第02章第五节 蛛网模型的数学推导
第02章第五节蛛网模型的数学推导
假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示：
Q st =-a+bP
t-1
（1）
Q dt =c-dP
t
（2）
Q s t=Q
dt
（3）
（1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。
将（1）式和（2）式代入（3）式可得：
c-dP
t =-a+bP
t-1
（4）
从（4）式中解出P
t
：
P t =（
-b
d
）P
t-1
+
a+c
d
（5）
在（5）式中假定t=1可得第1年价格为：
P 1=（
-b
d
）P
+
a+c
d
（6）
以此类推：
P 2=（
-b
d
）P
1
+
a+c
d
（7）
将（6）式代入（7）式中：
P 2=（
-b
d
）2P
+（
-b
d
）
a+c
d
+
a+c
d
重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格：
P n =（
-b
d
）n P
+[∑（
-b
d
）k]
a+c
d
=（-b
d
）n P
+
a+c
b+d
[1-（
-b
d
）n] （8）
又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t年达到均衡，则
P t =P
t+1
=……=P
E
（9）
将（9）式代入（5）式可得均衡价格P
E
：
P E =
a+c
b+d
（10）
将（10）式代入（8）式并整理：
P n =（
-b
d
）n P
+P
E
[1-（
-b
d
）n]
=（P
0-P
E
）（
-b
d
）n+P
E
（11）
从（11）式可得出下列结论：
（ⅰ）如果|-b
d
|<1，则：limP
n
=P
E
，即P
n
趋近于P
E
，市场价格将无限趋近
均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b
d
|<1，说明d 求曲线，供给弹性较小而需求弹性较大。 （ⅱ）如果|-b d |>1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期 是发散的。此时，d （ⅲ）如果|-b d |=1，则P 2n =P ，P 2n+1 =2P E -P ，价格在这两个值之间来回振荡， 蛛网周期是循环的，此时d=b，即供给曲线斜率与需求曲线斜率相等。