线性空间维数与基的求法

维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色

凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响

例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A

解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A α

ai b --=，

而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A

解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。

可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。

2.数域P 对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响

文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式ξλξ0=A 中的0λ是取自线性

空间V 所依赖的数域P 的，也就是说线性空间V 的线性变换特征值的求解范围数域P 。进而，根据同一线性变换在不同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候，也就会产生不同的结果。

例3：线性变换A 在某一组基下的矩阵为????

??????-----=011101120A ，易知它的特征多项式是13-λ，那么它在实数域和复数域上的解的情况是不一样的，A 在实数域上的特征值为1=λ，而A 在复数域上的特征值为2

312311321i i --=+-==λλλ，，。所以，矩阵A 在实数域上是无法相似于一个对角矩阵的，而在复数域上可以。

3. 数域P 对一向量组线性相关性判别的影响

一般我们判定一组向量n ααα，，　

， 21的线性相关性，是根据向量方程 02211=+++n n k k k ααα 的系数是否是全为零来判定的。而n k k k ，，　

， 21应该是在某一个特定数域内来求解的。比如在维数确定的问题上，我们通常的做法是这样的：先取一个非零向量，在此基础上再添加非零向量进行扩充，然后判断所得向量组是否线性无关，进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。

例4：分别在复数域上和实数域上考虑，任意两个非零复数bi a +和di c +的线性相关性，当然这里的数组)(b a ，与)(d c ，是不能对应成比例的

解：在复数域上求解向量方程0)()(21=+++di c k bi a k ，可以取11-=k ，

c bi a k ++=2，所以在复数域上两个非零复数bi a +和di c +是线性相关的。而在实数域上求解的话，只能求得021==k k ，所以在实数域上两个非零复数bi a +和di c +是线性无关的。同理，如果再任意添加非零向量fi e +则可判断必然线性相关。

可见，复数域在复数域上考虑极大线性无关组是任意非零复数bi a +，而在实数域上考虑极大线性无关组则是任意两个非零复数bi a +和di c +。

综上所述，在处理与线性空间有关的问题时，涉及到数乘向量的运算的时候，其中数的范围均不能离开线性空间依赖的数域P ，而这一点也正是从线性空间的定义中来。

二、线性空间V 的基该如何确定？

1.基是不唯一的。

根据基的定义，只要是线性空间V 中的极大线性无关向量组都可以作为V 的一组

基。但是，为了用坐标（n 维向量）表示向量的方便，基的选取要尽量简单，但都要符合这一基线性无关的基本要求。

2.如何确定？

在线性空间V 中任取．．

一向量α，将其表成线性空间V 一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。

例5：求)(211αα，L V =与)(212ββ，L V =的交的基和维数。

设???-==),1,111(),2,1,01(21，αα，???-=-=)1,3,71(),0,112(2

1，，ββ 解：任取21V V ∈α，则22111ααααx x V +=∈，，且22112ββααy y V +=∈，， ββααα2112211y y x x +=+=，（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出） 02112211=--+∴ββααy y x x ，下求2121,,,y y x x

???????=--=-+=+-+=---0

030202212221

21212121y y x y x x y y x x y y x x ７，解得),3,4,(),,,(2121k k k k y y x x --= )4,3,2,5()3()4(2121-=+-=-=∴k k k ββααα，故21V V 是一维的，基是)4,3,2,5(-。易知)4,3,2,5(-是非零向量，是线性无关的。

例6：确定复数域作为复数域上的线性空间和实数域上的线性空间的维数和基解：可先用扩充的方法寻求复数域上的极大无关向量组，进而知道线性空间的维数。由上例3可知，复数域作为一个线性空间，在复数域上是一维的，而实数域上是二维的。

现任取一非零复数bi a +。在复数域上可线性的表示为1)(?+=+bi a bi a ，这时数1就是复数域线性空间的一组基；在实数域可线性的表示为i b a bi a ?+?=+1，这时数1与i 就是复数域线性空间的一组基。

线性空间作为高等代数一个重要的概念，这个概念在后续概念的学习中均有渗透。本文主要从数域P 对一些问题的判断的影响上探讨它在线性空间V 中的作用，同时结合例题指出了求维数与基的一般方法。通过这样系统的讨论，希望能对学生认识线性空间及其他的一些相关概念有一定的积极作用，同时能够弥补教材对于这一方面内容处理不够具体的欠缺。

基与维数的求法

线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由 n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称 n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解易证0100,1001???? ? ?-????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ? -???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?? ????= ? ? ??? ???? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基. 例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明： ()()() 21 1,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基. 证明 ()()1 121110n n k k x k x -?+-++-=L 由1 n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ，故()() 1 1,1,,1n x x ---L 线性无关

基与维数的几种求法复习过程

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足: (1)n ααα,2,1Λ线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示。那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为 dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基。如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。例 2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-?? 有00100+1001a a b a b ?????? = ? ? ??????? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基。证明考察()()1121110n n k k x k x -?+-++-=L 由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数 10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ，故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]n R x 的基。方法三利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例4 设0110A -?? = ??? ，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间() 0110V f A A ?-? ??==?? ???? ? ｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}'V a bi R =+∈｜a,b 同构，并非求它们的维数。

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ．一、线性空间的定义及性质定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．

向量空间的基与维数

向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故

假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即其中

而 . 用左乘(4)两端，得这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有 n 个向量n αα,,1 满足: (1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称 n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。例1 设{} 0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?? ????= ? ? ?? ????? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2。方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()() 2 1 1,1,1, ,1n x x x ----构成[]n R x 的基。证明考察()() 1 121110n n k k x k x -?+-+ +-= 由1 n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====，

线性空间与子空间

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；

（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。例1．设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为

01 线性空间与子空间

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（U ），交（I ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使

x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。例1．设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性

第一章线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果（1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有 V ∈+y x ；（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有 V ∈x λ；（3）上述两个运算满足下列八条规则： 1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1； P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立： 6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合 }|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ，若对于V 中任两元素 ),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y = 及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为 ),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX = 则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n P 。例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与

1.基与维数

1．基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是 {1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1) 1, 线性无关：设，. 则 (否则，,矛盾)，因此. 2) 1, , 线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1, 线性无关，故假如，则，且，即 . 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关. 3) 1, , ,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则得到"1, , 线性相关"的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1, 线性无关得. 这样，我们证得了1, , ,线性无关. 故{1, , ,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使 ( 3 ) 取n+1个实数，使 ab. 由(3)知即其中

而 . 用左乘(4)两端，得这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s. 试证明证对s作数学归纳. 当 s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然 ,,...,.且存在，使（否则，如果,,...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 . 这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基. 这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到. 另证：设是V的一个基，令令让,,...,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量. 例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中. 证：对s作数学归纳. 当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r, 设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使

基与维数的求法学习资料

基与维数的求法

线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解易证0100,1001???? ? ?-????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ??????= ? ? ??? ???? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基. 例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()() 211,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基. 证明 ()()1121110n n k k x k x -?+-++-=L 由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ，故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关

线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。 1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A 解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A α ai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A 解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。 2.数域P 对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式ξλξ0=A 中的0λ是取自线性

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量1, , n满足： ⑴1, 2 , n线性无关。 ⑵V中任一向量总可以由1, 2, , n线性表示。那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dim v n，并称,2, , n为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设V X AX 0，A为数域P上m n矩阵，X为数域P上n维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX 0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为n r。 0 a 例2数域P上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成 a b 的线性空间，求此空间的维数和一组基。 0 1 000a 解易证为线性空间V 1 a,b p的一组线性无关的向 1 0 01a b 0a亠0a0100 量组，且对V中任一兀素有a+ b a b a b1001 按定义0 1, 0 0为V的一组基，V的维数为2。 10 0 1 方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3假定R x n是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 2 n 1 证明：1, x 1 , x 1 ,L , x 1 构成R x n的基。 n 1 证明考察k, 1 k2x 1 L k n x 1 0 由x n 1的系数为0得k n 0，并代入上式可得x n 2的系数k n 1 0 依此类推便有k n k n 1L k1 0，

故1, x 1 ,L , x 1 n 1 线性无关 n1 又R x 的维数为n ,于是1, x 1丄,x 1为R x 的基。 n n 1 a 1 b 1i f 1 A a 1E b 1 A a 1 ,b 1 R 2 a 2 b 2 i, a 2,b 2 R,K R ，则有 ka 1 kb 1i ka 1 E ka 1A k x 1 故是V '到V 的同构映射，所以V 到V '同构另外，易证V '的一个基为1，i ，故dimV ' 2 QV;V dimV 2 方法四利用以下结论确定空间的基：设1, 2丄,n 与1, 2丄,n 是n 维线性空间V 中两组向量，已知1, 2,L , n 可由 1, 2,L , n 线性表出： 1 a 11 1 a 21 2 L a n1 n 方法三利用定理：维数。数域 p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的例4 证明：由实数域上的矩阵 A 的全体实系数多项式 f A 组成的 1 与复数域 C 作为实数域 R 上的 0 线性空间 Va bi| a,b R 同构，并非求它们的维数。证明 V 中任一多项式可记为 f A =aE bA, a,b R ，建立 V 的如下映射易证是V 到V 上的单射，满射即一一映射。再设 a 1 a 2 b 1 b 2 i a 1 a 2 E b 1 b 2 A

01 线性空间

《矩阵论》简介廖桂生 liaogs@https://www.360docs.net/doc/a25289504.html, 这是一门数学课，要求按数学课来学习，概念清晰，逻辑性、抽象思维，严密系统性。主要内容分为两条线，即线性空间与线性变换及矩阵，矩阵分解与矩阵函数；第二条线为线性方程求解问题，存在唯一解的求解算法，没有解或有无穷多组解之广义逆矩阵。同时，会用矩阵论解决科学技术与工程问题，训练并领会数学与工程之间的桥梁。要求：尽量做题，数学训练联系工程，掌握工具第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1．线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使 x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+；（6）分配律 ()k l x kx lx +=+；（7）结合律 ()()k lx kl x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。 1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用z x, ,等表示；K是一个数域， y 其元素用m ,等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]: k, l （I）在V中定义一个“加法”运算，即当V x∈ ，时，有唯一的和 y +（封闭性），且加法运算满足下列性质: x∈ y V （1）结合律z = +) ( ) (； + y + z x y x+ （2）交换律x +； = y y x+ （3）零元律存在零元素O，使x +； x= O

（4）负元律对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。则有O x x =-+)(。（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(；（6）分配律 lx kx x l k +=+)(；（7）结合律 x kl lx k )()(=；（8）恒等律 x x =1；则称V 为数域K 上的线性空间。注意以下几点： 1）线性空间是基于一定数域来的。同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。 2）两种运算、八条性质。数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。 3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。当数域K 为实数域时， V 就称为实线性空间； K 为复数域， V 就称为复线性空间。例1．设=+R {全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x xy y = , k x x k =

线性空间的维数

§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量 r r k k k αααα+++= 2211. 称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出. 定义3 设 r ααα,,,.21 ; (1) s βββ.,,21 (2) 是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使 0.2211=+++r r k k k ααα . (3) 如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤. 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.

3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性. 定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的. 定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出： n n a a a εεεα+++= 2211. 其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a . 由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基. 例1 在线性空间n x P ][中， 12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基. 例2 在n 维的空间n P 中，显然

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足: (1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称 n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-??的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0100,1001???? ? ?-????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?????? = ? ? ??????? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()() 2 1 1,1,1, ,1n x x x ----构成[]n R x 的基。证明考察()() 1 121110n n k k x k x -?+-++-= 由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====，故()() 1 1,1, ,1n x x ---线性无关又[]n R x 的维数为n ,于是()() 1 1,1, ,1n x x ---为[]n R x 的基。方法三利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例4 设0110A -?? = ???，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ?-???==?? ? ????｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}' V a bi R =+∈｜a,b 同构，并非求它们的维数。证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射 ()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈ 易证σ是'V 到V 上的单射，满射即一一映射。

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足: (1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-??的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?????? = ? ? ??????? 按定义0100,1001???? ? ?????为V 的一组基，V 的维数为2。方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

线性空间维数与基的求法

基与维数的求法

基与维数的几种求法复习过程

第一章线性空间与线性变换

最新向量空间的定义教案(50分钟)

向量空间的基与维数

基与维数的几种求法

线性空间与子空间

01 线性空间与子空间

第一章 线性空间与线性变换

1.基与维数

基与维数的求法学习资料

线性空间维数与基的求法

基与维数的几种求法

01 线性空间

线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说

线性空间的维数

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法

第一章线性空间与线性变换