九年级数学反比例函数教案(全)

反比例函数学案 知识点一：反比例函数的定义 一般地，形如)0(≠=

k k x

k

y 为常数，的函数称为反比例函数 例：下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x

y 23

-=

（6）31

+=

x

y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x

k

y =（k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x

x

y 31+=，

分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

答案： （2）、（3）、（5） 练习一：

1、下列各式中，表示的y 是x 的反比例函数有：

224,31,2

1,1

4,53,

1,

x

y x

y x y x y x

y x

k y x

k y =

-=

=

+=

=

+== 2、下列各式中，表示y 是x 的反比例函数有：

36,32,8,2,3=-===

=xy x y x

y x y x y

3、下列各式中，表示y 是x 的反比例函数：

2-=x y

知识点二：反比例函数的意义 反比例函数的意义：

①0≠k

②其中x 是自变量，且0≠x ③其中y 是函数，且0≠y

④表达形式：()()()???

????

≠?=≠=≠=-0001k k x y k k xy k x k y ⑤在表达形式()0≠=

k x

k

y 中，x 的次数是1； 在表达形式()01

≠?=-k k x y ，x 的次数是﹣1

例（1）：函数m

x

y -=2是反比例函数，求m 的值

解：（1）依题意得，12-=-m 所以，解得 3m = 练习二（1）： 1. 若3

-=m x y 是反比例函数，求m 的值

2. 若15+=m x y 是反比例函数，求m 的值

3. 若函数()是常数m x y m 1

1-=是反比例函数，求m 的值

例（2）：函数()2

1+-=m x m y 是反比例函数，求m 的值

解（2）：依题意得，??

?≠--=+②

①0112m m 由①得3-=m ；由②得1≠m

所以，有3-=m 练习二（2）：

1. 若函数()5

2--=k x k y 是反比例函数，求k 的值

2. 若函数()m x m y -+=15是反比例函数，求m 的值

3. 若函数()21k y k x -=-是反比例函数，求k 的值

4. 若函数()2103k y k x

-=-是反比例函数，求k 的值

5. 若函数y=（m+2）x |m|-3

是反比例函数，求m 的值

例（3）：已知反比例函数()3

2+-=m x m y ，当x=3时，对应的函数值是多少？

解（3）：依题意得，??

?≠--=+②

①0213m m 由①得4-=m ；由②得2≠m

所以，有4-=m

当4-=m 时，()3

2--=m x

m y 是反比例函数，即x

y 4-

=. 故当x=3时，3

4-

=y 练习二（3）：

1. 在反比例函数()5

3--=k x k y 中，当x=20时，对应的函数值是多少

2. 在反比例函数()m x m y +-=15中，当x=﹣2时，对应的函数值是多少

知识点三：待定系数法求反比例函数的解析式1

例：已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值 解：（1）设x

k y =

，因为当x=2时y=6，所以有26k

=

解得 k=12

因此，y 与x 的函数关系式是x

y 12=

（2）把x=4代入x y 12=

，得34

12

==

y 所以，当x=4时，y=3 练习三：

1、、已知y 是x 的反比例函数，且当x=3时，y=8，求（1）y 和x 的函数关系式；（2）当3

22=x 时，y 的值

3、已知y 是x 的反比例函数，且当x=3时，y=5，求（1）y 与x 的函数关系式；（2）当5

.2-=x 时，y 的值

4、已知y 与x 成反比例函数，当x=2时，y=3.（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当2

3-

=x 时，求y 的值

5、已知y 是x 的反比例函数，当x=1时，y=﹣3，求（1）y 与x 的函数关系式；（2）当x=2

时，求y 的值

6、已知y 与x 成反比例函数，当x=3时，y=4，求（1）y 与x 的函数关系式；（2）当y=3

时，求x 的值

知识点四：待定系数法求反比例函数的解析式2

例：已知y 与x+1成反比例，当x=2时，y=6.（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值

解：（1）由已知条件设有解析式为1

+=x k

y ∵当x=2时，y=6.

∴有1

26+=

k

，解得18=k ∴y 与x 的函数关系式为1

18

+=

x y （2）当x=4时，有5

18

1418118=+=+=

x y 练习四：

1. 如果y 与x+2成反比例，且当x=3时，y=1，求y 与x 之间的函数关系式．

2. 如果y 与x-2成反比例，且当x=3时，y=5，求y 与x 之间的函数关系式．

3. 如果y 与x-6成反比例，且当x=8时，y=1

2

，求y 与x 之间的函数关系式．

4. 如果y+3与x 成反比例，且当x=6时，y=1，求y 与x 之间的函数关系式．

5. 已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 之间的函数关系式为____________

6. y-1=

3

2

x +可以看作_______和_______成反比例，k=________． 知识点五：待定系数法求反比例函数的解析式3

例：已知y 与2

x 成反比例，当x=2时，y=6.（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值

解：（1）由已知条件设有解析式为2x

k

y =

∵当x=2时，y=6. ∴有22

6k

=

，解得24=k ∴y 与x 的函数关系式为224x

y =

（2）当x=4时，2

34242422===

x y 练习题五：

1. 已知y 与2

x 成反比例，当x=2时，y=6. 写出y 与x 的函数关系式

2. 已知y 与2

x 成反比例，当x=3时，y=18. 写出y 与x 的函数关系式

3. 已知y 与2

x 成反比例，当x=-1时，y=6. 写出y 与x 的函数关系式

知识点六：待定系数法求反比例函数的解析式4

例：已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝－2时，求函数y 的值

分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。

略解：设y 1＝k 1x （k 1≠0），x k y 22=

（k 2≠0），则x

k

x k y 21+=， 代入数值求得k 1＝2，k 2＝2，则x

x y 2

2+

=，当x ＝－2时，y ＝－5 练习六：

1. 已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当

x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值

2. 已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2

成反比例，且x=2与x=3时，y 的值都等于19，

求y 与x 的函数关系式．

3. 已知y=y 1-y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2

成正比例，且当x=-1时y=-5，当x=1时，y=1，

求y 与x 之间的函数关系式．

4. 已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 正比例函数，且3

2

x =-

和x=1时，y 的值都是1.（1）求y 关于x 的函数关系式。 （2）求x=3时y 的值。（3）当x 为何值时，y 的值是-1

知识点七: 反比例函数的图象分布

反比例函数的图象是一条 双曲线 ，有两个分支，两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限

反比例函数的图象分布是由k 值决定的：

①当0>k 时?函数图象的两个分支分别在 第一、第三象限 ②当0

y x =

，当x>0时，函数图象在第_________象限 （2）已知反比例函数2

y x

=，其图象一个分支在第一象限，另一个分支在第____象限

答案：（1） 一 ；（2） 三

例2：（1）反比例函数4

k y x

-=

其图象在第一、三象限，则k 的取值围。 （2）反比例函数2

3

(1)m y m x -=-其图象在第一、三象限，则m 的取值。

解：（1）∵反比例函数4

k y x

-=

其图象在第一、三象限 ∴04>-k ，即4>k （2）∵反比例函数2

3

(1)m

y m x -=-其图象在第一、三象限

∴21031m m ->??-=-?

，即1m m >??

?=??

m =

练习七： 1. 双曲线y=

k

x

（k≠0），当k>0时，它的两个分支分别在第______象限，当k<0，它的两个分支在第______象限。 2. 如果反比例函数x

k y 3

2-=的图象在第二、四象限，那么k 的取值围是。

3. 如果反比例函数2

k y x

+=的图象在第一、三象限，那么k 的取值围是。

4. 如果反比例函数1

(36)y k x -=-的图象在第一、三象限，那么k 的取值围是。

5. 已知反比例函数2

4

(1)m

y m x -=-其图象一支在第一象限，另一支在第_____象限，m 的

取值

6. 已知反比例函数25

(2)m

y m x -=-其图象一支在第二象限，另一支在第_____象限，m 的

取值

7. 已知反比例函数||3

(2)m y m x

-=+其图象一支在第三象限，另一支在第_____象限，m 的

取值

知识点八：反比例函数图象上的点

例：（1）判断点（2，-3）是否在反比例函数2

y x

=图象上 （2）反比例函数2

y x

=

，经过点（4,-2m ）则m 的值为多少 解：（1）当x=2时，在反比例函数2

y x

=中1=y ，不是﹣3，所以点（2，-3） 不在

反比例函数2

y x

=图象上

（2）将点（4,-2m ）代入2

y x

=，得

422=

-m ，解得4

1-=m 练习八：

1. 下列四个点，在反比例函数6

y x

=

图象上的是（ ） A ．(1，6-) B ．（2，4） C ．（3，2-） D ．（6-，1-) 2. 下列各点中，在反比例函数2

y x

=-图象上的是（ ） A ．(21)，

B ．233??

???

，

C ．(21)--，

D ．(12)-，

3. 已知反比例函数8

y x

=-

的图象经过点P （a+1，4），则a=_____． 4. 如果点A （―2，a ），B （b,1）是反比例函数y=6

x

-图象上的两点，那么a= ,b= 。

5. 某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ）

A ．(23)-，

B ．(33)--，

C ．(23)，

D ．(46)-，

6. 已知反比例函数的图象经过点A （a ，b ），则它的图象一定也经过（ ） A 、（-a ，-b ） B 、（a ，-b ） C 、（-a ，b ） D 、（0，0）

7. 反比例函数2

y x

=，经过点（m,2m ）则m 的值为多少？

知识点九：已知点求反比例函数解析式

例：已知反比例函数x

k

y =

的图象经过点(2，4)，则k 的值为多少？ 解：将点(2，4)代入解析式，得

2

4k

=

，解得8=k 练习九：

1. 已知反比例函数x

k

y =的图象经过点(1，2)，求反比例函数的解析式

2. 已知反比例函数2

k y x

+=的图象经过点(-1，3)，则k 的值为

3. 已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m ，－2），则m 的值是。

4. 已知反比例函数的图象经过点（2，8）和（-5 ，n ），则n 的值是。

知识点十：反比例函数性质

反比例函数的图象和性质

图象

性质

双曲线的两个分支分别位于一、三象限 双曲线的两个分支分别位于二、四象限 在每个象限，y 随x 的增大而 减小

在每个象限，y 随x 的增大而 增大

x 的取值围是0x ≠ y 的取值围是0y ≠

两个分支都 无限接近 于坐标轴，但是 永远不能到达x 轴和y 轴

中心对称图形：图象关于 坐标原点中心对称

轴对称图形：既关于 直线y=x 对称，也关于 直线y=-x 对称

（1）y 随x 的变化问题

例：若反比例函数21

k y x

-=的图象在其每个象限，y 随x 的增大而减小，则k 的取值围是

解：∵y 随x 的增大而减小

∴012<-k ，解得2

1<

k 练习十（1）：

1. 如果双曲线y=2m

x

，当x>0时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值围是（ ） A ．m<0 B ．m<12 C ．m>1

2 D ．m>0

2. 如果双曲线y=12m

x -，当x<0时，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值围是（ ）

A ．m<0

B ．m<12

C ．m>12

D ．m ≥1

2

3. 如果双曲线y=12m

x -，当x>0时，y 随x 的增大而减小，那么m 的取值围是（ ）

A ．m<0

B ．m<12

C ．m>12

D ．m ≥1

2

4. 若反比例函数1

k y x

-=的图象在其每个象限,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是（）

A.-1

B.3

C.0

D.-3

5. 反比例函数y=

2

1039n n x

--的图象每一象限，y 随x 的增大而增大，则n=_______．

（2）值比较大小问题

例：若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是反比例函数y ＝－1

x 的图象上的点，并且x 1

＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是( )

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 2＜y 3＜y 1

C ．y 3＜y 2＜y 1 D. y 1＜y 3＜y 2

方法一：用图象解法，作出函数y ＝－1

x 的草图，即得三点的大致位置，

观察图象，直接得到 y 2＜y 3＜y 1，故选B

方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中，得y 1＝－1

x 1

，

y 2＝－1x 2，y 3＝－1

x 3，由于x 1＜0＜x 2＜x 3，所以y 2＜y 3＜y 1，故选B

练习十（2）：

1. 已知反比例函数y ＝k

x

(k ＜0)的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且0

y 1－y 2值是 ( )

A. 正数

B. 负数

C. 非正数 D ．不能确定

2. 已知反比例函数y ＝k

x

(k>0)的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且0>x 1>x 2 ，则y 1

－y 2值是 ( )

A. 正数

B. 负数

C. 非正数 D ．不能确定

3. 已知点A （-3，y 1），B （-2，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y=4

x

的图象上，则（ ）． A ．y 1

4. 已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x

k y 1

2+-=上，则下列关系式正确

的是（ ）

A.y 1＞y 2＞y 3

B.y 1＞y 3＞y 2

C.y 2＞y 1＞y 3

D.y 3＞y 1＞y 2 5. 若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数x

k

y =（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样

（3）反比例函数()0≠=

k x

k

y 中系数k 的几何意义 如图，过反比例函数()0≠=k x

k

y 图象上任意一点P ，作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所

得的矩形PMON 的面积xy x y PN PM S =?=?= ∵x

k

y =

∴ xy=k ∴k S = 即过反比例函数图象上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k

①若由反比例函数图象上任意一点引两坐标轴的垂线，两垂线及两坐标轴所构成的四边形的面积为k ，则此反比例函数的解析式为()0≠±

=k x

k

y

②过反比例函数图象上任意一点作一条坐标轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构成的三角形面积k S 2

1=

例：（1）如图,点P 是反比例函数x

y 2

=图象上的一点,PD ⊥x 轴于

D.则

△

POD 的面积为 .

（2）如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 .

解：（1）S △POD =

21OD ·PD=122

1

2121=?==?k n m （2）设反比例函数解析式为x

k

y =，P 点坐标为()11,y x

则由已知得P 点坐标满足1

1x k

y =，即11y x k ?=

由图中阴影部分的面积为31111=?=?y x y x ，即有311=?=y x k 所以3±=k

又∵由图象得，反比例函数图象的一支在 第二象限 ，所以3-=k 所以，这个反比例函数的关系式是x

y 3

-

= 练习十（3）： 1. 在y=

1

x

的图象中，阴影部分面积为1的有（ ）．

2. 如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k

y x

=

过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2-

C ．4

D ．4-

P D

o

y

x

x

y

o

M

N

p

x

y C O

A

B

（第2题）

3. 面积为2的ΔABC，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示

大致是（ ）

4. 一个反比例函数在第三象限的图象如图，若A 是图象上 AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3， 求反比例函数的解析式

5. 已知点A （0，2）和点B （0，-2），点P 在函数x

y 1

-=的图象上，如果△PAB 的面积是6，求点P 点的坐标

知识点十一：反比例函数与一次函数 （1）反比例函数与一次函数的比较

函数 正比例函数

反比例函数

解析式

()0≠=k kx y

()0≠=

k k x

k

y 是常数， 图象形状 直线

双曲线

第4题图

K>0位置第一、三象限第一、三象限

增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小K<0 位置第二、四象限第二、四象限

增减性y随x的增大而减小y随x的增大而增大

练习十一（1）：

1.函数y=-x与y=

1

x

在同一直角坐标系中的图象是（）

2.当k>0时，反比例函数

x

k

y=和一次函数y=kx-k的图象大致为（）

3.已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-

k

x

（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（? ）．

4.函数y＝－ax＋a与

x

a

y

-

=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

5.已知函数

k

y

x

=-中，0

x>时，y随x的增大而增大，则y kx k

=-的大致图象为（）

x

y

O x

y

D

O

x

y

O

x

y

A

O

-4

（2）反比例函数与一次函数交点

反比例函数与一次函数交点分两种情况：有 两个交点 ，或者 没有交点 练习十一（2）： 1. 在函数y=

1

x

与函数y=x 的图象在同一平面直角坐标系的交点个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2. 已知正比例函数x k y 11=和反比例函授x

k y 2

2=的图像都经过点（2，1），则1k 、2k 的值分别为（ ）

A 1k =

21，2k =21 B 1k =2，2k =21 C 1k =2，2k =2 D 1k =2

1

，2k =2 3. 反比例函数k

y x

=与正比例函数2y x =图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数

的图像大致为（ ）

A B C D 4. 已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数y=

6

x

的图象都经过点（2，m ），则一次函数的解析式是________．

5. 已知一次函数y=2x －5的图象与反比例函数y=

x

k

(k≠0)的图象交于第四象限的一点P （a,－3a ），则这个反比例函数的关系式为 。

6. 若函数x m y )12(-=与x

m

y -=

3的图象交于第一、三象限，则m 的取值围是 7. 若一次函数y=x+b 与反比例函数y=k

x

图象，在第二象限有两个交点，?则k______0，

b_______0，（用“>”、“<”、“＝”填空） （3）求一次函数和反比例函数的关系式.

例：如图，反比例函数x

k

y =

的图象与一次函数b ax y +=的图象交于M 、N 两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式。

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值围。

解：（1）将点N （﹣1，﹣4）代入x

k

y =，得 k=4 ∴反比例函数的解析式为x

y 4=

又∵M 边在x

y 4=上 ∴ m=2

由M 、N 都在直线b ax y +=，由两点式可知：

?

?

?=+-=+-224

b a b a ，解得2,2==b a ∴一次函数的解析式为22+=x y

（2）由图象可知

当时和201<<-

练习十一（3）：

1. 如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数m

y x

=

的图象相交于A ，B 两点。 （1） 求反比例函数与一次函数的表达式（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值

时x 的取值围。

m ）

第1题图