高一数学(人教B版)必修4：第3章综合素质检测

阶段性测试题六(第三章综合素质检测)

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．有下列四个命题：

①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12

； ②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；

③x ∈[0，π]，1－cos2x 2

＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2

. 其中不正确的是( )

A ．①④

B ．②④

C ．①③

D ．②③

[答案] A

[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2

＝1， 故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，

1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.

2．(2009·广东)函数y ＝2cos 2????x －π4－1是( )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为π2的奇函数

D ．最小正周期为π2

的偶函数 [答案] A

[解析] y ＝2cos 2????x －π4－1

＝cos ????2x －π2＝cos ????π22x ＝sin2x

∴函数是最小正周期为π的奇函数．

3．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( )

A ．－12 B.3

2 C.12或3

2 D.1

2[答案] D

[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27，

∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28.

∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1

2.

即sin(A ＋B )＝1

2.

∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝1

2.

4．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A.π

2 B ．π C.3π

2 D ．2π

[答案] B

[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1

＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x .

∴最小正周期T ＝π.

5．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ

4的值等于( )

A ．－1＋a 2

B ．－1－

a

2

C ．－1＋a 2

D ．－1－a

2

[答案] D

[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π

2，

∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cos θ

22＝－1

－a

2.

6．(2009·江西)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π

2，则f (x )的最大值为(

) A ．1 B ．2

C.3＋1

D.3＋2

[答案] B

[解析] f (x )＝cos x ＋3sin x

cos x ·cos x

＝cos x ＋3sin x ＝2????12cos x ＋32sin x

＝2sin ????x ＋π

6， ∵0≤x <π2，∴π

6≤x ＋π6<2π

3，

∴f (x )的最大值为2.

7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π

4 B.π

2

C ．π

D ．2π

[答案] B

[解析] y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x

＝cos 4x －cos 2x ＋1

＝(cos 2x －1

2)2＋3

4

＝(1＋cos2x 2－1

2)2＋34

＝cos 22x 4＋34

＝1＋cos4x

8＋34

＝1

8cos4x ＋78.

∴T ＝2π

4＝π

2，故选B.

8．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A.6

2 B.3

2

C.5

4 D ．1＋3

4

[答案] C

[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°

＝1＋12sin30°＝5

4.

9．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])单调递增区间是(

)

A.????－π，－5π6

B.???

?－5π6，－π6 C.????－π3，0

D.????－π6，0 [答案] D

[解析] f (x )＝sin x －3cos x

＝2????12sin x －32

cos x ＝2sin ????x －π3. ∵x ∈[－π，0]，∴x －π3???

?－4π3，－π3. 当x －π3∈???

?－π2，－π3时，f (x )递增， 此时x ∈???

?－π6，0.故选D. 10．(2009·重庆)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6 [答案] C

[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1， ∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ???

?C ＋π6＝1， ∴sin ????C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3

. 11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

[答案] C

[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2

＋sin 2C ＝2， ∴1－12

(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2， ∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0，

∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0，

∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0，

∴cos A ·cos B ·cos C ＝0，

∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0.

∴△ABC 为直角三角形．

12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )

A ．3－cos2x

B ．3－sin2x

C ．3＋cos2x

D ．3＋sin2x

[答案] C

[解析] f (sin x )＝3－cos2x

＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，

∴f (x )＝2＋2x 2

∴f (cos x )＝2＋2cos 2x

＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．(2009·上海)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．

[答案] 1－ 2

[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x

＝1＋2sin ??2x ＋π4，∴y min ＝1－ 2. 14.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3

[解析] 原式＝2×???

?－331－???

?－332＝－233·32＝－ 3. 15．cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2

＝________. [答案] －2

[解析] ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2

<135°， ∴tan θ2，又∵cos θ＝－35，

∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－????－351＋???

?－35＝－2. 16．在△ABC 中，cos ????π4＋A ＝513

，则cos2A 的值为________． [答案] 120169

[解析] 在△ABC 中，cos ????π4＋A ＝513

>0， ∴sin ????π4＋A ＝1－cos 2????π4＋A ＝1213

∴cos2A ＝sin ????π2＋2A ＝sin2???

?π4＋A ＝2sin ????π4＋A cos ???

?π4＋A ＝2×1213×513＝120169

. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°

. [解析] 解法一：原式＝????tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70°

＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°

＝－2·1－tan 2

5°2tan5°·sin20°1＋cos20°

＝－2cot10°·tan10°＝－2.

解法二：原式＝????sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°

＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20°

＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝? ?????1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20° ＝????1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°

＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°

＝－2.

18．(本小题满分12分)已知cos ????α－β2＝－19，sin ????α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2

的值．

[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2

<π. ∵cos ????α－β2＝－19

∴sin ????α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2

， ∴－π4<α2－β<π2

. ∵sin ????α2－β＝23，∴cos ????α2－β＝53

. 故sin α＋β2

sin ??????α－β2－????α2－β ＝sin ????α－β2cos ????α2－β－cos ????α－β2sin ???

?α2－β ＝459×53－????－19×23＝2227

， cos α＋β2

＝cos ????????α－β2－????α2－β ＝cos ????α－β2cos ????α2－β＋sin ????α－β2sin ???

?α2－β ＝????－19×53＋459×23＝7527，

∴tan α＋β2＝sin

α＋β2cos α＋β2 ＝22

27

75

27＝

22535. 19．(本小题满分12分)已知α＋β＝3π4，求证：cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝12

. [解析] 左边＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2cos αcos β ＝1＋12

(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22

[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1＋cos 3π4cos(α－β)＋22????cos 3π4

＋cos (α－β)

＝1－22cos(α－β)＋22×????－22＋22

cos(α－β) ＝1－12＝12

＝右边． 20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝1＋cos2x 4sin ????π2

＋x －a sin x 2·cos ????π－x 2的最大值为2，试确定常数a 的值．

[解析] f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2

＝12cos x ＋a 2

sin x ， f (x )的最大值为

14＋a 24 ∴14＋a 2

4＝2， 解得a ＝±15.

21．(本小题满分14分)(2010·南安一中高一下学期期末测试)已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，其中a ∈R .

(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；

(2)若f (x )在[－π6，π6

]上最大值与最小值之和为3，求a 的值． [解析] f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a

＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1， (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2

＝π. (2)∵x ∈[－π6，π6]，2x ∈[－π3，π3

]， 2x ＋π6∈[－π6，π2

]， sin(x ＋π6)∈[－12

，1]， ∴f (x )max ＝a ＋3，f (x )min ＝a ，

∴2a ＋3＝3，∴a ＝0.

22．(本小题满分14分)(2009·湖南)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．

(1)若a ∥b ，求tan θ的值；

(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．

[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ，

∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14

. (2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， ∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.

∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，

即sin2θ＋cos2θ＝－1，

∴sin ????2θ＋π4＝－22

. 又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4

. ∴θ＝π2或θ＝3π4.