北航研究生最优估计2010试题
北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
北航数值分析大作业一
《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。
②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include 数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327 一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 航空科学与工程学院 2016年研究生入学考试复试大纲 一、复试方式：笔试＋面试 二、复试组织： 1、笔试：由航空学院统一组织，考试科目及复试大纲另见《航空科学与工程学院2013年考研复试安排》。 2、口试：以学科专业组为单位，由3-5位硕士生导师组成面试小组（组长为教授），每位考生的面试时间为20分钟。 三、复试流程和评分标准： 1）检查并核实考生面试所必备的个人证件和材料；考生可以提供有助于证明自己背景和能力的相关材料，证件和材料完备是面试的必要条件。 2）考生用英语口述个人基本情况、兴趣等，面试小组老师就考生基本情况提问，考生用英文回答问题。 3）考生朗读一段考场指定的专业外语短文，并口头翻译成中文。 4）面试小组老师就基础理论知识提问，学生用中文回答问题。 5）面试小组老师就专业知识提问，学生用中文回答问题。 面试结束后考生退场，在3-5个工作日后见航空学院网站“招生就业”栏目的“研究生招生”，会通知出学院的拟录取名单，在7层的研究生教学橱窗也会公布。 四、考场纪律 考生准时到达指定的复试考场，遵守考场秩序，尊重考试教师。 五、各学科专业组具体复试内容及参考书： 1、飞行力学与飞行安全系2016年硕士研究生入学复试程序 方式： 由3~6位硕士生导师组成面试小组，每位考生的面试时间为20分钟。 范围： 面试范围包括英语口语能力、专业英语阅读理解能力、专业基础理论知识和专业知识。具体环节如下： 1）对考生学习背景、心理、爱好和志愿等基本情况的了解。 2）考察考生的英语阅读和口头表达能力。 3）基础理论和专业知识面试。基础理论包括自动控制原理、理论力学和材料力学。专业知识包括飞行力学、飞行安全、飞行器总体设计、空气动力学等。 参考书： 基础理论可以选用任何一本考生熟悉的《自动控制原理》、《理论力学》、《材料力学》教材。专业课可以参考《飞机飞行动力学》（熊海泉编）或《飞机飞行性能》、《飞机的稳定与控制》等方面的参考书。 面试流程和评分标准： 1）检查并核实考生面试所必备的个人证件和材料；证件和材料完备是面试的必要条件。2）考生用英语口述个人基本情况、兴趣等，面试小组老师就考生基本情况提问，考生回答问题。 3）读一段指定的专业外语，并口头翻译成中文。 4）面试小组老师就基础理论知识提问，学生回答问题。 5）面试小组老师就专业知识提问，学生回答问题。 6）问答结束后，考生退场，面试老师根据考核要求和面试情况，对考生进行评分。 7）所有考生面试结束后，面试老师根据总体情况，对所有考生进行综合评估和比较，给出面试成绩。 2、人机与环境工程/制冷及低温工程2016年硕士研究生入学复试程序 方式： 由3~5位硕士生导师组成面试小组，每位考生的面试时间为20分钟。 范围： 1）英语阅读和口头表达能力。 2）对考生心理、基本情况的了解。 3）基础理论和专业知识面试。基础理论包括：自动控制原理，理论力学，流体力学；专业知识包括工程热力学，传热学，人机工程，低温制冷。考生可以选择其中1门基础理论和1门专业课作为面试内容，或者是综合知识。 参考书： 可以选用任何一本考生熟悉的《自动控制原理》、《理论力学》、《流体力学》教材。专业课可以选用考生熟悉的《工程热力学》，《传热学》，《人机工程》，低温制冷等方面的参考书。 面试流程和评分标准： 1）检查并核实考生面试所必备的个人证件和材料；证件和材料完备是面试的必要条件. 2）考生用英语口述个人基本情况、兴趣等，面试小组老师就考生基本情况提问，考生回答问题。 3）读一段指定的专业外语，并口头翻译成中文。 4）面试小组老师就基础理论知识提问，学生回答问题。 5）面试小组老师就专业知识提问，学生回答问题。 6) 问答结束后，考生退场，面试老师根据考核要求和面试情况，对考生进行评分。 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-， 一、问题分析及算法描述 编写程序，分别用列主元的Gauss 消去法和LU 分解法求解下面线型代数方程组AX=b 的解，其中A 为N ×N 矩阵，N=50，其中第i(i ≥1)行、第j(i ≥1)列元素 a ij =1 i+j ?1， 右端向量b 的第i(i ≥1)个分量为 b i = 10 i+j ?1N j=1. 列主元素Gauss 消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k 次消元之前，先对增广矩阵 A (k),b (k) 作第一种行变换，使得a ik (k) 中绝对值最大的元素交换到第k 行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass 消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass 消元法相同。列主元的Gauss 消去法要求系数矩阵A 非奇异。 LU 分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A 分解成一个下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L 为单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵，则称为Doolittle 分解；若L 为下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称为Crout 分解。若系数矩阵A 的前n-1阶顺序主子式不为零，则Doolittle\Crout 分解具有唯一性。若在每步行变换中选取主元，可提高数值计算稳定性。本算例中采用选主元的Doolittle 分解。 通过分析可知，本算例中待求解线型方程组系数矩阵为非奇异矩阵，且其前n-1阶顺序主子式不为零。方程组的解向量为x = 10,10,?,10 T 。满足列主元高斯消去法以及LU 分解法的基本使用条件。为了验证上述两种方法对本算例的适用性，笔者利用Microsoft Visual C++6.0编写了该算例的列主元高斯消去法以及LU 分解法的程序代码，并进行了运算求解。 航空科学与工程学院 《飞行力学实验班》课程实验飞机典型模态特性仿真 实验报告 学生姓名:姜南 学号:11051136 专业方向:飞行器设计与工程 指导教师:王维军 (2014年 6 月29日 一、实验目的 飞机运动模态是比较抽象的概念, 是课程教学中的重点和难点。本实验针对这一问题,采用计算机动态仿真和在人-机飞行仿真实验平台上的驾驶员在环仿真实验,让学生身临其境地体会飞机响应与模态特性的关系,加深对飞机运动模态特性的理解。 二、实验内容 1.纵向摸态特性实验 计算某机在某状态下的短周期运动、长周期运动的模态参数;进行时域的非实时或实时仿真实验,操纵升降舵激发长、短周期运动模态,并由结果曲线分析比较模态参数;放宽飞机静稳定性,观察典型操纵响应曲线,并通过驾驶员在环实时仿真体验飞机的模态特性变化。 2.横航向模态特性实验 计算某机在某状态下的滚转、荷兰滚、螺旋模态参数;进行时域仿真计算,操纵副翼或方向舵,激发滚转、荷兰滚等运动模态,并由结果曲线分析比较模态参数。 三、各典型模态理论计算方法及模态参数结果表 1 纵向模态纵向小扰动运动方程 0000 1 00 0e p e p e p u w e u w q p u w q X X u u X X g Z Z w w Z Z Z q q M M M M M δδδδδ δδδθθ????????-???? ????????? ? ???????????=+??????????????????? ?????????????????? A =[ X u X ?w Z u Z w 0?g Z q 0M ?u M ?w0 M q 010] =[?0.01999980.0159027?0.0426897?0.04034850?32.2869.6279 0?0.00005547?0.001893500?0.54005010] A 的特征值方程 |λ+0.0199998?0.01590270.0426897 λ+0.0403485032.2 ?869.627900.000055470.001893500λ+0.540050 ?1λ |=0 特征根λ1,2=?0.290657205979137±1.25842158268078i λ3,4=?0.00954194402086311±0.0377636398212079i 半衰期t 1/2由公式t 1/2=? ln2λ 求得,分别为 t 1/2,1=2.38475828674173s t 1/2,3=72.6421344585972s 振荡频率ω分别为 ω1=1.25842158268078rad/s ω3=0.0377636398212079rad/s 周期T 由公式T = 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 《数值分析A》计算实习题目第一题 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有 对角线上元素的乘积。 二．源程序(VS2010环境下，C++语言) #include 北京航空航天大学2020届研究生 《数值分析》实验作业 第九题 院系：xx学院 学号： 姓名： 2020年11月 Q9:方程组A.4 一、 算法设计方案 （一）总体思路 1.题目要求∑∑=== k i k j s r rs y x c y x p 00 ),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。 ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。 2.),(* * j i y x f 与1使用相同方法求得，),(* * j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(* * j i y x 求得。 1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得 对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将 ),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。 2.乘积型最小二乘曲面拟合 2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下： ????? ??=k i i k x x x x B 0000 ， ????? ??=k j j k y y y y G 0000 数表矩阵如下： ???? ? ? ?=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U 记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为： 11-)(-=G G UG B B B C T T T ）（ 通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。 UG B G G C B B T T T =)()( 2.2计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值 ),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。将),(**j i y x 代入原方程组，求解响应) ,(* *ij ij u t 进行分片双二次插值求得),(**j i y x f 。),(* *j i y x p 的计算则可以直接将),(**j i y x 代入所求p(x,y)。 二、 源程序 ********* 第三次数值分析大作业Q9************ integer::i, j, K1, L1, n, m dimension X(31), Y(21), T(6), U(6), Z(6, 6), UX(11, 21), TY(11, 21), FXY(11, 21), C(6, 6) dimension z1(31, 21), z2(31, 21), z3(31, 21), z4(31, 21), z5(31, 21) dimension X1(8), Y1(5), FXY1(8, 5), PXY1(8, 5), UX1(8, 5), TY1(8, 5) 习 题 1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数． 2. 将 3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？ 3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102 1?×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x * 的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2． 7. 已知三角形面积c ab S sin 2 1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2 ,0*π< 《数值分析》计算实习作业 （第二题） 算法设计方案： 1、对矩阵A 赋值，取计算精度ε=1×10-12； 2、对矩阵A 进行拟上三角化，得到A (n-1)，并输出A (n-1)； 对矩阵A 的拟上三角化，通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现；拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵； QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值，并输出； (1)初始时令m=n ，在m>2的条件下执行； (2)判断如果|A mm-1|<ε，则得到一个特征值，m=m-1，转(4)；否则转(3)； (3)判断如果|A m-1m-2|<ε，则得到两个特征值，m=m-2，转(4)； (4)判断如果m ≤2，转(6)；否则转(5)； (5)执行相似迭代，转(2)； k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值； (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中； 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I)，其中λi 是实特征值；反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现，最终λi 对应的特征向量就是x1；最后将所有的实特征值的特征向量输出。 飞行力学大作业 = 0 CE E E E CB BE CE BE E E E BE E BE E E B B B B B B B B B Z ? 1 理论推导方程 在平面地球假设下，推导飞机质心在体轴系下的动力学方。 质心惯性加速度的基本方程是式（5.1.7），其中动点就是在转动参考系 F E 中的 O y 。这样 r ' 质心相对 于地球的速度，已用V E 来表示。这里假设地轴固定于惯性空间，且 = 0 。因此， F 的原点的加 速度a 0 就是与地球转动有关的向心加速度。数值比较表明，这一加速度和 g 相比通常可以略去。而 对于式（5.1.7）中的向心加速度项 r ' 的情况也是一样的，，也通常省略。在式（5.1.7）中剩下的 两项中 r ' = V E ，而哥氏加速度为2 E V E 。后者取决于飞行器速度的大小和方向，并且在轨道速度 时至多为 10%g 。当然在更高速度时可能更大。所以保留此项。最后质心的加速度可以简化为如下形 式： a = V E + 2 E V E 有坐标转换知： a = L a = L (V E + 2 E V E ) = L V E + 2L E V E = V E + ( B - E ) V E + 2 E V E = V E + ( + E ) V E (1) 体轴系中的力方程为：f=m a CB 而 f= A B +mg+T 设飞机的迎角为 ，侧滑角为 ，则体轴系的气动力表示为： ? A x ? ?-D ? ?cos cos -cos sin -sin ? ?-D ? ? A ? = L A = L ()L (-) ?-C ? = ? sin cos 0 ? ?-C ? ? y ? BW W y Z ? ? ? ? ? ? ?? A z ?? 重力在牵连垂直坐标系下为： ?? -L ?? ? 0 ? ?? sin a cos -sin a s in cos a ?? ?? -L ?? ? ? V ? ? ?? g ?? (3) 设发动机的安装角为，发动机的推力在机体坐标系的表示如下： ?T x ? ? T cos ? ?T ? = ? 0 ? (4) ? ??T y ? ? ? ? ? ?-T sin ? ? 由坐标转换可知 ： E g 《飞行力学与控制》 飞行动力学与控制大作业报告 院（系）航空科学与工程学院 专业名称飞行器设计 学号 学生姓名 目录 一．飞机本体动态特性计算分析 (2) 1.1飞机本体模型数据 (2) 1.2模态分析 (2) 1.3传递函数 (3) 1.4升降舵阶跃输入响应 (3) 1.5频率特性分析 (5) 1.6短周期飞行品质分析 (6) 二．改善飞行品质的控制器设计 (7) 2.1SAS控制率设计 (7) 2.1.1控制器参数选择 (8) 2.1.2数值仿真验证 (12) 2.2CAS控制率设计 (13) 三．基于现代控制理论的飞行控制设计方法 (16) 3.1特征结构配置问题描述 (16) 3.1.1特征结构的可配置性 (16) 3.1.2系统模型 (16) 3.2系统的特征结构配置设计 (17) 3.2.1设计过程 (17) 3.2.2具体的设计数据 (17) 3.2.3结果与分析 (18) 四．附录 (20) 一． 飞机本体动态特性计算分析 1.1 飞机本体模型数据 本文选取F16飞机进行动态特性分析及控制器设计，飞机的纵向状态方程形式如下： . x =Ax +Bu y =Cx (1.1) 状态变量为：[]T u q αθ=x 控制变量为：e δ=u 基准状态选择为120,2000V m s H m ==的定直平飞。选取状态向量 ()T u q αθ =x ,控制量为升降舵偏角，则在此基准状态下线化全量方程所得 到的矩阵数据如下： -0.0312 -1.1095 -9.8066 -0.5083-0.0013 -0.6543 0 0.9185 0 0 0 1.00000 -0.3828 0 -0.6901???? ? ?=???? ??Α (1.2) []-0.0167 -0.0014 -0.0956T =B (1.3) []1.000057.295857.295857.2958diag =C (1.4) 1.2 模态分析 矩阵A 的特征值算出为： 1,23,4-0.6778 + 0.5926i -0.0100 + 0.0769i λλ== 对应的特征向量如下： 0.9874 0.9874 -1.0000 -1.0000 0.1137 - 0.0053i 0.1137 + 0.0053i 0.0011 - 0.0000i 0.0011 + 0.0000i 0.0521 - 0.0629i 0.0521 + 0.0629i 0.002=V 1 + 0.0078i 0.0021 - 0.0078i 0.0019 + 0.0735i 0.0019 - 0.0735i -0.0006 + 0.0001i -0.0006 - 0.0001i ?? ?? ? ??????? 由系统特征值可知，系统具有两对共轭复根，也即具有两种运动模态：长周北航数值分析大作业第二题
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