中考专题复习 一次函数知识点总结
中考复习专题——一次函数知识点总结
一 变量：
自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量． 函数：被变量是自变量的函数．
函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．
因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量．
二 一次函数和正比例函数的概念
1．概念： 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数. （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
★判断一个等式是否是一次函数先要化简
（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.(正比例函数) （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
2. 函数的表示方法： １）解析法，２）列表法，３）图象法． 列表法直观但不完全 解析法准确完全但不直观
图象法直观形象但不够准确也不太完全
图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线） 解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意
三 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．
由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k
b
，0）.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
四 一次函数性质
1. 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正、负决定直线的倾斜方向；
①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
k b 经过的象限Y随x的变化图象
k＞0 b＞0 一,二三Y随x的增大而增大y=kx+b
(b≠0)
k＞0 b＜0 一三四Y随x的增大而增大y=kx+b
(b≠0)
k＜0 b＞0 一二四Y随x的增大而减小y=kx+b
(b≠0)
k＜0 b＜0 二三四Y随x的增大而减小y=kx+b
(b≠0)
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
y=kx (k>0) y=kx (k<0)
点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．
（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．
五 一次函数与方程
1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－
b
a
，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 2. 坐标轴的函数表达式
函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；?函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3. 一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．
4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+??
=+?有唯一的解?直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2
?k 1≠k 2．
（2）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+??=+?无解?直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ?k 1=k 2，
b 1≠b 2．
（3）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+??=+?有无数多个解?直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合
?k 1=k 2，b 1=b 2．
5. 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入 （1）设函数表达式为y=kx+b ；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值；
（4）将k 、b 的之带入y=kx+b ，得到函数表达式。
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，
??
?+-=-+=,3,21b k b k 解???
????-==.
35,3
4b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．
六 知识规律小结
1．常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；
当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即-k
b
＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-
k
b
=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k
b
﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．
③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；
当k ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．
2．直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)
当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． 3． 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②??
?=≠2
12
1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；
③???≠=2121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==21
21,
b b k k ?y 1与y 2重合.
2011中考复习专题——二次函数知识点总结
二次函数知识点：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二
次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
o o
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：
2. 2y ax c =+的性质：
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
0a >
向上
()00， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．
0a < 向下
()00，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随
x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
结论：上加下减。
总结：
3. ()2
y a x h =-的性质：
结论：左加右减。
总结：
a 的符号
开口方向 顶坐标 对称
轴 性质
0a >
向上
()0h ， X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y
随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y
随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
0a >
向上
()0c ， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．
0a < 向下
()0c ，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随
x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．
总结：
二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
0a >
向上
()h k ， X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y
随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y
随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
三、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成
()2
y a x h k =-+。
总结：
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?，其中2424b ac b h k a a -=-=
，．
四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．当
2b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值2
44ac b a
-．
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；
当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；
当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12
x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
2214b ac
AB x x a
-=-=
. ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母
x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
y=
x 22
y=2x 2
y=x 2
y=-2x 2
y= -x 2
y= -
x 22
0?> 抛物线与x 轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
?= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0?<
抛物线与x 轴无交点
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
y=3(x+4)2
y=3x2
y=3(x-2)2
y=-2(x+3)2
y=-2(x-3)2
y=-2x2
y=2x 2-4
y=2x 2+2
y=2x 2
y=2(x-4)2-3
y=2(x-4)2
y=2x 2