一元一次方程经典例题讲解

一元一次方程

知识点梳理

1．一元一次方程的有关概念

（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 2．等式的基本性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。 用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m

（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用字母表示：若a=b,则am=bm,

n a =n

b

(n 不为0) 3．解一元一次方程的基本步骤：

例1

（1）y-5

2

221+-

=-y y

例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值

已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.

例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73

|

12|=-x

一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 1、数字问题

要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。 例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。

例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序

对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。 分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

2、日历中的规律：横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。

例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________

例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。 A 3 B 4 C 5 D 6

例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？

3、等积变形问题

常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

例1、用直径为4cm 的圆钢，锻造一个重0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g ，应截圆钢多长？

例2. 用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252

?mm 内高为81mm 的

长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm ？（结果保留整数π≈314

.）

4、 和、差、倍、分问题：

倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。 多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.

例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。 （2）配套问题：

例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）

例2. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

解：设分别安排x 名、(

)85-x 名工人加工大、小齿轮

31621085()[()]x x =-

4817002068170025x x x x =-==

∴-=

8560

x人

答：略.

（3）分配问题：

例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

例2. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题常用等量关系：各部分之和＝总量。）

（4）年龄问题：

例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？

例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。

5、工程问题

工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(1

15+

1

12

)×3+

x

12

=1，

...................

例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？

6、打折销售问题

（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等

（2）基本关系式：

①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价。

由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。由③④可得出⑤利润率＝。

例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？

例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）

要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

例7. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。

（1）分析：相遇问题，画图表示为：

甲 乙

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390

∴ x=11623

答：略. 分析：相背而行，画图表示为：

600

甲 乙

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 解：设x 小时后两车相距600公里，

由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x=1223

答：略.

（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120 ∴ x=2.4 答：略.

分析：追及问题，画图表示为：

。

甲乙

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设x小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480

解这个方程，50x=480 ∴ x=9.6

答：略.

分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480

50x=570 解得， x=11.4

①答：略.

环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

1、A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？

2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？

。

4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？

5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。

5．市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝

商品利润

商品成本价

×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．8．储蓄问题

七、银行储蓄问题。

注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____＝（1＋_____×_____）×本金（不考虑利息税）本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____×（1－_____）（考虑利息税）

1、张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券20000元，若在2003年7月8日可获得利息数为2790元，则这种国库券的年利率是多少？

2、小明的爸爸前年存了年利率为2.25％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值576元的CD机，问小明爸爸前年存了多少钱？

3、教育储蓄年利率为1.98％，免征利息税，某企业发行的债券月利率为2.15‰，但要征收20％的利息税，为获取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄呢？某人存入28000元，一年到期后可以多收益多少元？

4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少？（精确到0.01％）