运筹学[第九章动态规划应用举例]山东大学期末考试知识点复习

第九章动态规划应用举例

1．一维资源分配问题

(1)问题：设有某种原料，总数量为a，用于生产n种产品。若分配数量x

i

用于生产第i种产品，其收益为g

i (x

i

)。问应如何分配，才能使生产n种产品的

总收入最大?

(2)模型及其解法。

此问题可写成静态规划问题：

此问题可写成静态规划问题：

当g

i (x

i

)都是线性函数时，它是一个线性规划问题；当g

i

(x

i

)是非线性函数

时，它是一个非线性规划问题。但当n比较大时，具体求解是比较麻烦的。然而，由于这类问题的特殊结构，可以将它看成一个多阶段决策问题，并利用动态规划的递推关系来求解。

在应用动态规划方法处理这种“静态规划”问题时，通常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段，把问题中的变量z。为决策变量，将累计的量或随递推过程变化的量选为状态变量。

设状态变量s

k

表示分配用于生产第k种产品至第n种产品的原料数量。

决策变量u

k 表示分配给生产第k种产品的原料数，即u

k

=x

k

。

状态转移方程：

允许决策集合： D

k (s

k

)={u

k

｜0≤u

k

=x

k

≤s

k

}

令最优值函数f

k (s

k

)表示以数量为s

k

的原材料分配给第k种产品至第n种产

品所得到的最大总收入。因而可写成出态规划的逆推关系式为：

利用这个递推关系式进行逐段计算，最后求得f1(a)即为所求问题的最大总收入。

2．生产存储问题

(1)问题：设某公司对某种产品要制定一项咒个阶段的生产(或购买)计划。已知它的初始库存量为零，每阶段生产(或购买)该产品的数量有上限；每阶段社会对该产品的需求量是已知的，公司保证供应；在n阶段末的终结库存量为零。问该公司如何制定每个阶段的生产(或采购)计划，从而使总成本最小。

(2)模型及其解法。

设d

k 为第k阶段对产品的需求量，x

k

为第k阶段产品的生产量(或采购量)，

v k 为第k阶段结束时的产品库存量，则有v

k

=v

k-1

+x

k

-d

k

。c

k

(x

k

)表示第k阶段生产

产品x

k 时的成本费用，它包括生产准备成本K和产品成本ax

k

(其中a是单位产品

成本)两项费用，即

h

k (v

k

)表示在第k阶段结束时有库存量v

k

所需的存储费用，故第k阶段的成

本费用为c

k (x

k

)+h

k

(x

k

)，m表示每阶段最多能生产该产品的上限数。

因而，上述问题的数学模型为

用动态规划方法来求解，把它看作一个n阶段决策问题。令v

k-1

为状态变量，

它表示第k阶段开始时的库存量。x

k

为决策变量，它表示第k阶段的生产量。

状态转移方程为

v

k =v

k-1

+x

k

-d

k

k=1，2…，n

最优值函数f

k (v

k

)表示从第1阶段初始库存量为0到第k阶段末库存量为v

k

时的最小总费用。因此可写出顺序递推关系式为：

其中σ

k =min(v

k

+d

k

，m)。这是因为一方面每阶段生产的上限为m；另一方面

由于保证供应，

故第k-1阶段末的库存量v

k-1

必须非负，即

v

k +d

k

-x

k

≥0

所以

x

k ≤v

k

+d

k

边界条件为f0(v0)=0，从边界条件出发，利用上面的递推关系式，对每个k，

计算出f

k (v

k

)中的

3．设备更新问题

(1)问题：一台新购置的设备，若使用年限越长，则设备使用效率降低，收入减少，而维修费用却增加；反之，若使用年限较短而频繁地更新，显然更新费用增多。因此确定使用多少年限后再更新，使得在某一时间内的总收入最大(或总费用最少)。

(2)模型及其解法：设计划年限为n年，T表示第1年开始时正在使用的设备的役龄，a为折扣因子(0≤a≤1)。

①阶段变量j：j表示计划年限数，一年作为一个阶段，j=1，2，…，n。

②状态变量t：表示在第j年开始使用了一个役龄为t年的设备。

③决策变量x

i (t)：x

i

(t)表示在第j年时已经使用了t年的设备。这一年开

始时所作出的决策(保留或更新)。

④阶段指标与最优指标函数：I

j (t)、O

j

(t)分别表示在第j年的一台役龄为

t年的设备运行所得的收入和运行时所需的费用，C

j

(t)表示在第j年一台役龄为

t年的设备更新时所需的更新净费用；g

j

(t)表示在第j年开始，使用一台役龄为￡的设备时，从第j年至第n年内的最佳收入。

⑤动态规划的逆序关系

4．排序问题

(1)问题：设有n个工件需要在机床A、B上加工，每个工件都必须经过先A

而后B的两道加工工序。以a

i 、b

i

分别表示工件i(1≤i≤n)在A、B上的加工时

间。问应如何在两机床上安排各工件加工的顺序，使在机床A上加工第一个工件开始到在机床B上将最后一个工件加工完为止，所用的加工总时间最少?

(2)模型及其解法。

min(a

i ，b

i

)≤min(a

j

，b

j

)

这个条件就是工件i应该排在工件j之前的条件。根据这个条件，得到最优排序的规则如下：

①先作工件的加工时间的工时矩阵

②在工时矩阵M中找出最小元素(若最小的不止一个，可任选其一)；若它在上行，则将相应的工件排在最前位置；若它在下行，则相应的工作排在最后位置。

③将排定位置的工作所对应的列从M中划掉，然后对余下的工件重复按(2)进行。但那时的最前位置(或最后位置)是在已排定位置的工作之后(或之前)。如此继续下去，直至把所有工件都排完为止。

5．固定资金问题

(1)问题：设有n个生产行业，都需要某两种资源。对于第k个生产行业，

如果用第1种资源x

k 和第2种资源y

k

进行生产，可获得利润为r

k

(x

k

，y

k

)。若第

1种资源的单位价格为a，第2种资源的单位价格为b，现有资金Z。问应购买第1种资源多少单位(设为X)，第2种资源多少单位(设为Y)，分配到n个生产行业，使总利润最大?

(2)模型及其解法。

此问题的数学模型可写为

解决这个问题，可以从固定资金开始，找出所有满足aX+bY≤Z的X和Y；然后将资源量最优地分配给n个生产行业，找出获利最大的。这当然是一个算法，但不是有效的。

如果我们把资源分配换算成资金分配，那样做要简单些。

首先，把资源分配换算成资金分配利润表，即将r

k (x

k

，y

k

)换算成R

k

(z)，z=0，

1，…，Z。但必须注意，分配的资金应先使较贵的资源单位最大。

其次，计算最优资金分配所获得最大利润。规定最优值函数f

k

(z)表示以总的资金2分配到k至n个生产行业可能获得的最大利润。

则有逆推关系式：

最后求出f1(z)，即为问题的解。这样，就把一个原含有两个状态变量的问题转化为只含有一个状态变量的问题。----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供

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