双曲线专题
一．双曲线的轨迹方程
1.已知F1（-5,0），F2（5,0），动点P满足P F1-P F2=2a，当a 为
3,和5时，P的轨迹方程：
2.三角形ABC的顶点为A（-5，0）B（5,0），三角形的内切圆
圆心在X=3上，则C的轨迹方程：
3.平面内两个定点A（-5，0）B（5,0）点M满足MA-MB=6，
则M的轨迹方程：
4.已知定圆M：x2+y2+10x+24=0,定圆N：x2+y2-10x+9=0，动
圆A与定圆M,N都外切，求动圆圆心A的轨迹方程：
5.三角形ABC中，AB=4√2，且三角形三个内角满足2sin A
+sin C=2sin B，求定点C的轨迹方程：
6.已知点P（x,y）满足√（x+2）2
+y2+√（x?2）2+y2
=2,则点P的轨迹方程：______
7.动圆M与圆C：（x+2）2+y2=2 内切，且过点A(2,0),求圆心轨
迹方程______
8.动圆M与圆C：（x+3）2+y2=9 内切，且圆（x-3）2+y2=1内切,
求圆心轨迹方程______
9.已知点M（-3,0）N(3,0)，B（1,0），动圆C与直线MN相切
与点B，分别过M,N且与圆相切的两条直线相交于点P，则
点P的轨迹方程______
二．双曲线表达式问题
1. 与双曲线
x 2
16
?
y 24
=1有相同的焦点，且经过点（3√2,2）求方
程______
2. 过P （3，15
4
），Q （-16
3
,5）,的双曲线方程______
三． 双曲线的PF 问题
1. 过双曲线x 23
?
y 24
=1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为
______ 2. 双曲线
x 2a
?
y 2b
=1 (a >0，b >0),点A,B 分别在右支上，线段
AB 经过双曲线的右焦点F 1，则三角形AF 2B 的周长____ 3. 三角形ABC 中，A(-5,0)，B （5,0），点C 在双曲线x 216
?
y 29
=1
上，则
sin A?sin B
sin C
等于____
四． 双曲线的焦点三角形
2. 已知双曲线的两个焦点为F 1(?√5，0)、F 2(√5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是
3. 双曲线
x 216
?
y 29
=1上一点P 到点(5，0)的距离为15，则点P 到
点(－5，0)的距离为（ ）
4. 若椭圆
x 2m
+
y 2n
=1 (m >n >0)和双曲线
x 2a
?
y 2b
=1 (a >0，b >0)
有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，求|PF 1|·|PF 2|的值
5. P 是双曲线
x 264
?
y 236
=1上一点，F 1 ,F 2双曲线的两个焦点，且
|PF 1|=17，求|PF 2|的值．
6.若椭圆
x 2m
+
y 2n
=1 (M >N >0)和双曲线x 2a
?y 2b
=1 (a >0，b >0)有
相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，求|PF 1|·|PF 2|的值
7.已知双曲线的两个焦点为F 1(?√5，0)、F 2(√5，0)，P 是此双
曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )
8.设F 1、F 2分别是双曲线x 2
?
y 29
=1的左、右焦点．若点P 在
双曲线上，且PF 1??????? PF 2??????? =0，则|PF 1??????? +PF 2??????? |=__________.
9.已知双曲线
x 225
?
y 29
=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲
线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O
为坐标原点，则|NO |等于( )
10. 已知双曲线的两个焦点为F 1，F 2，P 是此双曲线上的一点，∠F 1PF 2=60，|PF 1|·|PF 2|＝
四.双曲线的渐近线与离心率
1．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22
?y 2=1有相同渐近线的双
曲线方程是( )
2. 双曲线
x 2b 2
?
y 2a 2
=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离
心率是（ ）
3. 过双曲线
x 2a ?
y 2b =1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左
焦点，若∠PF 1Q=90?，则双曲线的离心率是（ ）
4. 已知双曲线
x 2a 2
?
y 2b 2
=1 (a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是
其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )
5.已知双曲线
x 2a 2
?
y 2b 2
=1 (a >0，b >0)过点A(√14,√5)，且点A 到
双曲线的两条渐近线的距离的积为43
，求此双曲线方程
6.已知双曲线
x 24
?y 2=1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双
曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，求ΔF 1PF 2的面积.
7.如下图，已知F 1，F 2是双曲线
x 2a 2
?
y 2b 2
=1 (a >0，b >0)的两
焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲
线上，求双曲线的离心率．
8.已知双曲线两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率：
五． 双曲线的最值问题
1. P 为双曲线x 2-y
215
=1右支上的一点，M,N 分别为圆 （x+4）2+y
2
=4
和圆（x-4）2+y 2=1上的点，则PM-PN 的最大值 _________
4. 双曲线
x 25
?
y 24
=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 为双曲线
右支上，则AP+A F 2的最小值______ 3. 双曲线x 2-y
2
4
=1，A 的坐标为（-√0），B 是x 2+（y-√2=1
上的点，M 在双曲线的右支上，求MA+MB 的最小值__________ 4. F 为双曲线
x 24
?
y 2b =1的左焦点，定点A （1,4），P 为双曲线右
支上的动点，若PF+PA 的最小值为9,则椭圆的离心率______ 六．双曲线的第三定义
1.已知双曲线
x 24
?y 2=1，求过点A （3，-1）且被点A 平分的
双曲线的弦AB 的所在的直线方程______
2.求过点（1,0）的直线被双曲线x 24
?y 2=1截得的弦的中点的轨
迹方程______
3.双曲线的一个焦点为（√7,0），直线y=x-1与其相交于M ，N 两点，线段MN 的中点的横坐标为-2
3，则双曲线的方程____
4.已知A,B,P 是双曲线
x 2a ?y 2b =1上不同的三点，且A,B 连线经
过原点，若直线PA ，PB 的斜率之积为43
，则双曲线的离心率___
5.已知直线y=1
2x 与双曲线
x 29
?
y 24
=1相交于A,B 两点，P 双曲线
上不同于A,B 的点，则直线PA ，PB 的斜率之积为______
六．直线与双曲线的交点问题
1.双曲线x 2
a2?y2
b2
=1的右焦点F，若过F且倾斜角为60的直线
与双曲线右支有一个交点，则离心率的范围______
2.双曲线x2-y 2
4
=1，过点P(1,0)的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有几条
3.双曲线x 2
a2?y2
b2
=1与直线y=2x无交点，则离心率范围：
4.设双曲线x 2
a ?y2
b
=1与x+y=1交于两个不同的点，则离心率：
双曲线专题练习(含解析)
双曲线专题练习 5．（2020·陕西省西安市育才中学模拟）已知双曲线C：x2 a2－y2 16＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y ＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝()
A ．1 B ．13 C ．17 D ．1或13 6．（2020·辽宁省东北中山中学模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线 的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23 －y 2 ＝1 D ．x 2－ y 2 3 ＝1 7．（2020·河北省秦皇岛市第三中学模拟）如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝± 33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22 x D ．y ＝±2x 8.（2020·辽宁省海城市高级中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5， 0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1
9.（2020·吉林省四平市实验中学模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的 距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A. 53 B.355 C.63 D.62 10.（2020·黑龙江省双鸭山市第一中学模拟）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos △F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.4 5 11．（2020·江西省赣州市第一中学模拟）双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3 5x ，则a ＝ . 12．（2020·福建省福州高级中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c ，则其离心率的值为 ． 13．（2020·安徽省马鞍山市第二中学模拟）双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的 边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ . 14．（2020·江苏省太湖高级中学模拟）已知椭圆D ：x 250＋y 2 25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与 椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 15．（2020·浙江省义乌第二中学 模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→ ＝0. 16．（2020·黑龙江省绥化市第一中学模拟）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习
1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形，
双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》---------双曲线 主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题： 2 注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？ 3 注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法 （1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22 221(0,0)x y a b b a -=>>）， 则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线22 221x y a b -=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________； ②若双曲线的渐近线方程是b y x a =± ，则双曲线的方程可表示为_____________________； ③与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________； ⑤与椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为 ______________________________________________________________________________。 5．双曲线离心率的有关问题 （1）c e a = ，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e = 。 （3）双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。 ②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求 值域或解不等式来完成；b ． 通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。 6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 （1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？ （2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题： 考点一：双曲线的定义 例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2 +y 2 =2外切，与圆C 2：(x -4)2 +y 2 =2内切，求动圆圆心M 的 轨迹方程. 变式训练：由双曲线4 92 2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
双曲线专题复习附答案
双曲线专题 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 1.设P 为双曲线1122 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形， .12462 1||||212121=??=?=∴?PF PF S F PF 故选B 。 2. P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+ ［解析］设21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为0x ， 由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程 3.已知双曲线C 与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程． [解析] 解法一：设双曲线方程为22 a x －22b y =1.由题意易求c =25. 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2 4b =1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8. 故所求双曲线的方程为122 x －8 2y =1. 解法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，
椭圆双曲线抛物线专题训练
椭圆、双曲线、抛物线 专题训练 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 2．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线 段AF 交C 于点B .若FA ＝3FB ，则|AF |＝ ( ) A. 2 B ．2 C.3 D ．3 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝ 3 2 |MN |，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 4．过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠ F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A. 22 B.3 3 C.12 D.13 5．双曲线x 24－y 2 5＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若线段PF 1的 中点在y 轴上，那么点P 到双曲线左准线的距离是( ) A.133 B.53 C.154 D.94 6．(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (7 2 ，4)，则|PA |＋d 的最小值是( ) A.7 2 B ．4 C.9 2 D ．5
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±1 3 x 的双曲线的方程为________． 8．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1·x 2＝－2，则抛物线C 的方程为________． 9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10．(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1 2， 且椭圆经过点N (2，－3)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 11．(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 3，过右 焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 22 . (1)求a ，b 的值； (2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 12．(本小题满分16分)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2 a 2－ y 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)交于A 、B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b a x 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．
椭圆、双曲线、抛物线专题训练(一)
椭圆、双曲线、抛物线专题训练（一）（2012年2月27日） 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52 3．在抛物线y 2＝4x 上有点M ，它到直线y ＝x 的距离为42，如果点M 的坐标为(m ，n )且 m >0，n >0，则m n 的值为( ) A.12 B ．1 C.2 D ．2 4．设椭圆 C 1的离心率为513 ，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2 122＝1 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 6．(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴 上，离心率为22 .过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 8．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12 )作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 三、解答题(共计40分) 10．(15分)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 11．(15分)如图4，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题九解析几何第二十七讲双曲线
专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019年 1.（2019全国III 理10）双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是 . 3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1， F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ?=uuu r uuu r ，则 C 的离心率为____________． 4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标 原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率 为 A B C ．2 D 5．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 6.（2019天津理5）已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 C.2
2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ． D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．2=± y x D ．2 =±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 A B ．2 C D 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和 2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -=
专题09 解析几何双曲线典型题专项训练(解析版)
专题09 解析几何 第二十三讲双曲线答案部分 1.【解析】如图所示，不妨设F为双曲线 22 :1 45 x y C-=的右焦点，P为第一象限点． 由双曲线方程可得，24 a=，25 b=，则223 c a b =+=， 则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229 x y +=． 联立 22 22 9 1 45 x y x y ?+= ? ? -= ? ? ，解得 5 3 y=±． 则 155 3 232 O P F S=??= △ ．故选B． 2.【解析】因为双曲线 2 2 2 1(0) y x b b -=>经过点(3,4)， 所以2 2 16 31 b -=，解得22 b=，即2 b． 又1 a=，所以该双曲线的渐近线方程是2 y x =±． 3.【解析】根据渐进线方程为0 x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2 c a =，则该双曲线的离心率为2 c e a ==C． 4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50?， 所以tan50 b a =?， 2 22 2 1 11t a n5 0s e c5 c o s5 c b e a a ==+=+?=?= ? . 故选D． 5.【解析】解法一：由题意，把 2 c x=代入222 x y a +=，得 2 2 2 4 c P Q a =-，
再由P Q O F =，得22 24 c a c -=，即222a c =， 所以2 22c a =，解得2c e a ==.故选A ． 解法二：如图所示，由P Q O F =可知P Q 为以O F 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ??± ??? ，代入222 x y a +=得222a c =， 所以2 22c a =，解得2c e a ==.故选A ． 解法三：由P Q O F =可知P Q 为以O F 为直径圆的另一条直径，则12 22O P a O F ==?=，2c e a ==故选A ． 6.【解析】 由题意知，1b =，215c a e a +===，解得12a =.故选D. 7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-. 因为l 与双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且 4A B O F =（为原点），所以2b AB a = ，1OF =，所以 24b a =，即2b a =， 所以225c a b a =+=，所以双曲线的离心率为5c e a ==． 故选D ． 1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314 c ab =+=+=，
高中《双曲线》专题训练经典练习题1(含答案)
高中双曲线 专题训练经典练习题 【编著】黄勇权 一、选择题 1、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±2x ，则该双曲线的离心率是（ ）。 A 、3 B 、 5 C 、 33 D 、5 5 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的实轴是虚轴的2倍，一个焦点到一条渐近线的 距离为3，则双曲线的标准方程为（ ）。 A 、 19y 36x 22=- B 、 118y 36x 22=- C 、 115y 30x 22=- D 、19y 30x 2 2=- 3、椭圆12y 20x 22=+ 与双曲线12 y a x 2 22=-有共同的焦点，则a 的值是（ ） A 、3 B 、 4 C 、 32 D 、23 4、双曲线的两条渐近线为x+3y=0和x-3y=0，且经过p （1，1）点，则双曲线的方程是（ ） A 、 18y 89x 22=- 或 18x 89y 22=- B 、 189y 8x 2 2=- C 、 189y 8x 22=- 或 18y 89x 22=- D 、 18 x 89y 2 2=- 5、双曲线1b y a x 22 22=-的右焦点为（c ，0），直线λ过点（a ，0），（0，b ），原点O 到直线λ的距离是 2 c ，则双曲线的离心率是（ ） A 、 2 B 、 3 C 、 2 D 、3
6、双曲线1b y a x 22 22=-的一个交点到一条渐近线的距离是3，一个顶点到一条渐近 线的距离是 5 12 ，则双曲线的方程是（ ） A 、19y 20x 22=- B 、116y 20x 22=- C 、18y 16x 22=- D 、19y 16x 2 2=- 7、曲线C 是以椭圆 112y 16x 2 2=+的右焦点为圆心，半径为1的圆，若双曲线15 y a x 2 22=-的两条渐近线与圆C 相切，则双曲线的离心率是（ ） A 、23 B 、332 C 、 233 D 、 3 3 5 8、双曲线1b y a x 22 22=-的左右焦点为F1，F2，P 是双曲线上的一点，若丨PF1丨+ 丨PF2丨=6a ，∠PF1F2=30°，则双曲线的离心率是（ ） A 9、已知双曲线1b y a x 22 22=-（a ＞0，b ＞0）的离心率为3，直线y=2与双曲线的两 个交点间的距离为6，则双曲线的方程为（ ） A 、 18y x 22 =- B 、116 y 2x 2 2=- C 、18y 4x 22=- D 、 127 y 3x 2 2=- 10、双曲线115 y x 2 2 =-的左右焦点为F1、F2,点P 为双曲线上的一点， 若3丨PF1丨=4丨PF2丨，则△PF 1F 2的面积是 。
高三数学专题练习----双曲线
高三数学专题练习----双曲线 一 基础知识 （1）双曲线第一第二定义，（2）双曲线的标准方程，（3）双曲线的性质 二 例题 1、已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3, 则|PA|的最小值为( ) (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 2、与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ） 1 3、双曲线y x b 22291-=的两焦点分别是F 1、F 2，过F 1的弦AB 的长为4，则△ABF 2的周长为 ( ) （A ）8 (B)12 (C)16 (D)20 4、若方程2m y 5m x 2 2---=1表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m<－2或2
6、双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0， 则 准线方程为 ( ) （A ）5162±=x (B)5162±=y (C)592±=x (D)592±=y 7、以坐标轴为对称轴，渐近线互相垂直，两准线距离为2的双曲线 方程是( ) （A ）x 2-y 2=2 (B)y 2-x 2=2 （C ）x 2-y 2=4或y 2-x 2=4 (D)x 2-y 2=2或y 2-x 2=2 8、双曲线3 y a x 22-= -1的离心率为2，则双曲线的准线方程是( ) (A)x=± 43 (B)x=±23 (C)y=±4 3 (D)y=±23 9、共轭双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则必有 ( ) (A)e 1=e 2 (B)e 1·e 2=1 (C)e 1-1＋e 2-2=1 (D)e 1-2＋ e 2-2=1 10、设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且c=d ，则双 曲线的离心率为 ( ) (A)3 (B)2 (C)2 (D)3
《双曲线》专项训练
圆锥曲线《双曲线》专项训练 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．双曲线x 210－y 2 2 ＝1的焦距为( ) A ．32 B ．42 C ．33 D ．432．若双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于 ( )A ．2 B.3C.3 2 D ．1 3．下列双曲线中离心率为6 2 的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 2 10 ＝14．双曲线x 24－y 212 ＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．23B ．2 C.3D ．1 5．如果双曲线x 24－y 2 2 ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是( )A.463 B.263 C ．26 D ．236．已知双曲线x 22－y 22＝1的准线经过椭圆x 24＋y 2 b 2＝1(b ＞0)的焦点，则b ＝( )A ．3 B. 5 C.3D. 2 7．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→ |·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 2 9＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23 ＝18．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 4 ，则该双曲线的离心率 是( )A.5B.62C ．2 D.23 3 文档来自于网络搜索二、填空题(6×5＝30分) 9．双曲线x 2－y 23 ＝1的焦点坐标为________；若曲线x 2－my 2＝1有一条准线方程为x ＝2，则实数m 为________．10．已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0，则此双曲线的标准方程是________．11．已知圆C 过双曲线x 29－y 2 16 ＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中 心的距离是________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，|PF 1| ＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值是______________．13．双曲线x 29－y 2 4 ＝1右支上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成的△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切 点坐标为___________．三、解答题(3×10＝10分) 14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→ ＝0；(3)求ΔF 1MF 2的面积．15．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C: 2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .
双曲线练习题及答案
双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式： 1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义 例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 练习1．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 ＋32 y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦 点，则此双曲线的方程是（ ）。 （A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5 y 2=1 练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。 （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 例3. 已知|θ|< 2 π ,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。 （A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±12 5π 课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ± =，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．124 122 2=-y x B ． 124 122 2=-x y C ． 112 242 2=-x y D ． 112242 2=-y x 3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是 。 4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点, 则OP FP ?的取值范围为 ( ) A ．)+∞ B ．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ D ．7 [,)4 +∞ 5. 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2－4y 2=60截得的弦长｜AB ｜=82，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点，F(2,2)为一定点，l ：x+y －2=0为一定直线， 求证：｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于 2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为) . （Ⅰ）求双曲线C 的方程 （Ⅱ）若直线:=l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围 8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。