二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、二次函数解析式的三种形式及图像

1. 二次函数解析式的三种形式 1)

一般式 ： f(x) 2 ax bx c (a 0) ； 2) 顶点式 ： f(x) a(x m)2 n(a 0) ；其中， (m,n) 为抛物线顶点坐标， x m 为对称轴方程 . 3) 零点

式

： f(x) a(x x 1)(x x 2)(a 0) ，其中， x 1, x 2是抛物线与 x 轴交点的横坐标 . 2．

二次函数的图像 二次函数 f(x) ax 2 bx c(a 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 b x b ，顶点坐标为 2a

( b ,4ac b2 ).

( , ).

2a 4a (1) 单调性与最值

M 2(x 2,0) ，|M 1M 2 | |x 1 x 2 | (x 1 x 2)2 4x 1x 2 二、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处

①当 a 0 时， 如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在 ( ,2a ] 上递减，在 [ b ,

2a , ) 上递增，当

x b 时，

2a f (x)min 4ac b 2 4a ②当 a 0 时，如图 2-9 所示，抛物线开口向下， 函数在

2b a ] b 2 4ac 0 时，二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴有两个交点 M 1(x 1,0) 和

|a|

(2) 与 x 轴相交的弦长 图 2-9

2

对二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)，当a 0时，f(x)在区间[ p, q]上的最大值是M ，最小值是m，

2.一元二次方程 ax 2 bx c 0（a 0） 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：

（1） 开口方向；（ 2）判别式；（3）对称轴 x b 与区间端点的关系； （4）区间端点函数值的正负 2a 22

设 x 1, x 2为实系数方程 ax 2 bx c 0（a 0） 的两根，则一元二次 ax 2 bx c 0（a 0）的根的分布与其 限定条件如表 2-5 所示 .

（1） 若 b 2a p ，则 m

f(p),M f(q) ； （2） 若 p b x 0，则 m f ( b ),M f(q) ； 2a 2a （3） 若 x 0 b q ，则 m f ( b ),M f (p) ； 2a

2a （4） 若 b 2a q ， 则m f(q),M f (p) . 三、一 元二次方程与二次函数的转化 1．实系数一 元二 次方程 2 ax bx c 0（a 0） 的实根符号与系数之间的关系

1） 方程有两个不等正根 x 1,x 2 x 1 x 2

4ac 0 b 0 a

2） 方程有两个不等负根 x 1,x 2 3） 方程有一正根和一负根，设两根为 c

x 1x 2

a

b 2 x 1 x 2

4ac b a

x 1x 2 x 1,x 2

x 1x 2 c 0 a pq 2

b 2

令 x 0

四、二次不等式转化策略

1. 二次不等式的解集与系数的关系

若二次不等式 f (x) ax 2 bx c 0的解集是 ( , ]U[ , )

二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向

及与

2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略

x 1x 2 0 a 程 ax 2 2x 1 0 有负数根， 当a 0时，即

2x

12

1 0 有负数根 x ，那么方程 ax

2 2x 1 0 有负 数根 a 0.因此 “a 0”是方程 “ax 2 2x 1

0 至少有一个负数根 ”的充分不必要条件 . 故选 B. 变式 1 已知函数 f (x) 2 ax bx c ，且 a b

c ，a b c 0，集合 A {m|f (m) 0} ，则( ) A. m A ，都有 f (m 3) 0 B. m A ，都有 f(m 3) 0 a 设 x 1,x 2 为方程的两根，则 因此方程有一个负数根；但反之，若方 x 1 x 2 ，故 x 1,x 2 异号， x 轴交点横坐标有关的 已知二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0). f (x) 0恒成立 0

00； f(x) 0恒成立 a0

注 若表述为 “已知函数 f (x) a ax 2 bx c ”，并未限制为二次函数， b 0； f (x) 0 恒成立 0 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧 有关二次函数的问题，关键是利用图像 . ( 1) 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 区间和定轴动区间，解法是抓住 “三点一轴 ”，三点指的是区间两个端点和区间中点， 对对称轴与区

间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧； ③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系) ，从而对参数值的范围进行讨论 ( 2) 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值 正负.

f (x) 0 恒成立 0或 0 则应有 0a 或 0c b0 题 —— 动轴定 一轴指对称轴 .即注意 题型归纳及思路提示

题型 1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思 想进行分析 .

2

例 2.41 “a 0”是“方程 ax 2 2x 1 0 至少有一个负数根 ”的( Ａ．必要不充分条件 解析 由于 a 0 ，则方程 ax 2 2x Ｂ．充分不必要条件 1 Ｃ．充要条件 0 的判别式 4 ) Ｄ．既不充分也不必要条件

0，

C. m 0 A ，使得 f (m 0 3) 0

D. m 0 A ，使得 f(m 0 3) 0 变式 2 已知函数 f (x) ax 2 2ax 4(0 a 3) ，若 x 1 x 2 ， x 1 x 2 1 a ，则( ) . A. f (x 1) f (x 2) B. f (x 1) f (x 2)

C. f (x 1) f (x 2) D . f (x 1)与 f ( x 2 )的大小不能确定

例 2.42 ( 2012 江苏 13) 已知函数 f (x) x 2 ax b(a,b R) 的值域为 [0, ) ，若关于 x 的不等式 f (x) c 的解集为 (m,m 6) ，则实数 c 的值为 ___

解析 将二次不等式转化为二次方程求解 .

由题意知 f (x) x 2 ax b 的值域为 [0, )，得 a 2 4b 0. 不等式 f (x) c f (x) c 2

即 x 2 ax b c 0的解集为 (m,m 6) ，设方程 x ax b c 0 的两根为 x 1,x 2 ，则 x 1 x 2 x 1x 2 b |x 1 x 2

| (x 1 x 2)2 4x 1x 2 a 2 4b 4c 4c 6，得 c 9

. 评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解 方程 x 2 .即不等式 x 2 ax b c 的解集为 (m,m 6)与 变式 1 变式 2 ①x 题型 2 ax b c 的实根 x 1,x 2 之间的联系，即 |x 1 (2012浙江理 17)设a R ，若 x 0时均有 (2012北京理 14)已知 f (x) m(x 2m)(x R, f (x) 0或 g(x) 0；② 二次方程 ax 2 bx c x 2| [(a 6. 0(a 2 ax 思路提示 结合二次函数 f (x) 等式，从而解不等式求参数的范围 例 2． 43 已知

, 是方程 x 2 分析 根据二次方程根的分布结合图像求解 . 解析 根据题意，如图 2-10 所示，对于 f (x) (2m 图2-10 2 1)x 1](x 2 3),g(x) 2 ax 1) 0 ，则 a ________ x 2 ，若同时满足条件：

x ( , 4), f(x)g(x) 0，则 m 的取值范围是 _______________ . 0) 的实根分布及条件 bx c 的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不 1)x 4 2m 0 的两个根，且 2 ，求实数 m 的取值范围 . 2 4 2m 0 ，解得 m 2 x 2 (2m 1)x 4 2m ，由图像知 2 ，得 f (2) 0 ， 3，所以

m 的取值范围是 ( , 3) . 评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果 . 变式 1 关于 x 的方程 (1 m 2)x 2 2mx 1 0的两个根，一个小于 0，一个大于 1.求实数 m 的取值范围 . 变式 2 已知二次函数 实数根分别在区间 ( 例 2.44 已知方程 x 3 抛物线的离心率，则 10 A. ( 310 , ) 3 解析 由方程 x 3

则 2a 3b c f(x) x 2 2bx c(b,c R)满足 f (1) 0,且关于 x 的方程 f(x) x b 0的两个 3, 2)和 (0,1)内，求实数 b

的取值范围 . 2 2ax 2 3bx c 0( a, b, c R) 的三个实根可分别作为一个椭圆、 一个双曲线、 一个 a 2 b 2 的取值范围是( 10 B. [ 130 , 2ax 2 3bx 1，得 c 1 ). c 2a C. ( 10, ) D. [ 10, ) 0(a,b,c R) 有三个实根 x 1,x 2,x 3，且满足 0 x 1 1,x 2 1,x 3 1. 3b .