《数理统计》考试题及参考答案
《数理统计》考试题及参考答案
一、填空题(每小题3分，共1５分)
１，设总体X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2
(0,3)N ,而12
9(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别
来自X 和Y 的样本，则929
U Y
=
+
+服从的分布是＿__＿___ ．解：(9)t .
２,设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计,且1?θ比2?θ有效,则1?θ与2?θ的期望与方差满足______＿ .
解:1212
????()(), ()()E E D D θθθθ=<. ３，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与__＿_ ___.解:秩和检验、游程总数检验.
4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_＿_＿___ . 解:正态性、方差齐性、独立性.
５,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计是?β
=_＿_＿___ .解:1?-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题(每小题3分，共１5分）
1,设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则_＿
＿＿D___ .
（Ａ)(0,1)nX
N ; (B ）22()nS n χ; (C)
(1)()n X
t n S
-； (D ）
2
122
(1)(1,1)n
i
i n X F n X
=--∑.
２,若总体2(,)X
N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时,如果样本容量n 增大,则μ的置信
区间____B ＿__ .
(A)长度变大； （B)长度变小; （C ）长度不变; （D)前述都有可能.
3,在假设检验中,分别用α,β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时,下列说法中正确的是_＿__C ＿＿＿ .
（A ）α减小时β也减小; (Ｂ)α增大时β也增大； （C),αβ其中一个减小,另一个会增大; (D)（A)和(B ）同时成立.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和,A S 为效应平方和，则总有___A_＿_ .
（A)T e A S S S =+； (Ｂ)
22
(1)A
S r χσ
-;
(C ）
/(1)(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----; （D ）A S 与e S 相互独立.
５，在一元回归分析中，判定系数定义为2
T
S R S =
回
，则＿＿_B____ . （Ａ)2R 接近0时回归效果显著； (B)2R 接近1时回归效果显著; （C)2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对． 三、(本题10分)设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ,112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是
来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2
X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明
12)(2)X Y t n n +-，其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明:易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
,
(0,1)X Y U N =
.
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--,
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσ
σ
--=
+
+-．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
12(2)X Y t n n =
+-．
四、(本题10分)已知总体X 的概率密度函数为1, 0
(),0, x
e x
f x θ
θ-?>?=???
其它其中未知参数0θ>,
12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.
解:(1)()10
1
()x
v E X xf x dx xe dx θ
θθ
-
∞
∞
-∞
==
==?
?
，用111n
i i v X X n ===∑代替，所以
∑===
n
i i
X X
n
1
1?θ．
(2）1
1?()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑,所以该估计量是无偏估计． 五、(本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ
θθ=+<<,其中未知参数1θ>-，
12(,,
)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计．
解：
1 (1)() , 01
() 0 , n
n i i i x x L θ
θθ=?+∏<
当01i x <<时,1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑，令
1ln ()ln 01n
i i d L n
x d θθθ==+=+∑，得 1
?1ln n
i
i n
x
θ
==--∑.
六、（本题10分)设总体X 的密度函数为e ,>0;
(;)0,
0,x x f x x λλλ-?=?≤? 未知参数
0λ>,12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是
1
λ
的一个U ＭVU Ｅ. 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
222211
()ln (;)I E f x E λλλλλ???-??=-=-= ????????
,
1
λ
的的无偏估计方差的Ｃ-Ｒ下界为 2
2212
2
1[()]11()nI n n λλλλλ
-????'??==． 另一方面
()1E X λ=, 2
1
Var()X n λ=
， 即X 得方差达到Ｃ-R 下界,故X 是
1
λ
的ＵM ＶUE. 七、（本题10分)合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重， 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问:(1)在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求？ （2)如果调整显著性水平0.025α=,结果会怎样?
参考数据: 023.19)9(2025.0=χ， 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(2
05.0=χ．
解:（1)()()22
2
202
1:0.005,
~8n S H σχχσ
-≤=,则应有: ()()222
0.050.05
80.005,(8)15.507P χχχ>=?=, 具体计算得:2
2
2
80.00715.6815.507,0.005χ?=
=>所以拒绝假设0H ,即认为苹果重量标准差指标未达到要求．
(2）新设 2
0:0.005,H σ≤ 由2
22
0.025
2
80.00717.535,15.6817.535,0.005
χ
χ?=?==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求.
八、（本题1０分)已知两个总体X 与Y 独立,211~(,)X μσ,2
22~(,)Y μσ，22
1212, , , μμσσ未知，
112(,,
,)n X X X 和2
12(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间.
解：设2
2
, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差,由抽样分布定理可知
2
2
112
1(1)(1)X
n S n χσ--，
2
22222
(1)(1)Y
n S n χσ--，
由F 分布的定义可得
2
112221
212222
21
222
(1)(1)(1,1)(1)(1)
X
X Y
Y n S n S F F n n n S
S n σ
σσσ--=
=----．
对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-, 即
22222
121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??
， 所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
1/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-?? ?----??
．
九、(本题10分）试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤.
解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测.