(完整word版)2019-2020学年山东省淄博市实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省淄博市实验中学高一上学期期中数学

试题

一、单选题

1．命题“2,240x R x x ?∈-+≤”的否定为 A ．2,240x R x x ?∈-+≥ B ．2

000,240x R x x ?∈-+> C ．2,240x R x x ??-+≤ D ．2

000,240x R x x ??-+>

【答案】B

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可. 【详解】

由全称命题否定的定义可知，“2

,240x x x ?∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ?∈-+>R ”，故选B ． 【点睛】

一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．

2．已知集合{1,A =-0，1，2}，2{|}B x x x ==，则(A B ?= ) A ．{}0 B ．{}1

C ．{}0,1

D ．{0,1，2}

【答案】C

【解析】求出集合A ，B ，由此能求出A B ?． 【详解】

Q 集合{1,A =-0，1，2}，

{}2{|}0,1B x x x ===， {}0,1A B ∴?=．

故选：C ． 【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a≤1 C ．－1＜a ＜1 D ．－1＜a≤1

【答案】A

【解析】先求对任意x ∈R ，都有220ax x a ≥＋＋恒成立时a 的取值范围，再求该范围的补集即可。 【详解】

命题：存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a ＜0的否定为：对任意x ∈R ，都有220ax x a ≥＋＋恒成立，

下面先求对任意x ∈R ，都有220ax x a ≥＋＋恒成立时a 的取值范围： （1）当0a =时，不等式可化为20x ≥，即0x ≥，显然不符合题意；

（2）当0a ≠时，有2

440a a >??-≤?

，解得1a ≥， 所以存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a ＜0的实数a 的取值范围是1a <，答案选A 。 【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法及特称命题与全称命题的转化，属于基础题 4．下列大小关系正确的是（ ）

A ．30.4

40.43log 0.3<<

B ．30.4

40.4log 0.33<<

C ．30.4

4log 0.30.43<< D ．0.4

34log 0.33

0.4<<

【答案】C

【解析】试题分析：根据题意，由于30.4

4log 0.30,00.41,3

1<<那么根据与0,1的大

小关系比较可知结论为30.4

4log 0.30.43<<，选C.

【考点】指数函数与对数函数的值域

点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。 5．若a 为实数，则“1a <”是“1

1a

>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】求出不等式11a

＞

的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：由11a

＞

得0＜a ＜1， 则“a ＜1”是“11a

＞

”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．

6．已知函数()1

12x f x b -??=+ ???

，且函数图像不经过第一象限，则b 的取值范围

是（ ） A ．(),1-∞- B ．(],1-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-

【答案】C

【解析】利用指数函数的图像即可求解。 【详解】

函数()1

12x f x b -??=+ ???

为减函数，且图像不经过第一象限, ()020f b ∴=+≤,即

2b ≤-,故选 C.

【点睛】

本题考查指数函数图像的应用，需熟记指数函数的大致图像。

7．已知a ∈R ，()()13p a a =--，()2

2q a =-，则p 与q 的大小关系为（ ）

A ．p q >

B ．p q …

C ．p q <

D ．p q …

【答案】C

【解析】根据题意，利用作差比较，即可得到p 与q 的大小关系，得到答案. 【详解】

由题意，()()13p a a =--，()2

2q a =-

则()()()()

2

2

2

132434410p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<，

所以0p q -<，即p q <， 故选C. 【点睛】

本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中熟练应用不等式的性质，利用作差比较

法进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．已知函数2(31)31f x x x +=++，则(10)f =（ ） A ．30 B ．19 C ．6 D ．20

【答案】B

【解析】函数()2

3131f x x x +=++，令3x =，则()210333119f =+?+=，故选

B.

9．给出下列四个命题：①函数1y x x =+的最小值是2；②函数2

21y x x

=+的最小值

是2；③函数2

y =

的最小值是2；④函数2y =

的最大值是2-.

其中错误的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】根据基本不等式分别求出各函数的值域，即可判断正误，方可选出答案。 【详解】

①当0x >时，1

2y x x

=+

≥，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，()()12y x x ??=--+≤- ? ?-??，当且仅当1x =-时取等号，所以1y x x =+的值域为(,2][2,)-∞-+∞U ， 错误

②2

212y x x =+

≥，当且仅当2

1x =时取等号，所以函数221y x x

=+的值域为[2,)+∞，正确

③令t ,则t ≥

2

1

y t t =

+，因为

1

=y t

t

+在[1,)+∞上单调递增，所以1=y t t +≥2

y =

④由③知函数2

y = 所以①③④错误 故选：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的值域，在使用基本不等式是需注意：一正、二定、三相等，缺一不可，属于中档题。 10．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()21x a

f x x +=?-，若 ()3

14

f -=，则a 等

于（ ） A ．3- B ．2-

C ．1-

D ．0

【答案】A

【解析】根据奇函数性质可求得()()3114

f f =--=-，由解析式可得13214a

+-=-，

解方程求得结果. 【详解】

()f x Q 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-

()314f -=

Q ()()3114f f ∴=--=-，即：13214

a

+-=- 121

224

a +-∴=

= 12a ∴+=-，解得：3a =- 故选：A 【点睛】

本题考查根据函数奇偶性求解参数值的问题，关键是能够利用奇偶性求得已知区间内的函数值，从而利用解析式构造方程.

二、多选题

11．在同一直角坐标系中，函数()1,y log 012x

a y a x a a -??

==+>≠ ???

且的图象可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】AC

【解析】分析两个函数的单调性，排除选项，得到正确答案. 【详解】

x y a -=与1log 2a y x ?

?=+ ??

?的单调性相反，所以排除,B D

当1a >时，选C;当01a <<时，选A. 故选A,C. 【点睛】

本题考查了根据函数解析式求函数的图像，根据解析式判断图像这类问题，可以从函数的定义域，奇偶性，单调性，以及是否过定点，还有某段区间函数值的正负来判断图像，合理选择排除法.

12．（多选）对于实数x ，符号[]

x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()3.9 4.1f f -= B ．函数()f x 的最大值为1 C ．函数()f x 的最小值为0 D ．方程()1

02

f x -

=有无数个根 【答案】ACD

【解析】根据新的定义，研究函数()f x 的性质，对A 选项直接计算进行判断． 【详解】

( 3.9)( 3.9)[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，(4.1) 4.1[4.1] 4.140.1f =-=-=，

A 正确；显然1[]x x x -<≤，因此0[]1x x ≤-<，∴()f x 无最大值，但有最小值且最小值为0．

B 错，

C 正确；方程1

()02f x -=的解为1()2

x k k Z =+∈，D 正确． 故选：ACD. 【点睛】

本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法就是用新定义把“新问题”转化为“老问题”，转化为我们熟悉的问题进行解决．

13．（多选）若函数2

44y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可

能是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】ABC

【解析】作出函数2

44y x x =--的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果. 【详解】

函数2

44y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.

因为函数2

44y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，

， 故选ABC .

【点睛】

本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.

三、填空题 14．函数()2lg(1)f x x x =

-+的定义域为_______________.

【答案】(]1,2-

【解析】列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】

Q 函数()()lg 1f x x =+

∴20

10

x x -≥??

+>?，解得-12x <≤，

∴函数的定义域为(1,2]-.

故答案为(1,2]- 【点睛】

本题考查函数的定义域，考查对数函数和二次根式的性质.

1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤： （1）写出使函数有意义的不等式（组）； （2）解不等式（组）；

（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出） 2、求函数定义域的主要考虑如下：

（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零； （2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；

（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）特殊位置：正切函数()=f x tanx ，|,2x x k k z π

π?

?≠+

∈???

?

（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

（6）复合函数[()]f g x 定义域，本着内层函数()g x 的值域为外层函数()f x 定义域的原则求得定义域；

（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.

15．已知1212log 7log 3m n ==，

，试用m n 、表示28log 63=________. 【答案】

21

m n

m n +-+

【解析】根据已知，利用换底公式，都表示为以12为底数的对数，根据对数运算法则计算即可. 【详解】

1212121212281212121212log 63log 7log 9log 72log 32log 637log 28log 7log 3log 121log 12

3

m n

m n +++=

===

-+-+? 【点睛】

本题主要考查了换底公式，对数的运算法则，属于中档题.

16．已知()()34,1log 4,1

a a x a x f x x x ?--<=?-≥?是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是

___________ 【答案】)7[,35

【解析】【详解】试题分析：由题意可得30

{

134log 14

a a a a a ->>--≤-，解不等式得a 的取值

范围是[

7

5

，3） 【考点】分段函数单调性

17．已知函数(

)(

3

2log 1f x ax x =++（a ∈R ）且()13f =-，则

()0f =_________，()1f -=_________.

【答案】1 5

【解析】直接计算(0)f ，而计算(1)f -可借助于奇函数，也可通过计算(1)(1)f f -+得出(1)f -． 【详解】

2(0)0log 111f =++=，

22(1)(1)log (11[()log (11]f f a a +-=+++-+-+2=，

∴(1)2(1)2(3)5f f -=-=--=． 故答案为：1；5． 【点睛】

本题考查奇函数的定义，既然我们已知知道奇函数()g x 中()()0g x g x -+=，因此计算时可直接利用它求解．本题中就是利用(1)(1)f f -+消去参数，得出结论．当然同学们也可以构造新函数()()1g x f x =-，这是一个奇函数，然后求解．

四、解答题

18．已知集合

{|35},{|121},A x x B x m x m =-≤≤=+<<-{|}C x Z x A x B =∈∈∈或

(1)当3m =时，用列举法表示出集合C ； (2)若A B B =I ，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 3.m ≤

【解析】试题分析：（1）根据两个集合的交集、并集的定义求出A∩B ，A ∪B ． （2）根据A∩B=B ，分B=?时和B≠?时两种情况，分别求得m 的范围，再取并集，即得所求． 试题解析：

(1)当3m =时，{|45},B x x =<<则， 所以{}3,2,1,0,1,2,3,4,5C =--- (2)若A B B ?=，则B A ?

①当B =?时，121m m +≥-,解得2m ≤；

②当B ≠?时，由121

13215m m m m +<-??

+≥??-≤?

,解得2 3.m <≤

综上所述，实数m 的取值范围是 3.m ≤

19．

(1)

7log 23

log lg 25lg 473

+++

(2) 142

60.2503

16)48(2005)49-??+--- ?

??

【答案】(1)

15

4

;(2)100. 【解析】利用对数运算性质、根式转化为指数分数幂与指数运算性质即可求解. 【详解】

(1)34

2

3

73log

lg 25lg 47log log lg(254)23

=+++?+ 14

3115

log 3lg100222.44

-

=++=-++=

(2)142

60.2503

16)48(2005)49-

??+--- ?

??

16

2

1

41112

33

3

2

4

4

423)422

17-

?

????

??=?+-?-?-?? ? ?

??

??????

1

343

43

24232

4211082731007-???

=?+-?--=+--= ???

.

【点睛】

指数幂运算的4个原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

20．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有()()x f f x f y y ??

=- ???

，当1x >时，有()0f x > (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明； (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域． 【答案】（1）0；（2）见解析；（3）[]0,4.

【解析】试题分析：（1）在恒等式中，令1x y ==，即可求得()1f 的值；（2）设

()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，利用恒等式得到()()21f x f x -，根据题中条件，判断()()21f x f x -的正负，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）根据（2）

的结论，将值域问题转化为求最值，根据42f =（

），结合()()x f f x f y y ??

=- ???

，赋值16x =，4y =，代入即可求得()16f ，从而求得()f x 在[]

1,16上的值. 试题解析：(1)∵当0x >，0y >时，()()x f f x f y y ??

=-

???

，∴令1x y ==，则()()()1110f f f =－＝.

(2)设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()

1212x f x f x f x ??

-=

???

，∵210x x >>，∴

2

1

1x x >，∴210x f x ??

> ???

，∴()()22f x f x >，即()f x 在()0,∞+上是增函数． (3)由(2)知()f x 在[]

1,16上是增函数．∴()()10min f x f ==，()()16max f x f =，∵()42f =，由()()x f f x f y y ??

=-

???

，知()()161644f f f ??

=- ???

，∴()()16244f f ==，∴()f x 在[]

1,16上的值域为[]0,4．

21．如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD ）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设

AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF ）的

修建总费用为y 元．

（1）求出y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；

（2）当x 为何值时，围墙（包括EF ）的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值． 【答案】（1）400

2400()y x x

=+(0106)x <<；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．

【解析】【详解】试题分析：（1）由题意,已知了整个矩形场地的面积,又设了宽AB 为x 米，所以其长就应为

米，从而围墙的长度就为：（

）米，从而修建总

费用元，只是注意求函数的解析式一定要指出函数的定义域，此

题中不仅要而且还要注意题目中的隐含条件：“中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，

为正方形”从而可知矩形ABCD 的长

应当要大于其宽x,所以x 还

应满足：；（2）由（1）知

所以可用基本不等式来求y 的最小值，及对应的x

的值；最后应用问题一定要注意将数学解得的结果还原成实际问题的结果． 试题解析：（1）设AD t =米，则由题意得600xt =，且t x >

故600

t x x

=

>，可得0106x << 则600400

800(32)800(32)2400()y x t x x x x

=+=+?=+， 所以关于的函数解析式为400

2400()y x x

=+(0106)x <<． （2）400400

2400()2400296000y x x x x

=+≥??=， 当且仅当400

x x

=

，即20x =时等号成立． 故当为20米时，最小．的最小值为96000元． 【考点】１．函数解析式；２．基本不等式．

22．已知定义域为R 的函数()122x x b

f x a

++=+－ 是奇函数．

（Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）1

6

k <-

【解析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a = （Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311

()2236

k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案. 【详解】

（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x b

f x a

++=+是奇函数

则

()100,12b

f b a

-+=

==+ ()-21

14f a

+=+，()1

2

-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数

（Ⅱ）12111

()22221

x x x

f x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11

()221

x f x =-

++为减函数

22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－

即22222t t t k ->-+ 所以223311

()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2

366k t ??<--=-????

当13t =

时，有最小值1

6

- 故k 的取值范围是1

6

k <-

【点睛】

本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.

23．设[]1,1A =-

，22B ?=-???

，函数2

()21f x x mx =+-. （Ⅰ）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ?U 时，求实数m 取值范围； （Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，试求x B ∈时，()f x 的值域；

（Ⅲ）设2

()g x x a x mx =---，求()()f x g x +的最小值．

【答案】（Ⅰ）11m -≤≤（Ⅱ

）[-．（Ⅲ）当1

2

a ≤-

时，函数的最小值为54a --；当11

22a -<≤时，函数的最小值为21a -；当12a >时，函数的最小值为54

a -+ 【解析】（Ⅰ）根据()C A B ?U ，且[1,1]A B =-U ，可知满足题意的条件为使函数()f x 与x 轴的两个交点横坐标12,[1,1]x x ∈-，可得关于m 的不等式组，解不等式组即可得m 的取值范围；

（Ⅱ）根据(1)(1)f x f x +=-可得对称轴，即可求得m 的值。则二次函数在B 集合内的值域即可求出；

（Ⅲ）对a 分类讨论，在a 的不同取值范围下讨论()()f x g x +的单调性，即可求得在a 不同取值范围时的最小值。 【详解】

（Ⅰ）[1,1]A B =-U ，因为()C A B ??，二次函数2

()21f x x mx =+-图象

开口向上，且280m ?=+>恒成立，故图象始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这

两个

交点横坐标12,[1,1]x x ∈-，当且仅当

(1)0(1)011

4f f m ?

?-≥?

≥???-<-

， 解得11m -≤≤ （Ⅱ）对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 图象关于直线1x =对称 所以m

14

-

=，得4m =- 所以2

()2(1)3f x x =--

为????

上减函数．

min ()f x =-

max ()f x =．

故x B ∈时，()f x

值域为[-．

（Ⅲ）令()()()x f x g x ?=+，则2

()||1x x x a ?=+--

（i ）当x a ≤时，2

2

15()124x x x a x a ???=-+-=-+- ??

?， 当1

2

a ≤

，则函数()x ?在(,]a -∞上单调递减， 从而函数()x ?在(,]a -∞上的最小值为2

()1a a ?=-． 若12a >

，则函数()x ?在(,]a -∞上的最小值为1524a ???=-+ ???，且1()2a ????

≤ ???

．

（ii ）当x a ≥时，函数2

215()124x x x a x a ???=+--=+-- ??

?

若12a ≤-

，则函数()x ?在(,]a -∞上的最小值为1524a ???

-=-- ???

，且

1()2

a ????-≤ ???

若1

2

a >-

，则函数()x ?在(,)a +∞上单调递增， 从而函数()x ?在(,)a +∞上的最小值为2

()1a a ?=-．

综上，当

1

2

a≤-时，函数()x

?的最小值为5

4

a

--

当

11

22

a

-<≤时，函数()x

?的最小值为21

a-

当

1

2

a>时，函数()x

?的最小值为5

4

a

-+

【点睛】

本题考查了二次函数根的分布，二次函数的对称性及值域，含参数二次函数的最值与单调性综合应用，属于难题。