?p∧?q) 但{∨，∧}就不是完备的 6 命题符号化和定理证明 例如小王学过英语或者日语。如果小王学过英语，则他去过英国，如果他去过英国，他也去过日本。所以小王学过日语或者去过日本。 证明： 1）p：小王去过英语；q：小王学过英语 r : 小王去过英国s：小王去过日本 2）前提：p∨q，p→r，r→s 结论：q∨s 3）构造证明过程： 1 p→r 前提引入 2 r→s 前提引入 3 p→s 1，2假言三段伦 4 p∨q 前提引入 5 ??p∨q 4置换 6 ?q→p 5置换 7 ?q→s 6，3假言三段 8 q∨s 7置换 7 归结法证明： 例子：用归结法证明上述命题 1）p：小王去过英语；q：小王学过英语 r : 小王去过英国s：小王去过日本 2）前提：p∨q，p→r，r→s 结论：q∨s 用归结法改写为下述形式： 前提：p∨q，?p∨r，?r∨s，?q，?s 结论0 证明： 1 ?r∨s 前提引入 2 ?s 前提引入 3 ?r 1，2归结 4 ?p∨r 前提引入 5 ?p 3，4归结 6 p∨q 前提引入 7 q 6，7归结 8 ?q 前提引入 9 0 7，8归结
离散数学第10章习题答案
第10章习题答案 1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈V v v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。 (2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得∑∈V v v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有， 其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。 2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。由握手定理知 ∑=n k k v d 1 )(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。 3. 解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=n i i d 1 ≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、 (3)、(5)能构成无向图的度数列。 (1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。 (5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、 3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于 是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。 4.证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。 5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。 6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。 (1)(3)(5) (6) (9)(10) (13) (14)
离散数学期末考试试题配复习资料
广东技术师范学院 模拟试题 科 目：离散数学 考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号： 一．填空题（每小题2分，共10分） 1. 谓词公式)()(x xQ x xP ?→?的前束范式是 ?x ?y?P(x)∨Q(y) 。 2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B {2}，=A _{4,5}， =B A {1,3,4,5} 3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则=-)()(B A ρρ {{c},{},{},{}} ，=-)()(A B ρρΦ。 4. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有 _1 有逆元。 5．如果连通平面图G 有n 个顶点，e 条边，则G 有2个面。 二．选择题（每小题2分，共10分） 1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ） （A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>= 离散数学 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( B ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ D ） 。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（D ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ C ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ C ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ C ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ B ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 8、一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（ A ）。 [A] G 没有奇数度结点 [B] G 有1个奇数度结点 [C] G 有2个奇数度结点 [D] G 没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是（ B ）。 [A] G 中有幺元 [B] G 中么元是唯一的 [C] G 中任一元素有逆元 [D] G 中除了幺元外无其他幂等元 10、令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ） [A] p →┐q [B] p ∨┐q [C] p ∧q [D] p ∧┐q 11、设图G= 第一部分数理逻辑 第一章命题逻辑 重点： ●熟练掌握联结词的定义； ●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义； ●熟记基本的等价公式和蕴涵公式； ●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式； ●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理： 1.直接证法 2.反证法 3.CP规则 难点： ●如何正确地掌握对语言的翻译； ●如何利用推理方法正确的完成命题推理。 第二章谓词逻辑 重点： ●谓词、量词、个体域的概念； ●谓词逻辑中带量词命题的符号化； ●熟记基本的谓词等价公式； ●求公式的前束范式； ●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点： ●谓词逻辑中带量词命题的符号化； ●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。 第二部分集合论 第三章集合与关系 重点： ●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法； ●幂集的概念以及和子集的关系； ●序偶和笛卡尔积的概念； ●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系； ●关系的复合； ●关系的五种性质及其判断和证明； ●关系的闭包； ●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系； ●偏序关系的定义和证明，哈斯图； ●偏序关系中的特殊元素； 难点： ●如何正确证明集合之间包含和相等关系； ●如何正确地理解和判断关系的性质； ●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法； ●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系； ●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。 第四章函数 重点： ●能够判定某个二元关系是否是函数； ●几种特殊的函数：满射，单射，双射； 难点： ●如何正确地判断三种特殊函数。 第三部分代数结构 重点： ●理解代数结构的构成和研究方法； ●代数结构中运算的性质以及特殊元素； ●广群?半群?独异点?群； ●群的定义与性质； ●环与域的判断和证明； ●格的两种定义； ●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格； ●有补分配格与布尔代数之间的联系； 难点： ●循环群的判断和证明； ●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系 和区别； ●如何正确理解布尔代数的概念。 第四部分图论 重点： ●掌握图论的基本定理：握手定理及其推论的内容，并且能灵活地应用 （如已知边数和一些结点的度数，求另一些结点的度数等），在图论 中的很多证明都要用到握手定理及推论。 ●熟悉图的矩阵表示，在理解通路和回路相关概念的基础上，掌握可达 《离散数学》习题与解答 第一篇数理逻辑 第一章命题逻辑 1-1（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值 a)离散数学是计算机科学系的一门必修棵 b)∏> 2 吗？ c)明天我去看电影 d)请勿随地吐痰 e)不存在最大质数 f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了 g)9+5<12 h)x<3 i)月球上有水 j)我正在说假话 [解] a)不是命题 b)是命题,真值视具体情况而定 c)不是命题 d)是命题,真值为t e)是命题,真值为t f)是命题,真值为f g)不是命题 h)是命题, 真值视具体情况而定 i)不是命题 1-2(1)用P表示命题“天下雪”,(又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题: (a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上. (b)我将去镇上，仅当我有时间. (c)天不下雪 (d)天下雪,那么我不去镇上 [解] a)(┐P∧R)→Q b)Q→R c)┐P d)P→┐Q 1-2(2)将下面这段述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段述中的每一命题符号化 2 是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数. [解]:述中出现5个原子命题，将他们符号化为: P: 2 是有理数其真值为F Q:2是素数其真值为T R:2是偶数其真值为T S:3是素数其真值为T U:4是素数其真值为F 述中各命题符号化为: ┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S 1-2(3)将下列命题符号化 a)如果3+3=6,则雪是白色的. b)如果3+3≠6,则雪是白色的 c)如果3+3=6,则雪不是白色的. d)如果3+3≠6,则雪不是白色的 e)王强身体很好，成绩也很好. f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行 [解]:设P:3+3=6 Q:雪是白色的 R:王强成绩很好S:王强身体很好 U: 四边形ABCD是平行四边形V: 四边形ABCD的对边是平行的于是: a)可表示为:P→Q b)可表示为: ┐P→Q c)可表示为: P→┐Q d)可表示为：┐P→┐Q e)可表示为：S∧R f)可表示为:U＜＝＞V 1-3(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式 a) (Q→R∧S) b) (P＜＝＞(R→S)) c) ((┐P→Q)→(Q→P))) d) (RS→T) e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))) [解]: a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式(括号不配对) d)不是合式公式 e)是合式公式 1-3(2)对下列各式用指定的公式进行代换: a) (((A→B)→B)→A),用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。 b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B. [解]:a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B)) 1-3(3)用符号形式写出下列命题 a)假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报. b)我今天进城,除非下雨. c)仅当你走,我将留下. [解]a)设P:上午天下雨. Q:我去看电影 《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明） 一、命题逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 [疑难解析] 1、公式类型的判定 判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。 2、范式 求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。 3、逻辑推理 掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。 例1.试求下列公式的主析取范式： 1.设G有16条边，有三个四度顶点，四个三度顶点，其余顶点的度数都小于3，问G中至少 有几个顶点？ 答：总度数=16*2=32 3*4+4*3=24 （32-24）/2=4 至少有3+4+4=11 至少有11个顶点 2．设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个六度定点或者至少 有6个5度顶点 证明，因为：4*6+5*5=24+25=49不可能， 所以当n6<4 时，n5>=6 满足条件 当n6>=5时，满足条件 得证 3.空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体 答：假如有奇数个面n 每个面都有奇数个棱mi(I=1,2,…n)， 那么m1+m2+…+mn= D mi为奇数，n奇数，所以D为奇数 但对于上式来说，每条棱都记了两次，那么D=2*(总棱数) 为偶数矛盾 所以空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体 4.在一次象旗比赛中，任意两个选手之间至多只下一盘棋，又每个人至少下一盘，证明总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的 证明：建一个图的模型：每个选手相当于图的顶点，选手下的盘数相当于顶点得度数，两个选手的对局相当于两个顶点的边，已知顶点的度数是1----n-1, 选手有n个，根据鸽 巢原理 可知，比存在两个顶点的度数相同，也就是总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的。 5.设n阶无向简单图G为3次图(3-正则图)，边数m和n满足以下关系2n-3=m 问G有几种非同构的情况？并证明你的结论 解：3n=2m 2n-3=m => n=6 m=9 所以G是6阶3正则图.设G1，G2均为无向简单图，G1同构于G2 等价于G1的补图同构 于G2的补图。所以可知有两种同构的情况 6．下面给出的两个整数列，哪个是可图化的，对于可图化的请至少给出三个非同构的图1）d=(1,2,2,4,4,5) 可图化 2）d=(1,1,2,2,3,3,5) 不可图化 非同构的图，赫赫在BBS上没法画！ 7.判断下列三个整数列中哪些是可以简单图化的？对于可简单图化的试给出两个非同构的图. 离散数学期末复习要点与重点大纲 （复习以课本和笔记为主。文中标红为需重点掌握的，祝大家都能取得好成绩！） 第1章 命题逻辑 复习要点 1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个基本联结词：否定?P 、析取∨、合取∧、条件→、和双条件?及其真值表，理解其他联结词的定义及基本等价式，会将简单命题符号化． 具有确定真假意义的陈述句称为命题． 命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 2．理解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法． 判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法. 3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法． 4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法（真值表法和等价推导法）． 命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的． 命题公式A 有n 个命题变元，A 的主析取范式有k 个小项，有m 个大项，则 n m k 2=+ 于是有 (1) A 是永真式?k =2n (m =0)； (2) A 是永假式?m ＝2n (k =0)； 5．了解C 是前提集合{A 1,A 2,…,A m }的有效结论或由A 1, A 2, …, A m 逻辑地推出C 的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法． 重点：命题与联结词，真值表，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论. 第2章 谓词逻辑 复习要点 1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化． 原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系． 量词分全称量词?，存在量词?. 命题符号化注意：使用全称量词?，特性谓词后用→；使用存在量词?，特性谓词后用∧． 2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法． 由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题． 在谓词公式?xA 或?xA 中，x 是指导变元，A 是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元． 在非空集合D (个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件． 在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式． 在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则 )(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧?? )(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨?? 离散数学练习题 第一章 一.填空 １.公式)()(q p q p ∧?∨?∧的成真赋值为 01；１0 2．设p ， r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →??→的真值为 0 3．公式)()()(q p q p q p ∧∨?∧??与共同的成真赋值为 ０1;10 ４.设A 为任意的公式,B 为重言式,则B A ∨的类型为 重言式 5．设p, ｑ均为命题，在 不能同时为真 条件下,p 与q 的排斥也可以写成p 与ｑ的相容或。 二.将下列命题符合化 １． 7不是无理数是不对的。 解:)(p ??,其中p: 7是无理数; 或ｐ,其中p ： 7是无理数。 2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。 解:其中,q p ∧?p ： 小刘怕吃苦,q:小刘很爱钻研 ３.只有不怕困难,才能战胜困难。 解:p q ?→,其中ｐ: 怕困难，q: 战胜困难 或q p ?→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 ４.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：)(q p r →→?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ,r: 困难解决了 或：q p r →∧?)(,其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人,ｒ: 困难解决了 5.整数n 是整数当且仅当n 能被２整除。 解：q p ?,其中ｐ： 整数n 是偶数,q: 整数n 能被2整除 三、求复合命题的真值 P:2能整除５， q:旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨ ２.r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()(( 解：p, ｑ 为假命题，ｒ为真命题 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.！ 10.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； ~ 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.… 7.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数 2种不同的关系； 为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；离散数学答案解析
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