例析抽象函数周期的求法

例析抽象函数周期的求法

抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。

一、仅含抽象关系式的周期函数

例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。

解：设，则，依题意有

，由周期函数的定义，是的一个周期

所以期

例2 已知函数满足，求证：函数为周期函数。

证明：因为对有

（2）代入（1）得

这样

所以为周期函数，且为它的一个周期。

例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有

，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为4a。

证明：设，则

所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。

说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。

例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有

，又，求的值。

解：

又

所以

可知是以2为一个周期的周期函数

所以

二、图象中有两条对称轴的抽象函数

例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。

证明：因为的图象关于直线和（a

所以且

这样

所以是周期函数，且是它的一个周期。

例6 设是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x=2对称，已知

时，，求时，的表达式。

解：由题设知：有两条对称轴和

所以为周期函数，且为它的一个周期

又当时，

所以

三、图象关于两点成中心对称的抽象函数

例7 设函数的图象关于相异两点A（a,0），B（b，0）都对称，则是一个周期为的周期函数。

证明：由题设有，这样

故原命题得证

例8 定义在R上的函数f(x)是奇函数，又也是奇函数，求

的值。

解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)关于O（0，0）对称，且f(0)=0

又是奇函数，所以f(x)关于点（-1，0）对称

所以是f(x)的一个周期

所以

四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数

例10 设函数的图象关于点A（a，0）与直线都对称，则f(x)为周期函数，且是它的一个周期。

证明：因为函数f(x)图象点于点A（a，0）对称

所以

又函数f(x)图象关于直线对称

所以

这样