房地产数学建模

房地产问题分析

摘要

房地产行业与百姓的生活息息相关。近年来，由于房地产价格的不断攀升，房地产行业已经引起了社会的广泛关注。本文分别就影响房地产价格的因素和未来房地产价格的趋势进行了细致的分析研究和预测，并最终提出了相应的改进措施和调控房价的建议。

对于问题一，由于影响房地产价格的因素众多，我们就选取了人均消费水平，人均GDP 占有量，人口密度，土地成本，银行贷款利率五个与房地产价格有着密切关系的指标在全国范围内进行研究分析。我们采用一元线性回归模型利用SPSS 统计软件分别对五个指标与房地产价格进行线性回归，得到线性回归方程和相关系数。并通过分析得出：土地成本、人均GDP占有量、人口密度（市场需求）、人均消费水平这四个因素对房地产价格的影响较大，而银行贷款利率的影响相对要小一些。因此，最后我们使用多元线性回归模型，利用SPSS 软件对四个变量进行了多元线性回归，并得出了回归方程。

问题二，虽然线性回归对房价的形成预测比较高，但它只是根据有限的几个因素来确定的，于是我们通过分析确定了可以利用华中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的灰色预测模型来进行求解。我们建立了灰色预测模型并进行了模型的求解。通过对模型的求解，预测得了未来几年的房价，并就调控房价提出了一些政策建议，对建议可能产生的效果进行了科学的预测和评价。

关键词：房地产 SPSS MATLAB 灰色预测模型线性回归模型

一、问题重述

虽然国家多次进行宏观调控，多次调整利率、存款准备金率等，试图对房地产市场进行调控，但自1998年实行房改以来，我国大部分城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使得新进入城市或需要购房者的生存成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难，其它消费也无法提升；另一方面，部分投资或投机者通过各种融资渠道买入房屋进行出租或空置，期望因房价上涨而获得超高回报，导致房价居高不下。因此，如何分析影响房地产市场的因素，从

而进行有效的抑制房地产价格的过快上涨，同时能够抑制房地产市场的投机行为，是一个需要进行全面而深入研究的问题，也是普罗大众非常关心的社会问题。国家为此出台了多种政策或宏观调控措施。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1、建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理和房地产投资或投机进行深入细致的分析；

2、通过分析找出影响房价的主要原因；

3、分析国家调整房地产贷款利率或存款准备金率、房产税、贷款限制等关键措施对房地产投资或投机者的影响；

4、给出调控房地产投资或抑制房地产投机的政策建议；

5、对你的建议可能产生的效果进行科学的预测和评价。

二．问题分析

本题要解决的是有关影响房价因素的问题，题中共设有5个小题，经初步分析得：对于问题（1）我们充分理解了题设给出的概念，搜索大量相关的数据，并结合了经济学方面的知识对搜到的数据进行分析、筛选。对于得到的数据我们用统计回归方法建立影响房价的数学模型和用灰色模型对房价进行预测，运用SPSS和MATLAB对模型进行求解，然后对模型的解进行分析，剔除异常数据，重新求解后运用模型对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。

对于问题（2），我们运用SPSS求得问题（1）中建立的线性回归模型的结果，对其进行显著性分析，剔除掉显著性水平差的，剩余显著性高的即是影响房价的主要原因。

对于问题（3），我们通过建立银行贷款利率等和房价的数学模型来进行分析，找出银行贷款利率等因素对房价的影响，通过其对房价的影响来分析其对对房地产投机者的影响。

对于问题（4），可以考虑从问题1的模型中进行改进，得到对房价影响显著的因素，根据得到的因素给出抑制房地产投机的政策建议。

对于问题（5），我们运用问题（1）中建立的统计回归数学模型和灰色模型来预测未来的房价。回归模型的一个重要应用是，要求在现有政策情况下，对于给定

的回归变量的取值，可以以一定的置信区间预测因变量的取值范围，即预测区间。

三、模型基本假设

影响房地产价格的因素很多，如居民消费水平，人口密度，土地价格，房屋供求关系，物价指数，居民可支配收入等。本文选取了居民平均消费水平，人均GDP 占有量，人口密度，贷款利率和土地价格五个主要因素作为研究对象，并假设房屋价格与这些因素之间的关系均为线性关系：

1. 城市经济发展水平由人均GDP 代表。

2. 忽略一切消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对房价的影响;

3. 在一定时期内，一个地区的人口密度较为稳定，没有大的变化。

4. 忽略各种炒房行为和政府宏观调控对于房屋价格的影响。

5. 由于没有具体数据，故房屋建造成本一项用土地价格进行代替。

6. 对于大多数居民来说，关心最多的应该就是商品房的价格，因此本文中房地产价格是指的住宅商品房的价格。

7.影响房价的客观因素主要有市场因素和非市场因素。其中由房价自身因素和环境因素组成的非市场因素在总影响中所占比重较小，且相对较稳定，可忽略其对房价涨落的影响；

8.贷款利率为银行五年以上贷款利率。

四、符号说明

五、模型的建立和求解

问题一：模型建立和求解

根据假设，我们对全国房屋价格与各个影响因素建立一元线性回归模型。首先，分别绘制出各个因素与房价的散点图，再利SPSS统计软件对各个点进行一元线性回归，得出相应的回归直线方程和相应参数。最后，我们通过得出的相关系数和F统计量等参数对回归方程的显著性进行评估，确定变量之间是否具有显著的线性关系。

表1.全国（2000年-2010年)房地产价格及影响因素的相关经济数据统计表

1、全国房地产价格与全国居民人均消费水平关系分析：

全国居民人均消费（元/人）

图1. 全国房地产价格与全国居民人均消费水平关系图

模型汇总和参数估计值 从模型汇总中可以得到：相关系数2R = 0.903，F 统计量=83.330，F 分布 自由度df1=1，df2=9，与F 相对应的概率sig=0.000。我们可以发现，相关系数2R = 0.903，比较接近于1，证明两个变量之间有较大的相关性，同时，与F 对应概率sig 为P = 0 < 0.5 （概率极小），因此，回归模型成立。从参数估计值得到回归方程为：Y = 0.5771X —227.881。

2、全国房地产价格与全国居民人均GDP 占有量关系分析：

因变量:全国房地产价格（Y ） 方程

模型汇总

参数估计值

R 方

F df1 df2 Sig. 常数 b1 线性 .903

83.330

1

9

.000

-227.881

.577

自变量为 :全国居民人均消费(1X )

全国房地产价格（元/人）

全国居民人均GDP 占有量（元/人）

图2.全国房地产价格与全国居民人均GDP 占有量关系图

模型汇总和参数估计值

从模型汇总中可以得到：相关系数2R = 0.921，F 统计量=104.330,F 分布自由度df1=1，df2=9，与F 相对应的概率sig=0.000。我们可以发现，相关系数

2R = 0.921，比较接近于1证明两个变量之间有较大的相关性，同时，F 对应概率sig 为P = 0 < 0.5 （概率极小），因此，回归模型成立。从参数估计值得到回归方程为：Y = 0.1702X +548.883。 3、全国房地产价格与人口密度关系分析：

因变量:全国房地产价格（Y ） 方程

模型汇总

参数估计值

R 方 F df1 df2 Sig. 常数 b1 线性

.921

104.330

1

9

.000

548.883

.170

自变量为 :全国居民人均GDP 占有量(2X )

全国房地产价格（元/人）

人 口 密 度 （人/ 平方千米） 图3.全国房地产价格与人口密度关系图

因变量:全国房地产价格（Y ） 方程

模型汇总

参数估计值

R 方 F df1 df2 Sig. 常数

b1

线性

.818

40.494

1

9

.000

-54219.934 410.063

自变量为:人口密度（3X ）

从模型汇总中可以得到：相关系数2R = 0.818，F 统计量=40.494,F 分布自由度df1=1，df2=9，与F 相对应的概率sig=0.000。我们可以发现，相关系数2R = 0.818，比较接近于1证明两个变量之间有较大的相关性，同时，F 对应概率sig 为P = 0 < 0.5 （概率极小），因此，回归模型成立。从参数估计值得到回归方程为：Y = 410.0633X —54219.934。 4.全国房地产价格与土地成本关系分析：

全国房地产价格（元/人）

土地价格 （元 / 平方米） 图4.全国房地产价格与土地成本关系图

因变量:全国房地产价格（Y ） 方程

模型汇总

参数估计值

R 方 F df1 df2 Sig. 常数 b1 线性

.989

779.310

1

9

.000

-600.857

1.908

自变量为:土地成本（4X ）

从模型汇总中可以得到：相关系数2R = 0.989，F 统计量=779.310,F 分布自由度df1=1，df2=9， F 相对应的概率sig=0.000。 我们可以发现，相关系数

2R = 0.989，比较接近于1证明两个变量之间有较大的相关性，同时，F 对应概率sig 为P = 0 < 0.5 （概率极小），因此，回归模型成立。从参数估计值得到回归方程为：Y =1.9084X —600.857。 5.全国房地产价格与银行贷款利率关系分析：

全国房地产价格（元/人）

图5.全国房地产价格与银行贷款利率关系图

从模型汇总中可以得到：相关系数2R = 0.273，F 统计量=3.384,F 分布自由度df1=1，df2=9，F 相对应的概率sig=0.099。我们可以发现，相关系数2R =

0.273，比1要小的多证明两个变量之间的相关性不大，因此，回归模型不成立。由此可得，银行贷款利率对房价的影响较小，故当用综合因素建立多元回归方程时，将不考虑银行贷款利率。

综合以上建立模型和求解的结果，可以归纳得出下表：

表7.全国房价与各影响因素一元回归方程以及相关系数

通过分析相关系数2R，我们发现这五个因素中除银行贷款利率之外的四个因素与房地产价格都有着比较大的相关性，因此，我们考虑继续用多元回归方程进一步分析这四个因素共同作用下对房价的影响，同样使用SPSS对这四个因素进行多元线性拟合，拟合结果如下：

土地价格。

表8.全国房地产价格与全国居民人均消费等四个因素的拟合结果报告

通过以上数据，我们得到以下多元线性方程：

Y=26048.346+0.9221X -0.2082X -209.1813X +2.1094X （相关系数2R =0.995）

2、模型1的分析

我们利用一元（多元）线性回归模型成功的实现了多种因素下对房地产价

格的相关性分析，并得出影响房地产价格的四个主要原因：土地价格，人均GDP 占有量，居民人均消费，人口密度（市场需求）.而银行的贷款利率的波动对房价的影响不是很大。通过对综合因素拟合得出的多元线性回归方程的验证，得出的预测房价与实际房价的拟合图如下：

通过上图可以看出，在这四个主要因素的作用下，该模型对房价的预测精准度是比较高的。

但是，该模型对房价的预测仅局限于问题一中的几个影响因素，实际上影响房价的因素是众多的，由问题一可知部分因素可知，部分影响因素未知，属于灰色系统模型范畴，因此我们建立了由华中科技大学控制科学与工程系教授，博

士生导师邓聚龙于1982年提出的灰色预测模型。利用了GM （1,1）对全国的平均房价进行了预测。

3、问题一模型2建立和求解

（1、）建立灰色预测模型GM(1,1)

1. 数据的检验与处理

为了保证GM(1,1)建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。设原始数据列为))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =，计算数列的级比

如果所有的级比都落在可容覆盖区间

),(1

21

2

++-=n n e e X 内，则数

据列)0(x 可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取c 使得数据列,,,2,1,)()()0()0(n k c k x k y =+=则使数列))(),......,2(),1(()()0()0()0()0(n y y y k y =的级比都落在可容覆盖内。 2. 建立GM(1,1)模型

设))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =满足上面的要求，做一次累加（AGO ）生成数列

其中)....3,2,1()()(1)0()

1(n k i x k x k

i ==∑=.

令))(,),3(),2(()1()1()1()1(n x x x z =为数列)1(x 的邻值生成数列，求均值数列 则))(),.....,2(),1(()1()1()1()1(n z z z z =。 于是建立灰微分方程：

用回归分析求得b a ,的估计值，于是相应的白化模型为

解为

.))1(()()1()

0()1(a

b e a b x t x t a +-=-- 于是得到预测值 从而相应地得到预测值：

自然地可认为

).1()1(?)0()0(x x = 3. 检验预测值

(1) 残差检验：计算相对残差

如果对所有的1.0|)(|

2.0|)(|

(2) 级比偏差值检验：计算

如果对所有的1.0|)(|

2.0|)(|

（2、）问题一模型2的求解

表9.2000—2010年全国平均房价一览表

建立房价数据时间序列如下：

))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x ==（2112，2170，2259，2359，2713，2820， 3119，3885，3877，4695，6500） （1）求级比)(k λ

通过公式 .,,3,2,)

()1()()0()0(n k k x k x k =-=λ 得到

)(k λ=()()()()()11,10,......2,1λλλλ =（0.9733，0.9606，0.9576 ，0.8695，

0.9621，0.9041 ，0.8028 ，1.0021 ，0.8258 ，0.7223）

（2）级比判断

由于所有的()k λ∈[0.7223 ,1.0021]，.11,,3,2 =k 故可以用)0(x 作 GM （1,1）建模。 （3）模型的求解

1.对原始数据)0(x 做一次累加，即

)1(x =（2112,4282,6541,8900,11613,14433,17552, 21437, 25314,30009, 36509)

2. 构造数据矩阵 B 及数据向量Y

引入矩阵向量记号：

???????

????

???---=1)

11(1)

3(1)2()1()

1()1(z z z B ， ??????

????????=)11()3()2()0()0()0(x x x Y 3.计算u

? 得出a= -0.130757，b=1355.5。

4.建立模型

求解得

10366.9 - 12478.9e ))1(()1(?0.130757k

)0()1(=+-=+-a

b e a b x k x ak 从而相应地得到预测值：

自然地可认为

).1()1(?)

0()0(x x = 通过MATABL 计算得出： 5.模型的检验和分析 利用MATABL 编程运算得出：

模型的各种检验指标值的计算结果见表10

通过对模型2的验证和分析，得出该模型预测的精度较高，可以进行有效预测。问题二求解：

通过对模型1的分析与求解，我们得到了房价与全国居民人均消费水平、全国人均GDP占有量、全国人口密度、土地成本及银行贷款利率这五个因素的一元线性回归方程，对通过相关系数R方的分析得出影响房价的主要因素为：全国居民人均消费水平、全国人均GDP占有量、全国人口密度、土地成本。

问题三求解：

国家调整房地产贷款利率、存款准备金率、房产税、贷款限制等这一系列措施实际上是对国家货币政策的一种运用。目前几年，由于房价的一直持续攀升，引发了一系列社会问题。因此当房地产市场出现过热的迹象时，国家会通过调整房地产贷款利率、存款准备金率、房产税、贷款限制等一系列措施影响房地产的供求关系和房地产的价格，继而波及到与房地产行业相关联的其他诸多产业，这样一方面有效地达到了国家宏观调控的目的，另一方面也起到了控制进入房地产市场的投机者资本数量的作用。

①国家提高银行贷款利率会增加贷款者的利息负担，这会抑制投资者、投机者的购房需求；另一方面加息会增加存款人的货币收入以及增加投机者囤房、开发商囤地的机会成本，从而增加商品房的供给。加息主要是改变购房者和售房者的成本收益曲线，通过“看不见的手”引导双方自动调整自己的行为，使供需双方在动态中达到一种均衡。

②国家提高房产税有利于稳定房地产市场预期，有利于抑制房地产市场投资过热和投机行为，有利于改善人们购房的理念，有利于抑制虚高的房价，使得房价回归理性等。

③只要房地产开发商资金流动性充足无忧，房屋销售价格就没有降价压力，同时受城市房地产资源稀缺性等因素影响，房屋售价还可能持续上涨，这是导致政府宏观调控政策失效的主要原因之一，而房地产开发商资金来源直接间接占比40％以上来自银行贷款。因此，国家对房地产开发商和房地产购买者进行限制贷款，有利于减少房地产投机行为。

通过以上三点分析得出，国家调整房地产贷款利率、存款准备金率、房产税、贷款限制等这一系列措施对房地产投机者的影响较大，对房地产投机行为有一定

的抑制作用。

问题四求解：

由灰色预测模型预测得知未来几年房价仍然会持续上涨，以下我们给出了以下抑制房地产投机的建议：

针对一些炒房之类的投机者，政府应当首先打压。首先可以征收房屋空置税。大量的炒房客必然导致高的房屋空置率，导致住房资源的浪费，但是想要杜绝炒房是一件很困难的事，那么征收税务，加重这些投机者的负担，能在一定程度上减轻这一问题。其次政府可以通过出台一系列的措施来对住房贷款加以限制。因为投机者购房，其大部分或者全部的资金都是来源于银行贷款，限制贷款可以起到限制炒房的作用。简而言之，尽可能减少炒房一族的增加，没人新鲜血液加入炒房，房价最终就会下来了，这是标本兼治的方法。

房地产投机是房地产市场的伴生物，我们不可能完全消除房地产投机，但是过度投机又会阻碍房地产市场健康有序的发展。政府应大力运用有效的措施抑制房地产投机活动，充分发挥我国住房制度的优越性，使住房真正的追求者拥有自己的空间。

问题五的求解：

对问题四所提出的建议在一定程度上可以有效的抑制房地产投机行为，使得房价在一定周期内会有一定的回落。

六、模型的评价及推广

针对抑制房地产投机问题，该多元回归模型得出的相关性系2R=0.995，已经达到较好的满意度，能够比较准确的找出影响房价的主要因素。在线性回归的基础上，我们建立的灰色预测模型来预测房价达到更好的预测度。该模型不仅适用于现金流量、股市的预测，而且可以应用于道路交通事故等复杂的非线性系统，可以很容易的推广到我国城市化与房地产业协调发展关系的研究领域，达到对社会、经济的实时监控。

参考文献：

①林军，陈翰林.《数学建模教程》（科学出版社）【2011年6月】（第五章83—95页、第八章192—200页）；

②林道荣，秦志林，周伟光.《数学实验与数学建模》（科学出版社）【2011年8月】（第二章8—46页、第十三章210—225页）；

③2011 中国统计年鉴；

④中国统计局网年度统计数据；

⑤百度文库

附录：

灰色预测模型程序

clc,clear

x0=[2112 2170 2259 2359 2713 2820 3119 3885 3877 4695 6500]; n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)

range=minmax(lamda)

x1=cumsum(x0)

for i=2:n

z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));

end

B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];

Y=x0(2:n)';

u=B\Y

x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');

x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});

yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);

digits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解

yuce=[x0(1),diff(yuce1)]

epsilon=x0-yuce %计算残差

delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值