2021年新高考数学模拟试题专题练习--第6章第1讲 平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标运算

2021年新高考数学模拟试题专题练习-- 第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基

本定理及坐标运算

1.[2021山东新高考模拟]已知两个力F 1=(1,2),F 2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F 3,则F 3=( ) A.(1,-5)

B.(-1,5)

C.(5,-1)

D.(-5,1)

2.[2021广西模拟]已知向量a=(k,1)与b=(4,k),则“k=±2”是“a·b 共线且方向相反”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.[2021哈尔滨六中模拟]如图6-1-1,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,过点O 的直线与AB,AD 所在直

线分别交于点M,N,若AB ????? =m AM ?????? ,AN ?????? =n AD ????? (m>0,n>0),则1

m +n 的最小值为

( )

图6-1-1

A.√2

2

B.1

C.2√2

D.2

4.[多选题]设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是

( )

A.若AM ?????? =1

2AB ????? +12

AC ????? ,则点M 是边BC 的中点 B.若AM ?????? =2AB ????? -AC ????? ,则点M 在边BC 的延长线上 C.若AM ?????? =-BM ?????? -CM

?????? ,则点M 是△ABC 的重心 D.若AM ?????? =x AB ????? +y AC ????? ,且x+y=12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12

5.[2021洛阳市统考]如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)方向相同,那么实数k 的值为 .

6.[2020唐山市模拟]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,则向量a 的坐标是 .

7.[2020南昌市三模]如图6-1-2,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,BC 的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG

????? =λCD ????? +μCB ????? (λ,μ∈R),则λ

μ

= .

图6-1-2

8.[角度创新]在平行四边形ABCD 中,E 是AB 的中点,F 是线段DE 上的点,且FC ????? =78AB ????? +14AD ????? ,则 ( )

A.FD ????? =2EF ?????

B.EF ????? =2FD ?????

C.FD ????? =3EF ?????

D.EF ????? =3FD ?????

9.[2021河北六校第一次联考]已知点O 是△ABC 内一点,且满足OA ????? +2OB ????? +m OC ????? =0,S △AOB S △ABC

=47

,则实数m 的值为 ( )

A.-4

B.-2

C.2

D.4

10.[2021哈尔滨三中二模]已知△ABC 中,长为2的线段AQ 为BC 边上的高,满足AB ????? sin B+AC ????? sin C=AQ ????? ,H 为AC 上一点且AH

?????? =12

AC ????? ,则BH= ( )

A.

4√7

7

B.4√7

C.

4√3

3

D.2√7

11.[2021山东部分重点中学第一次综合测试] 如图6-1-3,在△ABC 中,∠BAC=π

3,AD ????? =2DB

?????? ,P 为CD 上一点,且满足AP ????? =m AC ????? +12

AB ????? ,若△ABC 的面积为2√3,则|AP ????? |的最小值为 ( )

图6-1-3

A.√2

B.√3

C.3

D.4

3

12.[2020百校联考]如图6-1-4所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c 满足c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,则

x+y k

= .

图6-1-4

答 案

第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算

1.A 由题意可知F 1+F 2+F 3=0?F 3=-(F 1+F 2)=(1,-5).

2.B 由a=(k,1),b=(4,k),且a,b 共线,得k 2

-4=0,解得k=±2.当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),a,b 共线且方向相同;

当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b 共线且方向相反. ∴“k=±2”是“a,b 共线且方向相反”的必要不充分条件.故选B.

3.D 由题意知AO ????? =12AB ????? +12AD ????? =12m AM ?????? +12n

AN ?????? , 因为M,O,N 三点共线,所以12m+1

2n =1,

则1

m +n=(1

2m+1

2n )(1

m +n)=1

2×(1+1+mn+1

mn )≥1

2×(2+2√mn ×1

mn )=2, 当且仅当m=n=1时取“=”,故选D.

4.ACD 对于A,由AM ?????? =12AB ????? +12AC ????? ,可得12AM ?????? -1

2AB ????? =12AC ????? -12

AM ?????? ,即BM ?????? =MC ?????? ,则点M 是边BC 的中点,A 正确;对于B,由AM ?????? =2AB ????? -AC ????? ,可得AM ?????? -AB ????? =AB ????? -AC ????? ,即BM ?????? =CB ????? ,则点M 在边CB 的延长线上,B 错误;对于C,由AM ?????? =-BM ?????? -CM ?????? ,可得AM ?????? +BM ?????? +CM ?????? =0,由重心的性质可知C 正确;对于D,由AM ?????? =x AB ????? +y AC ????? ,且x+y=12

,可得

2AM ?????? =2x AB ????? +2y AC ????? ,2x+2y=1,设AD ????? =2AM ?????? ,则AD ????? =2x AB ????? +2y AC ????? ,2x+2y=1,可知B,C,D 三点共线,△MBC 的边BC 上的高是△ABC 的边BC 上的高的1

2,所以△MBC 的面积是△ABC 的面积的1

2,D 正确,故选ACD.

5.2 解法一 因为向量a 与b 方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以{k =6λ,

1=λ(k +1),解得{

k =-3,λ=-12

(舍去)或{

k =2,

λ=13. 解法二 由题意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但当k=-3时,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,两个向量方向相反,所以k=2.

6.(2√5,√5)或(-2√5,-√5) 因为b=(2,1),所以|b|=√5,又|a|=5,a∥b,所以a=√5b 或a=-√5b,所以向量a 的坐标为(2√5,√5)或(-2√5,-√5).

7.1

2 由题图可设CG ????? =x CE ????? (0

CD ????? +x CB ????? .因为CG ????? =λCD ????? +μCB ????? ,CD ????? 与CB ????? 不共线,所以λ=x 2,μ=x,所以λμ=1

2.

8.D 解法一 设FD ????? =λED ????? .易知ED ????? =AD ????? -AE ????? =AD ????? -12

AB ????? ,则FC ????? =FD ????? +DC ????? =λED ????? +AB ????? =λ(AD ????? -1

2

AB

????? )+AB ????? =(1-1

2λ)AB ????? +λAD ????? ,又FC ????? =78AB ????? +14AD ????? ,所以λ=14,所以FD ????? =1

4

ED ????? ,即EF ????? =3FD ????? . 解法二 FD ????? =FC ????? +CD ????? =78AB ????? +14AD ????? +CD ????? =14AD ????? -18AB ????? =14AD ????? -1

4AE ????? =14

ED ????? ,则EF ????? =3FD ????? . 解法三 如图D 6-1-3,取CD 的中点G,连接BG,设H 为BG 上一点,且BH=DF,易证得AH

?????? =FC ????? ,则AH ?????? =FC ????? =78

AB ????? +14

AD ????? .过点H 作HM∥AB,交AD 于点M,交DE 于点Q,作HN∥AD,交AB 于点N,则AH ?????? =AN ?????? +AM ?????? ,所

以AM

?????? =14

AD ????? ,根据平行线的性质可知BH=14

BG,则DF=14

DE,所以EF ????? =3FD ????? .

图D 6-1-3

9.D 由OA

????? +2OB ????? =-m OC ????? 得,13

OA ????? +23

OB ????? =-m 3

OC ????? ,如图D 6-1-4,设-m 3

OC ????? =OD ?????? ,则13

OA ????? +23

OB ????? =OD ?????? ,∴A,B,D 三点共线,∴OC ????? 与OD ?????? 反向共线,m>0,∴|OD ?????? ||OC ????? |=m 3,∴|OD ?????? ||CD ????? |=m

3m 3+1=m m+3

,∴S △AOB S △ABC =|OD ??????

||CD ????? |=m m+3=47,解得m=4.故选D.

图D 6-1-4

10.D 分别在AB,AC 上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,连接QE,QF,BF,如图D 6-1-5所示.

图D 6-1-5

因为线段AQ 为BC 边上的高,

所以ABsin∠ABC=ACsin C=AQ,所以AB ????? sin∠ABC=AE ????? ,AC ????? sin C=AF ????? ,所以AE ????? +AF ????? =AQ ????? , 由平面向量加法的平行四边形法则可得AE∥QF,AF∥QE, 所以四边形AEQF 为菱形,所以AQ 平分∠BAC,∠BAF=120°, 所以AB=AC,Q 为BC 的中点,E,F 分别为AB,AC 的中点.

所以AB=2AF=2AQ=4,又AH

?????? =12

AC ????? ,所以点H 为AC 的中点,即点H 与点F 重合, 在△BAF 中,BF 2=AB 2+AF 2

-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28. 所以BH 2

=28,BH=2√7,故选D.

11.B 设|AB ????? |=3a,|AC ????? |=b,则△ABC 的面积为12

×3absin π3

=2√3,解得ab=83

.由AP ????? =m AC ????? +12

AB ????? =m AC ????? +34

AD ????? ,且

C,P,D 三点共线,可知m+34=1,得m=1

4,故AP ????? =14AC ????? +34

AD ????? .以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,过A 作AB 的垂线为y 轴,建立如图D 6-1-6所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(1

2

b,√3

2

b),则

图D 6-1-6

AC ????? =(12b,√32b),AD ????? =(2a,0),AP ????? =(18b+32a,√38b),|AP ????? |2=(18b+32a)2+(√38b)2=164b 2+94a 2+38ab+364b 2=116b 2+94

a 2+1≥2√116

b 2×94a 2+1=34ab+1=3,当且仅当116b 2=94

a 2

,即b=6a 时取等号,故|AP

????? |的最小值为√3.

12.9

5 结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb 得{x +3y =4,2x +y =4,解得{x =8

5

,y =45

,

所以x+y=125.由(ka-b)·c=0得ka·c -b·c=0,即12k-16=0,所以k=43,所以x+y k

=95.