晶体学基础与X射线衍射分析

晶体学基础与X射线单晶衍射分析

一、晶体及其对称性

晶体是由原子（离子，分子）在空间周期地排列构成地固体物质，为了更好的描述晶体这种周期排列的性质，可以把晶体中按周期重复的区域里的结构抽象成一个点，这样周期排列的点就构成了一个点阵，晶体的结构就可以表示成：晶体结构＝点阵＋结构基元

的形式。用三个不相平行的单位矢量a，b，c可以点阵在空间排列的坐标，这三个矢量的长度a，b，c及其相互之间的夹角γ，β，α称为点阵参数或晶胞参数。

点阵在空间的排列是高度有序的，这决定了其可以做某些对称操作。固定一个点不动的对称操作（包括旋转，镜像，中心反映）可以有32种，对应32个点群。实际晶体中除了点操作外，还可以存在螺旋轴，滑移面，若把这些操作和点操作进行组合，可以产生230种对称操作，对应230个空间群，所有晶体的对称操作只可能是这230个空间群中的一个。了解晶体所属的空间群对测定晶体结构，判断晶体性质是极为重要的。

二、倒易点阵和衍射方向

由于晶体具有周期性的排列结构，X射线照射到晶体上会产生衍射，为了更方便的解释晶体的衍射现象，引入了倒易点阵的概念。倒易点阵是从是从晶体点阵中抽象出来的一套点阵。它与晶体点阵的关系可以用下面的公式描述：

其中a*,b*,c*是倒易点阵的单位矢量，倒易点阵上的点h，k，l的向量H可以表示为：

H＝ha?+kb?+lc?

向量H的与晶体点阵中的平面（h，k，l）垂直，其长度与点阵中d hkl成反比，即：

H＝1/d?kl.

晶体产生衍射的基本条件满足布拉格方程：

也即：

sinθhkl ＝

1d ?kl 2λ=H ?kl 2λ 从这里可以看出，只有倒易点阵H hkl 对应的方向才是晶体衍射极大值出射的方向。

三、晶体基本信息的测定

晶体的基本信息也就是晶体的晶胞参数和所属的空间群，其中晶胞参数可以在数据处理时利用布拉格方程来计算，为减小误差可以选用高角度的衍射点来求算。

由于在没有反常散射的情况下，晶体的衍射强度满足Friedel 定律，衍射点在H hkl 和H hkl

?????的强度是相等的，也就是衍射点的分布都是中心对称的。这样衍射点所满足的点群只能是那些有中心对称的点群，这样的点群有11个，称为劳埃群。当晶体中存在对称中心，螺旋轴，滑移面的时候，衍射图样中的许多衍射点会有规律地，系统地不出现，这种现象称为系统消光。通过对衍射图像上衍射点强度的对称规律分析，可以判断出晶体属于那种点阵类型，以及晶体中是否存在螺旋轴和滑移面。结合系统消光规律可以把劳埃群区分成120个衍射群，其中有58个衍射群对映唯一的空间群，而剩下的62个衍射群每个可以对应多个空间群。

对于非中心对称的晶体来说，反常散射效应破坏Friedel 中心对称定律，可以根据这个判断晶体中是否存在对称中心。另外根据衍射强度的统计分布规律也可以判断晶体中是否存在对称中心。

若上述这些方法还无法唯一确定晶体属于那种空间群，那么就只能假设那些可能的空间群都是对的，在各种可能的空间群下都去解析晶体的结构，与衍射数据最相符的那个结构所对应的空间群就是正确的空间群。

四、X 射线衍射分析的理论依据和难点

利用X 射线衍射来分析晶体的最终目的是测定晶体中各个原子的位置，从而解释物质的性能。知道了晶胞参数和晶体所属空间群还远远不够。晶体中原子对X 射线的散射，主要体现在核外电子对X

射线的散射上。在实际应用时，可以对

核外电子做自由电子假设，这样一个原子对X射线的衍射能力可以用原子的散射因子f来表示。则一个晶胞对X射线的散射可以表示成：

N

F hkl＝∑f j exp?[i2π(hx j+ky j+lz j]

j＝1

式中F hkl称为衍射hkl的结构因子，其模量|F hkl|称为结构振幅，加和的范围是晶胞中所有的原子。表示的对象若是整个晶体，则需要在上式的右边乘上晶体的体积V，对若把晶体中的电子分布看成连续的电子密度函数，则结构因子可以写成下面的形式：

V

F hkl＝∫ρ(xyz)exp?[i2π(hx+ky+lz)]dV

这样电子密度函数可以通过对上式做傅立叶反变换求得，计及晶体的周期性，晶胞内坐标为(x,y,z)点的电子密度可以表示为：

+∞

ρ(xyz)=V?1∑F hkl exp?[?i2π(hx+ky+lz)]

h,k,l=?∞

知道了晶胞内电子密度的分布，那么就可以从电子密度图上找到原子的位置，这就是利用X射线测定晶体结构的理论依据。

但实际上用X射线衍射法收集到的强度数据并不同与结构因子，需要从强度数据推算出结构因子才能最终算出电子密度图。衍射强度与结构振幅有下列关系：

I hkl∝|F hkl|2

也就是说对衍射强度进行必要的统一修正后可以求出结构振幅的值来，而结构振幅和结构因子之间并不是等同的，它们关系如下：

F hkl＝|F hkl|e iφ

有了衍射的结构振幅的值，还需要知道衍射的相位，才能定出结构因子的值，而这个衍射相位在数据收集的过程中“丢失”了，需要用其他方法找回来。测定晶体结构的主要工作就是寻找衍射相位，

四、测定晶体结构的方法

X射线晶体学发展了将近100年时间，在此时间里测定晶体结构的方法主要有以下几种：模型法，Patterson函数法，电子密度函数法，同晶置换法，反常

散射法，直接法等，下面分别简述之。

(1) 模型法

模型法又称为试差法或尝试法。它是利用晶体的对称性，晶体的性质，和已知的结构规则和原理，为待测结构提出合理的模型或提供测定结构的辅助信息，以解决初始相位问题，然后再利用衍射数据的强度信息对模型的结构进行验证和修正。模型法是衍射分析中最早发展和应用的一种方法，在晶体结构测定早期，简单小分子结构的测定中曾经起了很大的作用。现在它依然是测定结构的重要辅助手段，也是检验结构是否合理，正确的重要手段。当初DNA双螺旋结构就是

通过模型法结合衍射数据推测得出的。

(2) Patterson法

用衍射强度数据推得的结构振幅|F hkl|的平方的数值做为傅立叶级数的系数，计算所得的级数称为Patterson函数，用P(U,V,W)表示，其形式如下：

∞

P(U,V,W)=V?1∑|F hkl|2exp?[?i2π(hU+kV+lW)]

h,k,l=?∞

Patterson函数在正空间的意义在于P(U,V,W)表示的是晶胞中（X，Y，Z）处的电

子密度ρ(XYZ)和（X＋U，Y+V，Z＋W）处的电子密度ρ(X+U,Y+V,Z+W)的乘积的加和值，即：

V

P(U,V,W)=∫ρ(X,Y,Z)?ρ(X+U,Y+V,Z+W)?VdV

由这个公式可以知道晶胞中任意两个原子在Patterson图上都会形成一个峰，峰的位置是两个原子坐标间的矢量差，峰的高度与两个原子的电子密度值有关。当晶胞中原子较少时，可以通过列出联立方程求出其坐标，当晶胞中的原子数较多时，求解联立方程较困难，但若此时晶胞中有少量重原子，由于重原子之间的Patterson峰比较强，可以从Patterson图中区分出来，这样可以先求解重原子坐标，然后在根据重原子的位置来求解其他较轻原子的位置。Patterson函数在上

世纪60年代以前是单晶结构分析的主流方法，对小分子结构解析中曾经起到过十分重要的作用。现在，Patterson函数在生物大分子结构解析一些阶段，如重

原子结构解析和分子置换法中的还有广泛用途。

(3) 电子密度函数法

由一般结构分析的方法测定晶体结构往往只能得到部分原子的位置，如重原

子的位置。电子密度函数法可以在此基础上进一步完成整个结构的测定工作，并能直接给出结构的图像。

用|F o|做模，用已知位置那部分原子计算的相角做为整体结构的相角通过傅立叶级数计算的电子密度图不仅可以显示已知部分原子的位置，还可以显现出结构中一些未知原子的电子密度的分布情况，但密度峰的高度往往比实际的偏低，结合其他方法辨认出这些峰并在其位置上添加新的原子，从而得到新的结构模型，再用新的结构模型来计算相角，按此方法逐步逼进，可以最终得到整个晶胞中原子的位置。

利用(|F o|?|F c|)做模量，已知原子的坐标计算的相角做相角，计算的电子

密度图称为差分傅里叶级数，它将只显示未知部分的结构的电子密度图，便于从中分辨出未知部分原子的峰的位置。另外当对完成部分中的一些原子坐标的对错没有把握时，可以在计算相角时扣除这些原子，这些原子若在新电子密度图中出现就表示它们是正确的，用这种方法可以改正部分原子的错误位置。

(4) 同晶置换法

同晶置换是指两种或两种以上的晶体，它们具有相同的对称性，相同的空间群，相似的晶胞大小和形状，晶胞中对应的原子位置相同，只有某些位置上的原子可以用不同的原子置换。将不含重原子的晶体称为母体，含重原子的晶体称为衍生物，则可以利用衍生物衍射振幅和母体衍射数据振幅的差值求出重原子的坐标，利用重原子计算的结构因子，结合母体衍射振幅和衍生物的衍射振幅可以得到晶体的相位信息，其关系如下图：

图1 单对同晶置换的相位关系图

其中|F P|是母体的衍射振幅，|F PH|是衍生物的衍射振幅，F H是重原子的结构因子，从图中可以看出衍生物的相位只可能在A或B两个点上。只有一个衍生物时称为单对同晶置换(SIR)，它只能得到相位的两个可能值，而不能唯一确定A，B那个才是正确的相位，若要唯一确定相位，至少需要两个衍生物数据。超过一个衍生物的称为多对同晶置换(MIR)。利用同晶置换法可以测定大分子的结构，尤其是生物大分子的结构。

(5) 反常散射法

当入射X射线的频率与晶体中原子的核外电子的吸收频率相当时，核外电子的散射能力将比自由电子散射能力大些或小些，相角也会有些变化，这将造成非中心对称晶体的衍射强度分布偏离Friedel中心对称定律，这被称为反常散射。利用反常散射效应可以判断晶体中是否有中心对称，也可以用来测定无机物和有机物的绝对构型。

与同晶置换法测定晶体结构的方法相似，反常散射法也可以用来测定晶体结构，而且单波长反常散射(SAD)也会导致相位双解问题，多波长反常散射(MAD)

则可以唯一确定相位。同晶置换法和反常散射法是现阶段生物大分子单晶衍射中测定无同源结构的蛋白质晶体结构的主要方法。

(6) 直接法

直接法认为在收集衍射数据时，衍射的相位并没有丢失，而是隐藏在衍射振幅和衍射点的关系中了，利用数据统计学的方法和对比的方法可以推出结构因子的相位，从而测定晶体的结构。从上世纪40年代末开始，经过很多晶体学家不断的研究，逐渐形成一套基于符号加和法和正切公式等测定相角，计算E图的方法。

直接法最早用来测定中心对称晶体的结构，到60年代后期，随着计算技术和方法的发展，逐渐扩展到测定非中心对称晶体的结构，并在小分子结构解析中取得巨大成功，进入70年代，直接法已经成为测定等重原子的晶体结构的主要方法，大大降低了结构测定的难度。到80年代后，直接法进一步扩展到测定大分子结构，粉晶结构分析，非公度调制结构分析和高分辨率电镜成像等领域，并取得了可喜的成果。现在直接法仍然在不断发展中。

五、结构的修正和后处理

用晶体学方法测定晶体中全部原子坐标参数后，还需要进一步提高其准确度，其内容包括：准确地测量晶胞参数，原子坐标参数，提高电子密度函数和晶胞中原子分布的符合程度，提高结构振幅的计算值和测量值的符合程度等。可以用电子密度函数法或最小二乘法修正来优化结构。

有了准确的原子三维分布坐标，就可以计算分子结构中原子的键长键角信息，并结合结构的特点分析其物理，化学和生物学性质。