幂级数的应用

幂级数的应用

发表时间：2014-01-20T14:14:11.873Z 来源：《职业技术教育》2013年第10期供稿作者：王石磊[导读] 幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便，只要将pn（x）在x0点展成级数。

王石磊（沙河市劳动技工学校河北邢台054100）

、级数是数学中非常重要的内容，其应用极其广泛。幂级数作为其中一种特殊的函数项级数，有着众多简捷的运算性质，在研究函数方面已成为一个很有用的工具。通过研究幂级数在其收敛区间内可以逐项求导与逐项求积等性质，本文对幂级数在计算级数的和、计算积分、求解微分方程、近似计算等方面的应用展开了详细的、具体的讨论，并给出了具体实例加以说明。

一、计算数项级数的和

已知数项级数an收敛，若求an的和，可根据数项级数的特征，首先构造恰当的幂级数，求出其收敛区间，再根据定理1和定理2求出数项级数的和。

例1.求级数- + - +…的和。

解：令f（x）= - + - +…（-1

xf″（x）=x2-2x3+3x4-4x5+…，

f″（x）+xf″（x）=x-x2+x3-x4+x5+…，

（1+x）f″（x）=x-x2+x3-x4+x5+…= （-1

f″（x）= 。

再逐项积分得：

f`(x)= =1n（1+x）+ -1，（-1

f(x)= f`(x)dx=（x+2）1n（x+1）-2x，（-1

根据上述结论：

- + -…

=l1mf（x）

=l1m[（x+2）1n（1+x）-2x]

=3ln2-2

二、计算特殊类型的不定积分

灵活运用基本的积分方法，就能求出许多不定积分，然而对于某些特殊类型初等函数的积分来说，基本方法显然是不够的。比如∫ dx类型的有理函数不定积分，如果用积分的基本方法，先把假分式化为多项式与真分式的和，再把真分式分解为部分分式，然后逐项积分，在理论上是可行的，但具体使用起来计算非常麻烦。幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便，只要将pn（x）在x0点展成级数。

pn（x）=pn（x0）+ （x-x0）+…+ （x-x0）n

此时：

= + + ＋…+

上式的每一项积分都很容易求得。

例2.计算∫ dx。

解：设f（x）=6x4-5x3+4x2+1，将其在x=2点展开

f(x)=73＋（x-2)＋（x-2)2＋（x-2)3＋（x-2)4，

所以∫ dx

=∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫6dx

=- - - +431n|x-2|+6x+c。

三、在微分方程中的应用

能用初等积分方法求解的微分方程毕竟是很少部分，除了求解过程中遇到的困难外，还由于一些重要的微分方程的解不是初等函数，但可以用幂级数来表示，从而达到简便求解的目的。

例3.求解方程（1-x2）y″-2xy′+n（n+1）=0。

解：p1（x）=- 、p0（x）= 都可以在-1

y′= kakxk-1，（3）

y″= k（k-1）akxk-2，（4）

把（2）、（3）、（4）代入原方程得：

k（k-1）akxk-2- k（k-1）xk-2 kakxk+n（n-1）akxk=0，

[（k+2）（k+1）ak+2-k（k-1）ak-2kak+n（n+1）ak]xk=0，

即ak+2=- ak k=0，1，2…

依次令k=0，1，2…，得：

a2=- a0，

a3=- a1，

a4=- a2= a0，