2007年湖南高考理科数学试卷及详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数2

2i 1+i ??

???

等于（）

A ．4i

B ．4i -

C ．2i

D ．2i -

2．不等式

x x -+≤的解集是（） A ．(1)(12]-∞--，，

B ．[12]-，

C ．(1)

[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，

3．设M N ，是两个集合，则“M N =?”是“M N ≠?”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（） A ．0.025

B ．0.050

C ．0.950

D ．0.975

6．函数2441()431

x x f x x x x -?=?-+>?， ≤，

，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是

（） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

7．下列四个命题中，不正确．．．

的是（）

A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→

B ．函数2

()4

x f x x +=

-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞

-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞

∞

=→→

．1

lim

x x =-→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）

．

B ．1 C

．12

9．设12F F ，分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,

P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（） A ．02?

，

．0?

．12?

．1?

10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有

min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????

≠?????????

?，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值

是（） A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

11．圆心为(11)

，且与直线4x y +=相切的圆的方程是． 12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b

，c =π

C =

，则B = ． 13．函数3

()12f x x x =-在区间[33]-，

上的最小值是．

14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =?，

（1）b 的取值范围是；（2）若()x y A

B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．

15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行 1 1

第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2

π()cos 12f x x ?

?=+

?，1()1sin 22

g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 17．（本小题满分12分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．

18．（本小题满分12分）

如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，

GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平

面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．

图2

图3

（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；

（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2

sin 5

θ=

，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为

万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2

(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥，

1.5(km)AB =

，OA =．

（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；

（II ）对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．

（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．

D F

B A

20．（本小题满分12分）

已知双曲线2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于

A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分13分）

已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，

…．（I ）证明：数列2n n b b +??

???

（2n ≤）是常数数列；（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列；（III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．

参考答案

1．【答案】C

【解析】2

2i 4i 42i.1+i (1+i)2i -??=== ???

Ｏ

H P

2．【答案】D 【解析】由

01x x -+≤得(2)(1)010

x x x -+??

+≠?≤，所以解集为(12]-，. 3．【答案】B 【解析】由韦恩图知M N ≠??/M

N ≠?;反之，M N ≠?.M N ?≠?

4．【答案】A

【解析】2

()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x

的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0， ?⊥a b.

5．【答案】C

【解析】ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ?<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-?= 6．【答案】B.

【解析】由图像易知交点共有3个。 7 【答案】C.

【解析】lim ()lim ()x x f x g x ∞

∞

=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞

∞

→→与必须都存在！

8．【答案】D.

【解析】正方体对角线为球直径，所以4

R ，在过点E 、F 、O 的球的大圆中，由已知得d=

23,21=R ，2

4143=-=r ，所以

。 9．【答案】D

【解析】由已知P 2(,)a y c ，所以1F P 的中点Q 的坐标为2(,)22

b y

c ，由

1212422

2222,,1,2.2F P

QF F P QF cy cy b k k k k y b b b c c

==?=-?=--

2211()(3)0(3)0,1y a c e e e ∴=--

>?->>>

当10F P

k =时，2QF k 不存在，此时2F 为中点，223

a c c e c -=?=

综上得

1.3

e ≤< 10．【答案】B

【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；

{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。

11．【答案】2

(1)(1)2x y -+-= 【解析】半径R=

411|=-+，所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=

12．【答案】

5π

【解析】由正弦定理得cos

2B ==-，所以5π.6B =

13．【答案】–16 【解析】

2()12302,f x x x '=-=?=±检验

(2)16,(3)9,f f ?-=-= min ()(2)16.f x f ∴=-=-

14．【答案】（1）[1)+∞，（2）

【解析】（1）由图象可知b 的取值范围是[1).+∞，

（2）若(),,x y A B ∈?令t=2x y +，则在（0，b ）处取得最大值，

所以0+2b=9，所以b=

. 15．【答案】21n

-，32

【解析】由不完全归纳法知，全行都为1的是第21n

-行；

662163,n =?-=

故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1。

16．解：（I ）由题设知1π

()[1cos(2)]26

f x x =

++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π

x +

πk =，即0 π

2π6x k =-

（k ∈Z ）．所以0011π

()1sin 21sin(π)226

g x x k =+=+-．

当k 为偶数时，01π13()1sin 12644

g x ??

=+-=-= ???，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644

g x =+

=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ???

?=+=

++++ ????

???

1π311

3cos 2sin 2sin 2262222

x x x x ?????=

+++=++? ?????????? 1π3sin 2232x ?

?=++ ??

?．当πππ2π22π232k x k -

++≤≤，即5ππ

ππ1212

k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ?

++ ??

?是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ?

+???

，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机

培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===?=

所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=?+?=

该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==?=．所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．

（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布

(30.9)B ，，33()0.90.1k k k P k C ξ-==??，0123k =，，，，即ξ的分布列是

ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=?+?+?=．

（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=?=）

18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面ABCD AB =，

AD AB ⊥，AD ?平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ?平面12G ADG ，

所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．

（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角．因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，

1G E ?平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．

因为12G G AD <，AD EF

=，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．

由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，

217G F =，15OF ==，1210G G EO ==．

因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．

故2222222

21126810200BG BE EG G G =++=++=，2BG =

F C

B A

又110AG ==，由11BH AG G E AB =得81248

105

BH ?==

．

故2248sin 5BH BG H BG ∠=

即直线2BG 与平面12G ADG

所成的角是arcsin

．解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，

1G E ?平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，

所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ?平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB =，25BC =，8EG =，则6EB =，

25EF =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，， (6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，．所以(0250)AD =，，，1(608)AG =，，．

设()n x y z =，，是平面12G ADG 的一个法向量，

由100n AD n AG ?=??=??，.得250680

y x z =??+=?，

故可取(403)n =-，

，．过点2G 作2G O ⊥平面ABCD 于点O ，因为22G C G D =，所以OC OD =，于是点O 在y 轴上．

因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．

设2(08)G m ，，（025m <<），由222

178(25)m =+-，解得10m =，

所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，．设2BG 和平面12G ADG 所成的角是θ，则

222

2sin 25

3BG n BG n

θ=

++．故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin 25

．

19 ．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α?，PB AB ⊥，由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥

，所以PBH ∠是

山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，

1sin PH

PB θ

=．设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则

PD ==[12]∈，

．记总造价为1()f x 万元，

据题设有2

211111

()(1)(224

f x PD AD AO a x x a =++

+=-++ 2

143416x a a ???=-++ ? ???

当14x =

，即1

(km)4

BD =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km)AE y =，5

y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有

2131()1224f y PD y a ??

??=++-- ??

????

?43216y a a ?=+??．

则()21

2f y a ??'?=-??

，由2()0f y '=，得1y =．

当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；

当514y ??∈ ???，时，2()0f y '>，2()f y 在514?? ???

，内是增函数．

故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67

a 万元．（III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．

E D

事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302

x y +≤≤，总造价为S

万元，则2

11111224x y S x a ??

++ ??

．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x -

-≥

1322y ≥，当且仅当11

x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值67

16a ，点D E ''，

分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得

211111224x y S x a ?

?=-++ ??

))

1111143

4416

x a y y a a ?

???=-++

+ ??????

143

416a a ?+≥ 67

a =．当且仅当114x =

且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，

S 取得最小值67

a ，以上同解法一．

20．解：由条件知1(20)F -，

，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1

(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++??

=+?，即1212

4x x x y y y +=-??+=?，于是AB 的中点坐标为422x y -??

???

，．

当AB 不与x 轴垂直时，1212

24822

y y y x x x x -==

----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-，

于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--

22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++

22222222

(1)(42)4(2)

411k k k k m k m k k +++=-++-- 222

222(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--．

因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．

当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，

．故在x 轴上存在定点(1

0)C ，，使CA CB 为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y

+=-??

+=?，

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2

12241

k x x k +=-．

212122

44(4)411

k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??．由①②③得2

2441

k x k -=-．…………………………………………………④

241

y k =

-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，

x k y

-=，将其代入⑤有 222

44(4)(4)(4)1x y x y y x x y

y -?

-==----．整理得22

(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．

当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，

当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-．

以上同解法一的（II ）．

21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得222

13n n n S S n a --=．

因为10n n n a S S -=-≠，所以2

13n n S S n -+=． …… ①

于是

213(1)n n S S n ++=+． …

…②

由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于

是

2169n n a a n +++=+． ……

④ 由

④

－

③

得

26n n a a +-=， …… ⑤

所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +??????

≥是常数数列．

（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，

所以332a a =+，4182a a =-．

而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列，所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*，数列{}n a 是单调递增数列12a a ?<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．

12a a ?<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ?<<<915

1223218244

a a a a a ?<-<+<-?

<<．即所求a 的取值集合是9154

4M a

a ??

（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n

a a n n n n n n n

b b e e k a a a a ++++--==

-- 任取0x ，设函数0

0()x x e e f x x x -=-，则002

0()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-

记00()()()x

x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x

g x e x x e e e x x '=-+-=-，

当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，

上为增函数，

当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，

所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，

上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，

取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n

a a n n e e a a ++-<

-．取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2

n n a a n n e e a a ++->

-．所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．

解法二：设函数1

()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，

()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，

上都是增函数，所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，2111

11211

lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++

+++++--=>=--→．故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．