信号系统习题解答3版-3
第3章习题答案
3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率
5 kHz f =,脉宽20 s τ=μ,幅度10V E =,如图题
3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5,12,20,50,80及100 kHz 频率分量来?要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图 题3-1
解:5kHz f =,20μs τ=,10V E =,1
1
200T s f
μ=
=,41210f ππΩ== 频谱图为
从频谱图看出,可选出5、20、80kHz 的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数,并大致画出频谱图。
图 题3-3
解: ()f t 在一个周期(0,T 1)内的表达式为: 11
()()E
f t t T T =-
- 11111
0011111()()(1,2,3)2T T jn t jn t
n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π
-Ω-Ω=
=--=-=±±±??
11010011111()()2
T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=??
傅氏级数为:
11
1122()22244j t j t j t j t
E jE jE jE jE f t e e e e ππππ
Ω-ΩΩ-Ω=
-+-+-
n c
1
2(kHz)
f 5205010015080
(1,2,3)2n E
F n n π
=
=±±± (0)2
(0)2
n n n π?π?->??=?
??
频谱图为:
3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数,若10 V E =, 10 kHz f =,大致画出幅
度谱。
图 题3-4
解:由于()f t 是偶函数,所以展开式中只有余弦分量,故傅氏级数中0n b =,另由图可知()f t 有直流分量, ()f t 在一个周期(2T -
,2
T
)内的表达式为: 111
cos 4()04
T E t t f t T t ?
Ω?=??>?? 其中:112T πΩ=
111124
01112411()cos T T T T E a f t dt E tdt T T π
--==Ω=?? 11
111124
11124
22()cos T T jn t jn t T T n n a c f t e dt E t e dt
T T -Ω-Ω--===Ω???
n
F 2E
π
6E π
10E π
1
Ω13Ω1
5Ω1-Ω13-Ω15-Ω4E π
12Ω14Ω8E π
2E
12-Ω14-Ω2
π-
2
πn
?15-Ω13-Ω1
-Ω1
Ω1
3Ω1
5Ω1
2Ω12-Ω14-Ω14Ω
211sin sin 2122cos
3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-????=+=-=??+--????
111211122()2T
j t T E a c f t e dt T -Ω-===?
所以,()f t 的三角形式的傅里叶级数为:
11122()cos cos 2cos 42315E
E E E f t t t t π
ππ
=
+
Ω+Ω-Ω+
3-6 利用信号()f t 的对称性,定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
图 题3-6
解: (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) ()f t 为奇函数及奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。
n
c 1ΩΩ
2
E
23E π
215E π
-
12Ω1
3Ω1
4Ω15Ω16Ω1
7Ω1
8Ω19Ω1
10ΩE
π
(c) ()f t 为偶谐函数,而且若将直流分量(1/2)去除后为奇函数,所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) ()f t 为奇函数,傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数,傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) ()f t 为奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数()f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出()f t 在一个周期(0t T <<)的波形。 (1)()f t 是偶函数,只含有直流分量和偶次谐波分量; (2)()f t 是偶函数,只含有奇次谐波分量;
(3)()f t 是偶函数,含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
解:(1)由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ??-????内的波形,由()f t 在,04T ??
-????内的波形及
()f t 是偶谐函数,它在,42T T ??????内的波形与它在,04T ??-????内的波形相同,它在,2T T ??
????内
的波形与它在0,2T ??
????
内的波形相同。根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。按上
述类似的方法可画出(2)和(3)。
(2)
(3)
t
()f t 4T 0 2
T
T
t
()f t
4T 0 2T T
t
()f t 4
T 0 2T
T
34
T
图 题3-7
3-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换,并画出频谱图。
图 题3-8
解法一:按定义求
22
()()cos
j t
j t
F j f t e
dt E t e dt τ
τπτ
∞
-Ω-Ω-∞
-Ω==??
? 由于()f t 是偶函数,所以
2202
20()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdt
E E t t dt E E τ
τ
ττ
ππ
ττππττπτπτττπ
ττ
πτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ??
??=+Ω+-Ω=++-??????
??????
????=
Ω+Ω- ? ??????
??
?????
??? 化简得:2cos 22()1E F j ττπτπΩ?? ???Ω=???
Ω??-??
???????
解法二:利用卷积定理求 设:12()cos
,()()()22f t t f t E u t u t π
τττ
?
?==+--???
?
则 12()()()f t f t f t =?,于是121
()()()2F j F j F j π
Ω=
Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ??Ω=Ω++Ω-????,2()Sa 2F j E τ
τΩ??Ω=
???
故1
()()()Sa 22F j E ππτπδδτπ
ττ?Ω?
????Ω=
Ω++Ω-*?? ?????????
Sa +Sa 2222E E τπττπτττ????
???
?=
Ω+Ω- ? ?????????????
()F j Ω的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2
E τ
τΩ??
???
分别向左、右移动πτ(幅度乘以12)后
叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示(j)
FΩ的傅里叶逆变换()
f t。
图题3-10
解:(a)000
()()
j t
F j AeΩ
Ω=-Ω<Ω<Ω
00000
()()
11
()
22()
j t j t t j t t
j t
A
f t Ae e d e e
j t t
ππ
ΩΩ+Ω-+Ω
Ω
-Ω
??=Ω=-
??
+
?
[]
00
Sa()
A
t t
π
Ω
=Ω+
(b)
2
2
(0)
()
(0)
j
j
Ae
F j
Ae
π
π
-
?
-Ω<Ω<
?
Ω=?
?<Ω<Ω
?
000
22
1
()sin Sa 222
j j
j t j t
A t t
f t Ae e d Ae e d
ππ
ππ
Ω
-ΩΩ
-Ω
??ΩΩΩ=Ω+Ω=-
??
??
??
(cos1)
A
t
tπ
=Ω-
3-13 求函数c
Sa()t
Ω的傅里叶变换。
解:利用对偶性求
因为()Sa()
2
EG t E
τ
τ
τ
Ω
?,所以Sa()2()2()
2
t
E EG EG
ττ
τ
τππ
?-Ω=Ω
)
(Ω
j
F
π
τ
π3
τ
π
-
τ
π3
-
Ω
τ
π5
τ
π5
-
π
τ/
2E
2/τE
2
Sa()()
2
t
G
τ
τπ
τ
?Ω
令
2
c
τ
Ω=,则
2
Sa()()
c
c
c
t G
π
Ω
Ω?Ω
Ω
即:F
[][]
Sa()()()
c c c
c
t u u
π
Ω=Ω+Ω-Ω-Ω
Ω
3-15 对图题3-15所示波形,若已知[]
11
()(j)
f t FΩ
=,利用傅里叶变换的性质求图中2
()
f t,
3
()
f t和4()
f t的傅里叶变换。
图题3-15
解:已知F[]
11
()()
f t F j
=Ω
21
()()
f t f t T
=+,∴
21
()()j T
F j F j eΩ
Ω=Ω?
31
()()
f t f t
=-,∴
31
()()
F j F j
Ω=-Ω
413
()[()]()
f t f t T f t T
=--=-∴
41
()()j T
F j F j e-Ω
Ω=-Ω
3-21 已知三角脉冲信号
1
()
f t如图题3-21(a)所示。试利用有关性质求图题3-21(b)中的2
()
f t=10
cos
2
f t t
τ
Ω
??
-
?
??
的傅里叶变换2(j)
FΩ。
图题3-21
解:设F[]2
11
()()Sa
24
E
f t F j
ττ
Ω
??
=Ω= ?
??
则F 2
1112()()()2
j f t F j e
F j τ
τΩ-?
?-=Ω=Ω???
?
而F []2()f t =F [][]{}101201201
()cos ()()22
f t t F j F j τ??-Ω=Ω+Ω+Ω-Ω????=
[][]000
0()()2
2
101022
002
2
2
1()()2Sa Sa 4
44j j
j j j
F j e F j e
E e e
e τ
τ
τ
τ
ττττΩ+ΩΩ-Ω--ΩΩΩ--?
?=Ω+Ω+Ω-Ω???
?
??Ω+ΩΩ-Ω??
??=+?? ? ?????
?
?
3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性,求图题3-23所示信号的傅里叶变换。
图 题3-23
解:(3)[]33()
()4(1)(2)df t t u t u t dt
?=
=--- 3
23()4Sa 2j j e -Ω
Ω??ΦΩ= ???
33()3,
()1f f ∞=-∞=-
[]3
323334Sa ()2()()()()2()j j F j f f e j j πδπδ-ΩΩ?? ?ΦΩ??Ω=+∞+-∞Ω=+ΩΩΩ
3-25 若已知
[]()(j )f t F Ω=,利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。
(2)(2)()t f t -
(4)d ()
d f t t
t
(5)(1)f t -
解:(2)F [](2)()t f t -=F []()
()2()2()dF j tf t f t j
F j d Ω-=-ΩΩ
(4)F []()()()()d j F j df t dF j t j F j dt d d ΩΩΩ????==-Ω+Ω????ΩΩ????
(5)F [](1)f t -=F []{}(1)()j f t F j e -Ω--=-Ω
3-29 根据附录B 中给出的频谱公式,粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度f B (图中时间单位为s μ)。
图 题3 -29
解:(a )若时间单位为s μ,则频带为
1
4
MHz ,即250KHz (b )若时间单位为s μ,则频带为1
4
MHz ,即250KHz
(d )若时间单位为s μ,则频带为1 MHz
(f )频若时间单位为s μ,则带为1
2
MHz ,即500KHz
3-32 周期矩形脉冲信号()f t 如图题3-32所示。
(1)求()f t 的指数形式的傅里叶级数,并画出频谱图n F ; (2)求()f t 的傅里叶变换(j )F Ω,并画出频谱图(j )F Ω。
图 题3-32
解: (1)
()0()Sa 2Sa 2
F j E τ
τΩ??
Ω==Ω
???
()1
00112
()()11Sa Sa 4222
n n n F j F j n F n T ππ
Ω=Ω=ΩΩΩ??
∴=
==Ω=
???
指数形式的傅里叶级数为:121()Sa 22
n j t
jn t
n
n n n f t F e
e π
π∞
∞Ω=-∞
=-∞??=
= ???
∑∑
频谱图如下图所示,图中:12
πΩ=
(2)F []()1111
()2()2Sa ()2n n n f t F n n n π
δπ
δ∞
∞
=-∞
=-∞=Ω-Ω=ΩΩ-Ω∑
∑ Sa 22n n n πππ
δ∞
=-∞
???
?=Ω- ?
????
?
∑
3-33 求下列函数的拉氏变换,设[()]()f t F s =。
(1)(12)e t
t -+
(4)()
0e cos
t t αΩ-+
(6)e
()t a
t f a
-
(8)35e e t t
t
--- 解:(1)
2221231
(12) ()1(1)(1)t
s t e t s s s s
-++?+=?+++ (4)
()
00cos cos t a a
t
e
t e e t -+--Ω=Ω
0222200
1 (cos )(1)a
s s
e
t s s -+?Ω?++Ω+Ω
(6) 1
()(())(1) (()())t
a
t t
e
f aF a s aF as f aF as a a a
-
?+=+? (8) 35115()ln 353t t s e e s d t s ηηη--∞-+???-= ?+++??
?
3-35 求下列函数的拉氏变换,注意阶跃函数的跳变时间。
(1)()e (2)t
f t u t -=- (2)(2)
()e (2)t f t u t --=- (3)(2)
()e
()t f t u t --= 解:(1) ()f t =2(2)
(2)(2)t t e u t e e
u t -----=-
2(1)
221()11
s s
e F s e e s s -+--==++
(2) ()f t =2
(2)
(2)(2)t
t e u t e e u t -----=
-
221()11s s
e F s e s s --==
++
(3)
(2)
2
()()()t t
f t e
u t e e u t ---==
2
2
1()11e
F s e s s ==
++
3-39 求下列函数的单边拉普拉斯逆变换。
(3)3(4)(2)s
s s ++
(4)33(1)(2)s s s +++ (7)2e 4(1)s
s s -+
解:(3)
42363
(63)()(4)(2)42
t t s e e u t s s s s ---=+?-++++
(4)
332
312(1)(2)(1)(1)
s A B C D
s s s s s s +=+++++++++ 3
13
3
11
322
311
2
333
3
where (1)|2;(1)(2)
31 (1)||1;(1)(2)(2)131 (1)||1;2(1)(2)(2)3
(2)(1)(s s s s s s A s s s d s B s ds s s s d
s C s ds s s s s D s s =-=-=-=-=-+=+=++??+-=+==-??+++????+=
+==??+++??+=++2|12)s s =-=-+ 22()(1)()t t f t t t e e u t --??=-+-??
(7)
2
24(1)1s s
e A Bs C e s s s s --+??=+ ?++??
02
11
where |;44(1)
s A s s s ===+ 221222
11441
so ();414(1)4(1)Bs C s Bs C F s s s s s s s ++++=+=≡+++ 1
so , 04
B C =-=
[]1
()1cos(1)(1)4
f t t u t =---
3-40 试利用拉氏变换的时域卷积定理求下列拉氏变换()F s 的原函数()f t 。
(1)
2
1()s a +
解:21()s a +11
s a s a
=?++
所以
()()()()at
at
at
f t e
u t e
u t te
u t ---=*=
3-43 分别求下列函数的逆变换之初值和终值。
(1)10(2)(5)s s s ++ (3)32221
21s s s s s +++++
解:(1)
10(2)
(5)s s s ++
0010(2)(0)lim ()lim 10
(5)
10(2)()lim ()lim 4
(5)
s s s s s s
f sF s s s s s
f sF s s s +
→∞→∞→→+===++∞===+
(3)
32
22
2132
1
2121
s s s s
s
s s s s
++++
=-+
++++
2
2
00
32
(0)lim()lim3
21
32
()lim()lim0
21
s s
s s
s
f sF s s
s s
s
f sF s s
s s
+
→∞→∞
→→
+
===
++
+
∞===
++