概率论试题库

概率论与数理统计试题库 概率论部分（一）

三、计算题

1、甲、乙两乒乓球队举行对抗赛，甲队实力比乙队强，当一个甲队运动员与一个乙队运动员比赛时，甲队运动员获胜的概率为0.6，现在甲、乙双方商量比赛方式，提出两种方案：

（1）双方各出3人，（2）双方各出5人，二种方案均以得胜人数多的一方为胜利，问对乙队来说，哪一种方式有利？

2、设R 、),(ηξV 的分布函数

,,),3

)(2(),(+∞<<-∞+∞<<-∞++=y x y

arvctg C x arctg B A y x F 求

1）系数A 、B 、C 2）),(ηξ的分布密度

3）),(ηξ的边际分布密度且讨论ξ与η的独立性

3、设R 、V 、ξ具有密度??

?

??<<-≤<=其它

和求0.,2121

0)(ξξD E x x

x x

x P 4、设ξ与η是独立R 、V 且均服从N （0，1），试求ηξηξ-=+=、V U 的联合密度函数。

5、设二维R 、V ),(ηξ有分布密度??

?<<

1

0,106),(2y xy y x P ，求),(ηξ的

协方差矩阵。

6、已知二维

R 、V )

,(ηξ的联合分布密度为：

P ????

≤≤≤?≤-=其它0

0,10)1(24),(y y x y x ，求条件密度)(y x P ηξ。

（12分）设R 、V ),(ηξ的分布函数 F(x,y)=A

,,)3

)(2(),(),2(+∞<<-∞+∞<<∞-++=+y x y

avctg c x avctg B A y x F x arctg B 求：

1）系数A ，B ，C 。 2）),(ηξ的分布密度

3）),(ηξ的边缘分布密度且讨论ηξ与的独立性。

7、在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好相互“吃掉”的概率。

8、一个小孩，用13个字母A 、A 、A 、C 、E 、H 、I 、I 、M 、M 、N 、T 、T 作组字游戏，如果字母的各种排列是随机的，问恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率有多大？

9、已知二维随机变量)

,(ηξ的联合分布密度为

???≤≤≤≤-=其它0

010)1(24),(x

y x y x y x P ，求条件密度函数)()(x y P y x P ξηηξ及 10、设随机变量ξ的分布函数为+∞<<∞-+=x Barctgx A x F )(求1）系数A 与B

2）ξ落在区间[)1,1-内的概率。

3）密度函数)(x P ξ

4）求ξη2=的

分布密度)(y P η

11、设ηξ，是相互独立的N （0，1）随机变量，求ηξζ+=的分布密布，若推广到n 个相互独立的随机变量,21n ，，ξξξ 其中),,(~2

1

σξi i u N ∑=n

l i i ξ又服从什么分布

呢？试用特征函数法证明。

12、设二维随机变量)(ηξ，具有密度函数

???+∞

<<+∞<<=+-其它0

0,0,),()(2y x ce y x P y x 试求1）常数C

2）边际分布密度，并判断独立性 3）求)(ηξ，落在图中区域G 内的概率

x

4）ξηηξηξP D D E E ,,,, 5）写出其协方差阵B

13、（10分）甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。

14、（15分）R 、V 、)(ηξ，的分布函数)3

()2(),(y arctg C x arctg B A y x F +?+=求

1）系数A 、B 、C 2）)(ηξ，的分布密度 3）ηξ，的边际分布密度并

讨论其独立性。

15、（10分）设随机变量ξ具有密度函数???

?

?

??<<-≤<=其它021210)(x x x x x P ，求ξξD E 及。

16、（15分）设二维随机变量)(ηξ，的密度函数为

??

?<<<<=其它0

1

0,104),(y y xy y x P ，求 1）)14

1

,210(<<<

<ηξP 2）)(ηξ=P 3）)(ηξ

4）)(ηξ≤P

17、（10分）若ηξ，是独立R 、V ，均服从N （0，1），试求ηξηξ-=+=V U ,的联合密度函数。

18、验证函数?????<>=-0

021)(2

2)(ln x x e x P a x σ

π

σ为R 、V 、ξ的分布密度，并求{}

a e P >ξ。

（10分）

19、设某种无线电真空管的使用寿命（单位：小时）ξ服从如下分布：（10分）

?????<≥=100

100100

)(2

x x x x P ，一架收音机内装有3个此种真空管，问：

1）在使用的最初150小时内，没有一个真空管烧坏的概率是多少？ 2）在使用的最初150小时内，没有一个真空管烧坏的概率是多少？

20、设R 、v 、ξ的分布密度设为x Ae x -=)(?。)(+∞<<-∞x 。求：（1）系数A ；（2）ξ的数学期望及方差。（10分）

21、从1到1000的一千个正整数中，任选一个数求选得能被11整除的概率是多少？（8分）

22、若)(ηξ，的联合密度函数为???≤≤≤≤=其它010,10,4),(y x xy y x f ，问ηξ与是否相

互独立？（8分）

23、某人的一串钥匙有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，当他随意地试用这串角匙时，求：打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差。（8分）

假定：（1）把每次试用过的钥匙分开；

（2）把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中。

24、若ηξ，是相互独立且均服从N （0，1）的R 、v ，试用U=ηξηξ-=+，V 的联合密度函数。（10分）

25、（12分）设ξR 、、v 分布密度为()()+∞<<∞-=-x Ae x P x 求（1 系数A ；（2）()20≤<ξP ；（3）ξ的数学期望；（4）ξ的方差

（2）（18分）若()ηξ,的联合密度函数为()???≤≤≤≤=其它01

0104,y x xy y x p 问ξ与

η是否相互独立？

（3）（10分）设d cy V b ax U +=+=,，a 与c 同号，7.0=xy r ，求uv Y . （4）（10分）若ηξ，是独立R 、v ，均服从N （0，1），试求ηξηξ-=+=，v U 的联合密度函数。

26、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02,加工出来的零件放在一起，并且知道第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，从这些零件中任意取出一个零件，如果它是废品，求它是第二台车床加工的概率。

27、两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

28、设),(ηξ的分布密度为???>>=--其它0

0,),(43y x ke y x P y x

（1）求常数k （2）求)20,10(<<<<ηξP （3）问ξ与η是否独立？

29、设0在]2,0[π上服从均匀分布，a ),cos(,cos αθηθξ+==是常数，试求相关系数ηξρ。

30、某厂自动生产设备，于每批生产前需进行调整，假定调整良好时合格品为90%，如果调整不成功，则合格品有30%，若调整成功的概率为75%，某日调整后试生产，发现第一个产品合格，问设备已调整好的概率是多少？

31．甲罐中有三个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，若得正面就从甲罐中任取一球，若得反面就从乙罐中任取一球，现已知取得球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。

32．设随机变量ξ服从（0，5）上的均匀分布，求方程02442=+++ξξx x 有实根的概率。

33．),(.ηξD R 的分布函数为),3

)(2(),(y

arctg c x arctg B A y x F ++=求：

（1）系数A ，B ，C ； （2）),(ηξ的分布密度；

（3）),(ηξ的边际分布密度且讨论ηξ,的独立性。

34．设ηξ,为独立随机变量，且具有相同的指数分布，密度函数为

??

?<≥=-0

0)(x x e x P x

，试求ηξ+=a ，与ηξ

β=的密度函数),(v u q 。

35、在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假如有80%的学生知道指定问

题的正确答案，不知道正确答案的作随机猜测，求：

1）任意指定的一个学生能正确回答率：

2）已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率。

36、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2,求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

37、一本书共有一百万个印刷符号，排版时，每个符号被排错的概率为0.0001，校对后每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个概率。（备用：

995.0)60.2(=Φ

995.0)95.2(=Φ

94.0)58.1(=Φ

997.0)75.2(=Φ

1623.310=）

39、一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，

校对后每个排版错误被改正的概率的0.9，求在校对后错误不多于15个概率。

备用：995.0)60.2(=Φ 94.0)58.1(=Φ 997.0)75.2(=Φ

1623.310=

40、某厂自动生产设备，于每批生产前需进行调整，假定调整良好时，合格品为90%，如果调整不成功，则合格品为30%，若调整成功的概率为75%，某日调整后试生产，发现第一个产品合格，问设备已调整成功概率是多少？

1. 在某一随机试验中，事件A 与B 相互独立，且

2.0)(,

3.0)(==B P A P 则

=)(B A P 0.24 。

2. 设随机变量ξ的密度函数为??

?∈=其它0

)

,0(2)(A x x x ?，则常数A = 1 。 3. 设随机变量ξ与η相互独立，且3,2==ηξE E ，则=+-)(ξηηξE 5 。

4. 设n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则当=C 2

1

+n 时，

∑=n

i i X n

i

C 1是μ的无偏估计。 5. 已知二元随机变量),(ηξ的联合密度函数为

??

???

≤≤++=.,04,0),sin()12(),(其它；

π?y x y x y x

则ξ

的边缘概率密度为) 0()84 0 X x x x ππ??

++≤≤?

=???其它

或表为

1)[c o s c o s ()] 0()44 0 X x x x x ππ??

+-+≤≤?

=???其它

。

1. 设)(x F 是随机变量ξ的分布函数，则下列结论中正确的是（ D ）

(A ) 1)(0<

2. 某人打靶的命中率为8.0，现独立地射击5次，那么5次射击中命中2次的概率为（ D ）

(A ) 2.08.02? (B) 28.0 (C) 4.08.02? (D) 22350.80.2C ??

3. 若事件E 与F 互不相容，且6.0)(,3.0)(==F P E P ，则=+)(F E P （ B ） (A) 3.0 (B) 9.0 (C) 18.0 (D) 6.0

4. 随机变量ξ的密度函数为???

??∈=其它

]

2,0[2

1

)(x x ?，则

=ξ

ξ

E D （ B ） (A) 0 (B)

3

1 (C)

4

1 (D) 1

5. 设n X X X ,,,21 是总体),(2

σμN 的样本，则∑==n

i i X n X 1

1服从（ A ）分布。

(A) ),

(2

n

N σμ (B) ),(2σμN

(C) )1,0(N (D) ),(2

n

n N σμ

6. 设离散型随机变量ξ的概率分布为

其分布函数为)(x F ，则=)2

(F （ C ）

(A) 1.0 (B) 3.0 (C) 6.0 (D) 1 7.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，其密度函数为)(x ?，则)0(?等于（ B ） (A ) 0 (B )

π

21

(C) 1 (D) 2

1

8. 设随机变量ξ的数学期望μξ=E ，方差2σξ=D ，0≠σ，用切比雪夫不等式估计概率}3|{|σμξ<-P 为（ D ） (A) 9

1≤ (B) 9

8≤ (C) 8180≤

(D) 9

8≥ 9. 321,,X X X 是取自总体X 的一个样本， α是一个未知参数，以下函数中是统计量的是（ C ）

(A) 321X X X ++α (B) 321X X X α (C) 31X X (D) 3221X X X αα++

10. 总体X ～)1,(μN ，参数μ未知，321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则μ的四个无偏估计中最有效的是（ D ）

(A)

213132X X + (B) 32141

2141X X X ++ (C) 316561X X + (D) 3213

1

3131X X X ++

三、计算题（共4小题，共44分）

1. 事件A 与B 相互独立，已知7()()1,()9

P A P B a P A B ==-= ，确定a 的

值。（10分）

解：()1()2P B P B a =-=-

2()()()

(1)(2)(32

)P A B P A P B a a a a ==--=--

+ 3分

()()()

()

P A B P A P B P A B =+-

2

7

(1)(2)(32)9a a a a ?-+-+-+= 7分

220

309

a a -+

= 2927200a a -+= 解得 1245

,33a a == 10分

2. 已知5%的男人和25.0%的女人是色盲，假设男人女人各占一半。现随机挑选一人。（1）此人恰是色盲患者的概率多大？（2）若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人的概率多大？ （12分）

解：{}, {}A B ==设 事件男人色盲患者， {}A =则 女人 由已知，11

(), (), (|)5%, (|)0.25%22

P A P A P B A P B A ==== 2分 (1) 由全概率公式

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

11

*5%*0.25% 2.625%22

=+= 6分 (2) 根据题意，即求(|)P A B .

()1()97.375%P B P B =-=

()()(|)()[1(|)]47.5%P AB P A P B A P A P B A ==-= 9分

()47.5%

(|)0.4878()97.375%

P AB P A B P B =

== 12分

3. 设总体X 的概率密度??

?><≥=-)0(0

)(ββ?βx x e x x

，),,,(21n x x x 为从总体X

中取出的一组样本观察值，求参数β的最大似然估计值。（12分）

解：当12,,...,0n x x x >，样本似然函数

1

1

()n

i

i

i n

x x n

i L e

e

β

ββββ=--=∑==∏

4分

对数似然函数

1

l n ()l n n

i i L n x βββ==-∑

1

ln ()0n i i d L n x d βββ==-=∑令 10分

1

1

? n

i

i n

X x

===

∑ββ

的最大似然估计 12分

4. 用热敏电阻测温仪间接测量地热，勘探井底温度，重复测量7次，测定温度（C ）为6.113,9.112,

5.114,0.112,2.111,4.113,0.112 ，而用某精确办法测定温度为

6.112（可看作温度真值），试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差（05.0=α）？（设热敏电阻测温仪测得的温度总体X 服从正态分布),(2σμN 。（双侧临界值365.2)7(,44

7.2)6(05.005.0==t t ）（10分）

解：

1

(112113.4111.2112114.5112.9113.6)112.87

x =++++++=

1.136s =

==

0.057, 0.05, (1)(6) 2.447n t n t ==-==αα 3分

检验假设 01:112.6 :112.6H H =≠μμ

X T =

检验统计量 6分

0 2.447H ≥拒绝域 8分

0.466T t =

≈的观察值 2.447<

接受0H ，认为用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。 10分

四、综合计算题（共2小题，共26分）

1. 设连续型随机变量ξ的分布函数为??

?>≤>+=-)0(0

)(λλx x Be A x F x

求：（1）常数A 、B 的值；（2）ξξD E , ；（3）}11{<<-ξP 。（15分） 解：（1） ()F x 在0x =点连续

0lim ()(0)x F x F +

→= 0A B ?+= 2分 lim ()1x F x →+∞

= 1A ?=

1B ?=- 5分

（2）由10()(0)0

x e x F x x λλ-?->=>?

≤?

知 ()e ξλ 7分 从而 2

1

1

,E D ξξλ

λ

=

=

10分

（3）{11}(1)(1)P F F ξ-<<=--(1)1F e λ-==- 15分

方法二：（2）、（3）也可通过概率密度计算

（2）ξ的概率密度 -e 0

()()0 0x x f x F x x

λλ?>'==?

≤? ()x

x

E x e

dx xd e

λλξλ∞∞--==-?

?

++0

11

0||x x x xe

e dx e λλλλλ∞

-+∞

--+∞=-+=-=?

+0

2

2

2

()x

x

E x e

dx x d e

λλξλ∞∞--==-?

?

++0

2220

|

2x x x e

xe dx λλλ∞

-+∞-=-+=?

+0

2

22

222

11

()D E E λ

λλξξξ=-=

-=

10分

（3）{11}()x P f x dx e dx λξλ--<<==??11-1

10

|1x e e λλ

--=-=- 15分

2. 保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费；已知一年内人口死亡率为006.0，若死亡一人，保险公司赔付1000元，求保险公司年利润不少于60000元的概率。（设0)5(0=-Φ） （11分） 解： 10000X 设表示一年内个投保人中的死亡人数.

(10000, 0.006)X b 则

64.59)(==np X E 4分

由拉普拉斯中心极限定理知

保险公司年利润 120000

1000Y X =-

所求概率

{60000}{120000100060000}{60}P Y P X P X ≥=-≥=≤ 7分

=}64.596060{

0-Φ}64

.5960

0{0-Φ-=5.005.0=- 11分