全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助

线精典题型

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全等三角形几种常见辅助线精典题型

一、截长补短

1、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意

一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系 3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠

AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。

4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .

5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结

CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．

6、如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长．

7、如图所示，在ABC ?中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.

8、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠

AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

二、全等与角度

N

E

B M A

D

D

O E

C

B

A

M

D

C

B

A

N

M

D

C

B

A

E

D C

B

A

C

E

D

B

A

1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.

2、如图所示，在ABC ?中，AC BC =，20C ∠=?，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=?，60ABM ∠=?，求NMB ∠.

3、 在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使

DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.

4、如图所示，在ABC ?中，44BAC BCA ?

∠=∠=，M 为ABC ?内一点，使得30MCA ?∠=，16MAC ?∠=，求BMC ∠的度数.

5、如图：在ABC ?内取一点M ，使得MBA ∠=30，10MAB ∠=.设80ACB ∠=，AC BC =，求AMC ∠.

6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系如是正五边形，正六边形呢

参考答案：一、截长补短

1、BE CD BC +=，

理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，

利用SAS 证得BEO ?≌BFO ?，∴12∠=∠，

∵60A ∠=?，∴1901202

BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，

∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，

N

M

C

B

A

4

321

F

D O

E C

B

A

∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，

利用AAS 证得CDO ?≌CFO ?，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．

2、DM MN =.

过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =

又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠

∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，

∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．

3、过点D 作BC 的垂线，垂足为E .

∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60°

∵DM =CM ∴CD =DM

∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75°

∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE

故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .

4、延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .

E M

D

C

B

A

M F E

D

C

B A

∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF

∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD

∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM

∴∠AMB =∠EAM ∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .

5、因为ABD ?、ACE ?是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，

则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ??≌， 则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．

在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ??≌，ACF AEO ??≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；

由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠． 6、如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.

在BDM ?与CDE ?中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ??≌，故MD ED =.

E

A

B

C D

M N

因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.

在MND ?与END ?中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ??≌，则NE MN =，所以AMN ?的周长为2.

7、如图所示，作BED ∠的平分线交BC 于F ，又过A 作AH EF ∥交BE 于G ，交BC 于H ，则知12

EAG DEF BEF AGE BAC ∠=∠=∠=∠=∠，从而GE AE =.

又12

AGE BED CED ∠=∠=∠，则AGB CEA ∠=∠.

由ABE BAE BED BAC CAE BAE ∠+∠=∠=∠=∠+∠可得ABG CAE ∠=∠. 注意到AB CA =，故有ABG CAE ??≌，从而BG AE =，AG CE =，

于是BG GE =.

又由AH EF ∥，有BH HF =，12

GH EF =，且

AH HD

EF FD

=

. 而CED FED ∠=∠，从而

11

22

CD EC AG AH GH AH HD FD EF EF EF EF FD -====-=-， 即1

111122222

CD HD FD HF FD BF FD BD =-=+=+=，故2BD CD =.

8、延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .

∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF

G

H F E

D C

B A

∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF

∴EF=BC，AC=AF

∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF

∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF

即AD平分∠CDE.

二、全等与角度

1、如图所示，延长AB至E使BE BD

=，连接ED、EC.

由AC AB BD

=+知AE AC

=，

而60

BAC

∠=，则AEC

?为等边三角形.

注意到EAD CAD

∠=∠，AD AD

=，AE AC

=，

故AED ACD

??

≌.

从而有DE DC

=，DEC DCE

∠=∠，

故2

BED BDE DCE DEC DEC

∠=∠=∠+∠=∠.

所以20

DEC DCE

∠=∠=，602080

ABC BEC BCE

∠=∠+∠=+=

【另解】在AC上取点E，使得AE AB

=，则由题意可知CE BD

=.

在ABD

?和AED

?中，AB AE

=，BAD EAD

∠=∠，A

B

D E

F

C

E

D C B

A

E

D C B

A

AD AD =，

则ABD AED ??≌，从而BD DE =，

进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，

AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.

注意到ABD AED ∠=∠，则：

13

18012022

ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，

故80ABC ∠=?.

【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等

三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.

需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.

上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.

2、过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .

连接PN ，易知APB ?、MKP ?均为正三角形. 因为50BAN ∠=?，AC BC =，20C ∠=?，

所以50ANB ∠=?，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=?，

则40PKN ∠=?，180608040KPN ∠=?-?-?=?， 故PN KN =. 从而MPN MKN ??≌.

进而有PMN KMN ∠=∠，1302

NMB KMP ∠=∠=?

3、如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =， 则ADC BDC ??≌，

故30BCD ∠=.

而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =，

因此BDE BDC ??≌， 故30BED BCD ∠=∠=.

4、在ABC ?中，由44BAC BCA ?∠=∠=可得AB AC =，92ABC ?∠=. 如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ，

则有30OAC MCA ?∠=∠=，

443014BAO BAC OAC ???∠=∠-∠=-=，

301614OAM OAC MAC ???∠=∠-∠=-=，

所以BAO MAO ∠=∠.

又因为90903060AOD OAD COD ????∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=?=∠.120BOM ∠=?

D

E

C

B

A

O

D M

C

A B

而AO AO =，因此ABO AMO ??≌，

故OB OM =.

由于120BOM ?∠=，

则180302

BOM

OMB OBM ?-∠∠=∠=

=?，

故180150BMC OMB ??∠=-∠=

5、如图所示，ABC ?的高CH 与直线BM 交于点E ，则AE BE =. 而301020EAM EAB MAB ∠=∠-∠=-=，

1

402

ACE ACB ∠=∠=，

(9040)3020EAC CAH EAB ∠=∠-∠=--=，

103040AME MAB MBA ∠=∠+∠=+=，

由两角夹一边法则可知AME ACE ??≌， 因此AM AC =，

6、DM MN =.在AD 上截取AG AM =，

∴DG MB =，∴45AGM =∠

∴135DGM MBN ==?∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ??≌，∴DM MN =．

E

H

A

B

C

M

N

C

D

E

B M A