初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题］典型题型及解题技巧

最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点,或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”，“点关于线对称”,“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图,Ａ,B在直线L的两侧,在L上求一点P，使得PＡ+ＰB

最小。

解：连接ＡB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。(根据:两点之间线段

最短.)

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、Ｂ提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.

解：只有A、Ｃ、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线

“街道”的对称点A′，然后连接Ａ′B，交“街道”于点C，则点C就是

所求的点．

三、一点在两相交直线内部

例:已知：如图A是锐角∠ＭＯN内部任意一点,在∠MON的两边OＭ,

ＯN上各取一点B,C,组成三角形，使三角形周长最小.

解:分别作点A关于OM，ＯN的对称点Ａ′，Ａ″;连接A′,Ａ″,分别交Ｏ

M,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求

分析：当AＢ、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小

例:如图，Ａ.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,桥造在何处

才能使从Ａ到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线，桥要与

河垂直)

解：1．将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M，

则点Ｍ为建桥的位置,MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN∥EM 且ＢＮ=ＥM, ＭN＝CD, BD∥CE，BD=CE,

所以Ａ.B两地的距:ＡM+MN+BＮ=ＡM+MN+EＭ=ＡＥ+MN，

若桥的位置建在CD处,连接AC.CＤ.DＢ．CE，

则ＡＢ两地的距离为:

AC＋CD+DB＝AC+ＣD+CＥ=ＡC+CE+MN，

在△ＡCE中,∵AC＋CE>AE, ∴ＡC＋CＥ+MN>AE+MN,即AC+CＤ+DB >AM+MN＋ＢN

所以桥的位置建在CD处，AＢ两地的路程最短。

例:如图,A、Ｂ是两个蓄水池,都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，

··

A B a

A·M

N

E

?要在河边建一个抽水站,将河水送到A、Ｂ两地,问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B关于直线a 的对称点点Ｃ，连接ＡC交直线a于点D,则点D为建抽水站的位置。

证明:在直线a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,

∵点B.C关于直线a 对称,点D.E

在直线a上,∴ＤB=DＣ,ＥＢ=EC,

∴ＡD+DB=AD+DC＝AＣ,

AE＋ＥB=AE+ＥC

在△ＡCＥ中,AE+EＣ＞AC，

即AE+EＣ>ＡD+ＤB

所以抽水站应建在河边的点Ｄ处,

例：某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO，BO）,AO桌面上摆满

了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在Ｃ处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法:1.作点Ｃ关于直线OA的对称点点Ｄ,

２．作点C关于直线OB的对称点点Ｅ,

3.连接ＤE分别交直线ＯＡ．OB于点M.N，

则CM+MN+CＮ最短

例：如图：C为马厩，D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马，

先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点C 关于直线 ＯA 的 对称点点F,

2. 作点D 关于直线 O Ｂ的对称点点E,

3．连接EF 分别交直线O Ａ.ＯＢ于点G.H ，

则CG+GH+D Ｈ最短

四、求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方

案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离为1，则圆的半径为多少?

(5或4)

四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形,圆柱体展开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的宽.可

求出最短路程

例:如图所示,是一个圆柱体，ABC Ｄ是它的一个横截面,A Ｂ=

,B Ｃ=3,一只蚂蚁，要从Ａ点爬行到C 点，那么，最近的路程长为( )

?A ．7?B ． C ． D ．５ 分析：要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.

G E

解:将圆柱体展开，连接A、C，

∵==?π?=4,BC=3,

根据两点之间线段最短，

AC==5．故选Ｄ．

五、在长方体（正方体）中，求最短路程

１）将右侧面展开与下底面在同一平面内,求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了

然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例：有一长、宽、高分别是5ｃm，4cm,3ｃｍ的长方体木块，一只蚂蚁要

从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B

处，则需要爬行的最短路径长为( )

Ａ.５ｃm B．cm C.4cｍ?D．3cm

分析:把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短.利用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得.

解:因为平面展开图不唯一,

故分情况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

(1)展开前面、右面,由勾股定理得AB2＝(５+4)2+32＝９0;

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+5２＝74；

（3）展开左面、上面,由勾股定理得AB2=(3＋５）2＋42=8０;

所以最短路径长为ｃm．

例：如图是一个长４ｍ,宽3ｍ,高２m的有盖仓库,在其内壁的A处（长的

四等分)有一只壁虎，B处(宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最

短距离为（）

? A.4．８ B. C.5 D.

分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

解:有两种展开方法：

①将长方体展开成如图所示，连接A、B,

根据两点之间线段最短，AＢ＝=;

②将长方体展开成如图所示，连接A、Ｂ，则AB＝=5＜；

所以最短距离５

例:有一棵9米高的大树,树下有一个1米高的小孩,如果大树在距地

面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才

是安全的.

分析：根据题意构建直角三角形ABC,利用勾股定理解答.

解:如图,BＣ即为大树折断处4m减去小孩的高1ｍ，则BC=４﹣1=3ｍ,AB=９﹣4＝5m, 在Rt△ABC中，AC===4．

例:如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的

木块，它的棱长和场地宽AＤ平行且＞AD,木块的正视图是边长为０.2米的正

方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处需要走的最短路程是米．（精确到０．01

米）

分析:解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．

解:由题意可知，将木块展开,相当于是A Ｂ+2个正方形的宽,

∴长为2＋０.2×２=2．4米;宽为1米.

于是最短路径为:

=２.60米.

例:如图，AB 为⊙Ｏ直径，A Ｂ=2,OC 为半径，ＯC ⊥AB,Ｄ为AC 三等

分点，点P 为OC 上的动点,求AP+PD 的最小值。

分折:作D 关于OC 的对称点D ’,于是有PA+P Ｄ’≥ＡＤ’,

(当且仅当P 运动到P o 处，等号成立,易求AD ’=3。 六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程 将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案

例:如图,一直圆锥的母线长为ＱA=8,底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点

出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 (结果保留根式)

小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所

对的弦长,?根据题意可得出:2πr＝n ．π.ＯA,/1８0则,

则

2×π×2＝ ,

解得:ｎ=９0°,?

由勾股

定理求得它的弦长ＡＡ

一、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短，或三角形两边之和小于第三边求出最值．

例：如图,在正方形A ＢCD 中，点E 为AB 上一定点,

且ＢE=1０,C Ｅ＝14,P 为ＢD 上一动点，求P Ｅ＋PC 最小值。

分析:作Ｅ关于ＢD 对称点E ’,Ｅ’在ＡB 上，

有P Ｅ+ＰC=PE ’+PC ≥Ｅ’Ｃ易求E ’Ｃ=２6。

ｎ×π×8 1８0

二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例:如图,在直角坐标系中有四个点, A（-8,3),B(-4,5)Ｃ(0,n),Ｄ

（m，０),当四边形ABＣD周长最短时,求m

n

。

分折:因AＢ长为定值,四边形周长

最短时有ＢＣ+CD+DＡ最短,作B关于y轴对称点B’,

A关于x轴对称点A’,

DＡ+ＤC+BC=ＤA’+DC+Ｂ’C≥B’A’（当D,Ｃ运动到ＡB

和ｘ轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’Ｂ’解折式y＝2

3

x

+

7

3,C０(０,

7

3),D0(-

7

2,0)，

此时m

n=-

2

3

三、题中出现三个动点时。

在求解时应注意两点:

（１)作定点关于动点所在直线的对称点,

(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.

例:如图,在菱形ABCD中,AB=２，∠ＢＡD=６0,Ｅ,Ｆ,P分别为ＡB，ＢC,AC上动点，求PE+PF最小值

分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,

PE+ＰF=PF+ＰE’≥Ｅ’Ｆ,又因为Ｅ在AＢ上运动,故当EＦ和AＤ,BC垂直时,E0F最短,易求

例：如图，∠AOB=45,角内有一动点P ,PO=10,在AO,BＯ上有两动点Q，

Ｒ,求△ＰQＲ周长的最小值。

分折：作P关于ＯＡ,ＯＢ对称点P１，Ｐ2 。

于是有PQ＋ＱR+PR=ＱP1+ＱR+ＲＰ2≥P１P2,

由对称性易知△P1OＰ2为等腰RT△，OP＝OP1=OP2=10,P1P2=102

总之,在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点,或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

1、运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同．

注意:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而忽略题意要求,审题不清导致答非所问.

2、利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.

在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.