浙江省绍兴市上虞区2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

浙江省绍兴市上虞区2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）

参考公式：球的表面积公式24S R π=；球的体积公式34

3

V R π=

，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}3,4,6B =，则(

)U

A B =（ ）

A. {}3

B. {}4,6

C. {}1,3,4,6

D.

{}2,3,4,5,6

【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,先确定U

A 的范围,再确定()

U A B 的范围即可.

【详解】{}1,4,6U

A =,

(

){}1,3,4,6U

A B ∴=,

故选:C.

【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.

2.已知双曲线C ：22

221x y a b -=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ）

A. 22

1916

x y -=

B. 22

1169

x y -

= C. 22

134

x y -

= D.

22

143

x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】

根据双曲线C 的离心率为

5

3

,实轴长为6,解出3,5a c ==,从而计算出b ,得到双曲线方程. 【详解】由双曲线C 的离心率为5

3

,实轴长为6,

可得5

326

c a a ?=

???=?,解得35a c =??=?,

从而22216b c a =-=,

所以双曲线C 的方程为:22

1916

x y -=,

故选:A.

【点睛】本题考查双曲线的标准方程和基本性质,属于简单题.答题注意分清椭圆与双曲线之间的区别联系,不要混淆.

3.已知随机变量X 的分布列（下表），21Y X =+，则()E Y =（ ）

A.

13

B.

53

C.

73

D. 2

【答案】B 【解析】 【分析】

由变量X 分布列的性质,解得1

6

a =,从而可以计算出()E X ,进而计算出()E Y . 【详解】由题可知11123

a ++=,所以1

6a =,

所以1111

()10(1)2363

E X =?+?+-?=,

因此5

()(21)2()13

E Y E X E X =+=+=,

故选:B.

【点睛】本题主要考查期望的计算,属于简单题.有一定关系的两个变量,其期望与方差之间也有对应关系,其中2

()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=.

4.若实数x，y满足约束条件

20

30

20

x y

x y

x y

-≥

?

?

+-≤

?

?-≤

?

，则2

z x y

=+的最大值是（）

A. 0

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】

画出满足条件的目标区域,将目标函数化为斜截式

1

22

z

y x

=-+,由直线方程可知,要使z最大,则直线

1

22

z

y x

=-+的截距要最大,结合可行域可知当直线

1

22

z

y x

=-+过点A时截距最大,因此,解出A点坐标,代入目标函数,即可得到最大值.

【详解】画出满足约束条件

20

30

20

x y

x y

x y

-≥

?

?

+-≤

?

?-≤

?

的目标区域,如图所示:

由2

z x y

=+,得

1

22

z

y x

=-+,

要使z最大,则直线

1

22

z

y x

=-+的截距要最大,

由图可知,当直线

1

22

z

y x

=-+过点A时截距最大,

联立

20

30

x y

x y

-=

?

?

+-=

?

,解得(1,2)

A,

所以2

z x y

=+的最大值为:1225

+?=,

故选:D.

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,运用了数形结合思想,属于简单题.

5.ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()1

2

a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由题知:()()()22

222111242

a b c a b c b c b c ≤

+?≤+<+≤+,结合余弦定理,可推出A 为锐角,反之无法推出,因此“()1

2a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件.

【详解】①在ABC ?中,若()1

2

a b c ≤+,

则()2214

a b c ≤+,即2222

4()2()a b c b c ≤+≤+,

222a b c ∴<+,

222

cos 02b c a A bc

+-∴=>,

A ∴为锐角,

即“()1

2

a b c ≤

+”?“A 为锐角”, ②若A 为锐角,则222

cos 02b c a A bc

+-=>,即222b c a +>,

无法推出2222b c a +≥, 所以“A 为锐角”?“()1

2

a b c ≤+”, 综上所述:“()1

2

a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件, 故选:A.

【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.

6.函数2()x

x x

f x e += 大致图象是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．

【详解】函数y=2x x x e +的导数为21

'x

x x y e

-++=， 令y′=0，得15

±， 15x ，?-∈-∞ ??时，y′＜0，1515x -+∈??，时，y′＞0，15x ?+∈+∞????

时，y′＜0．

∴函数在（﹣15-∞，

），15++∞1515

-+， 且x=0时，y=0，排除B ，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C ， 故选A ．

【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，

7.已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为第

一象限内椭圆上的一点，且124

F PF π

∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若122F F OM =，则

该椭圆的离心率为（ ） 3

1021

D.

21

3

【答案】C

【解析】 【分析】

由122F F OM =,得1OF OM c ==,所以124

PF F π

∠=

,结合条件124

F PF π

∠=

,可知

12PF F ?为等腰直角三角形,从而可以根据椭圆的基本定义列出等式求离心率.

【详解】由122F F OM =,得1OF

OM c ==, 所以1

tan 1MFO ∠=,即124

PF F π

∠=,

又124

F PF π

∠=

,所以12PF F ?为等腰直角三角形,

所以1222PF PF c a +=+=,

所以离心率1c

e a

==-, 故选:C.

【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质,涉及了解三角形的相关知识,属于综合题型.一般解决圆锥曲线与平面几何相结合的题型时,一要注意圆锥曲线基本定义的应用,二要注意平面图形的基本性质.

8.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A. 5或8 B. 1-或5

C. 1-或4-

D. 4-或8

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意，①当12a ->-

时，即2a >，3(1),2

(){1,12

3(1),1

a x a x a f x x a x x a x --+≤-

=+--<≤-++>-，则当2

a

x =-

时，min ()()1322a a f x f a a =-=-

++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12

a -<-时，即

2

a <，

3(1),1

(){1,12

3(1),2

x a x a f x x a x a

x a x --+≤-=-+--<≤-

++>-

，则当

2

a x =-

时，

min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12

a

-=-时，

即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.

9.已知数列{}n a 中，12a =，若2

1n n n a a a +=+，设12

12222111

m m m a a a S a a a =

++???++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）

A. 1009

B. 1010

C. 2021

D. 2021

【答案】B 【解析】 【分析】

由2

1n n

n a a a +=+可得1(+16n n n a a a +=≥）,则111111(+1+16

n n n n n a a a a a +==-≤）.再结合212(1)11m m m a a a =-++,可化简1212222111m m m a a a S a a a =++???++++1221+m m a +=-223

m ≤-,

从而可以求出正整数m 的最大值. 【详解】

2

1n n n a a a +=+,12a =

∴0n a >,∴2

10n n n a a a +-=>,即数列{}n a 为单调增数列,

1(+16n n n a a a +∴=≥）,即

111111

(+1+16

n n n n n a a a a a +==-≤）, 1

111

+1n n n a a a +∴

=-, 21

2(1)11

m m m a a a =-++ 12

12222111

m m m a a a S a a a ∴=

++???++++

121112(1)2(1)2(1)111m a a a =-

+-+???+-+++ 12111

22(

)111m m a a a =-++???++++ 1312211111122(

)m m m a a a a a a +=--+-+???+- 111122(

)m m a a +=-- 1

221+

m m a +=-

223

m ≤-

2020m S <,

2220203m ∴-

<,即110103

m <+, ∴正整数m 的最大值为1010,

故选:B.

【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.

10.在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）

A.

311

2

32534

D. 23【答案】A 【解析】

【分析】

在正四面体ABCD 中,由AB ⊥平面CDE ,找出DM 在平面CDE 上的射影DG ,再沿DM 展开平面ADM ,使之与平面GDM 重合,此时,AP PQ +的最小值即为点A 到DG 的距离,最后,结合数据解三角形即可.

【详解】由题知,在正四面体ABCD 中,E 为AB 中点,

,AB DE AB CE ∴⊥⊥,

AB ∴⊥平面CDE ,

设CE 中点为G ,连MG ,

M 为AC 中点,

//MG AE ∴,且122

MG AE =

=

, MG ∴⊥平面CDE ,

DG ∴即为DM 在平面CDE 上的射影,

沿DM 展开平面ADM ,使之与平面GDM 重合, 此时,AP PQ +的最小值即为点A 到DG 的距离, 故过点A 作AQ DG ⊥于点Q ,

又3DM =

=,

sin cos MG MDG MDG MD ∴∠=

=∴∠=

, 30ADM ∠=,

1sin sin()2ADQ ADM MDG ∴∠=∠+∠=

=

,

3

sin 122

AQ AD ADQ ∴=?∠==

, 故选:A.

【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力,综合性较强.在解决此类最值问题时,一般采用侧面展开的形式,将立体问题转化为平面问题解决.

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知复数21i

z i

=

-（i 为虚数单位），则z =______，z =______. 【答案】 (1). 1i --2 【解析】 【分析】 先化简211i

z i i

=

=-+-,所以221,(1)12z i z =--=-+=. 【详解】

22(1)2211(1)(1)2

i i i i z i i i i +-+=

===-+--+, 221,(1)12z i z ∴=--=-+=故答案为:1i --;2.

【点睛】本题考查复数的基本运算,求其共轭和模,属于简单题.

12.已知方程为22

20x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径

r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.

【答案】11 【解析】 【分析】

将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出a ,求出半径,再根据MA AC ⊥,利用勾股定理求解即可.

【详解】圆的标准方程为:2

2

2(1)()124

a a x y a ++-=+-,

因为圆关于直线40x y +=对称, 所以圆心(1,)2

a

-在直线40x y +=上,

所以8a =,圆半径2

134

a r a =+-=,

设圆心为C ,则(1,4)C -,所以25MC =, 所以2220911MA MC AC =

-=-=,

故答案为:3;11.

【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.

13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.

【答案】 (1). 4

3

(2). 5225+【解析】 【分析】

由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥A BCDE -,底面BCDE 是边长为2的正方形,侧面ABC 是等腰直角三角形,且2AB AC ==

侧面ABC ⊥底面BCDE ,据此结合棱锥

的体积和表面积计算公式求解即可. 【详解】由三视图还原几何体如下:

该几何体为四棱锥A BCDE -,底面BCDE 是边长为2的正方形, 侧面ABC 是等腰直角三角形,2AB AC ==侧面ABC ⊥底面BCDE ,

取BC 中点为H ,则AH ⊥底面BCDE ,

所以1422133A BCDE V -=

???=, 表面积1111

222122222552252222S =?+??+???=+故答案为:4

3

;5225+【点睛】本题考查还原三视图求几何体的表面积与体积,要求学生有一定的空间思维想象能力,属于中档题.

14.若213n

x x ?? ??

?展开式中的各项系数之和为1024，则n =______，常数项为______. 【答案】 (1). 5 (2). 405 【解析】 【分析】

对二项式中的x 赋值,令1x =,可得展开式的各项系数之和为4n ,解得5n =,从而得到二项式的通项公式,再令通项公式中x 的幂指数为0,即可求出常数项.

【详解】在213n

x x ?? ??

?中,令1x =,可得展开式的各项系数之和为:41024n =,解得5n =,

所以5

213x x ?? ??

?的通项公式为:5555215521(3)()3r

r r r r r

r T C x C x x ---+=?=??,

令

5502

r

-=,得1r =, 所以常数项为:14

253=405T C ==?,

故答案为:5;405.

【点睛】本题主要应用赋值法求二项式的系数和及常数项,需要学生对二项展开式比较熟悉. 15.已知集合{}0,1,2,9A B ==，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种. 【答案】15 【解析】 【分析】

根据函数的定义可知值域中元素个数可能有1,2,3,4,四种情况,再结合组合数即可求出结果. 【详解】因为f :A B →为从集合A 到集合B 的一个函数, 所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或者4个元素,

因此值域的不同情况有:1234

444415C C C C +++=种,

故答案为:15.

【点睛】本题主要考查映射定义以及组合数的应用,属于基础题,难度不大,但需要学生熟练掌握基础知识并融会贯通.

16.如图，已知圆C ：()()2

2

221x y -+-=，ABD ?为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ?绕圆心C 转动，同时点N 在边AB 上运动时，ON CM ?的最大值是______.

142

+【解析】 【分析】

根据向量的三角形法则,将ON CM ?拆分成OC CM CN CM ?+?,运用向量数量积的定义和几何意义分别对OC CM ?和CN CM ?取最值,从而得到ON CM ?的最大值. 【详解】由题可知:圆C 半径为1,圆心为(2,2)C ,

所以ABD ?,1

,2

CM OC =

==()ON CM OC CN CM OC CM CN CM ?+?=?+?,

而cos =cos OC CM CO CM CO CM OCM OCM ?=-?=-??∠-∠,

当且仅当cos 1OCM ∠=-,即,CO CM 反向时,OC CM ?, 又1

=cos cos 2

CN CM CN CM MCN CN MCN ???∠=

??∠, 当且仅当N 与B 点重合时,CN CM ?取得最大值14

,

所以ON CM ?的最大值是1

4

+

故答案为:

14

+. 【点睛】本题主要运用了向量的运算法则和数量积的定义及几何意义去求解向量的最值,综合性较强.对于求数量积的最值问题,一般而言有两种解决思路,一是利用坐标转化为代数求最值,二是利用数量积的定义或几何意义求最值. 17.若关于x 的方程1

2x a a x

---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】

原题等价于方程12x a a x --=±恰有三个不同的解,作出1

(),2f x x a a y x

=--=± 的图像,观察图像即可得解.

【详解】原题等价于方程1

2x a a x

--=

±恰有三个不同的解, 设11

(),()2,()2f x x a a g x h x x x

=--=+=-,作出图像如下:

则2,()=,x a x a

f x x x a

-≥??

-

将y x =-分别与(),()g x h x 联立,

可得直线y x =-与()g x 相切与点(1,1)B -,与()h x 相切与点(1,1)C -, 因此,当且仅当点A 在线段BC 上运动时,()f x x a a =--与1

2y x

=±有三个交点, 故答案为:[]1,1-.

【点睛】本题主要考查函数图像的运用,将方程解的问题转变为两个简单函数交点的问题,应用了数形结合的思想.一般将零点问题变成两个函数交点的问题时,选择的函数要尽可能简单.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()2313cos sin 024x x f x ωωω=

-->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为等腰直角三角形.

（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间； （2）设()()13g x f x f x ?

?=++

???，求函数()g x 在区间11,23??

-????

上最大值及此时x 的值.

【答案】（1）ωπ=，单调增区间为5

112,266k k ??

++????，k Z ∈.（2）13x =-，【解析】 【分析】

(1)化简()f x 后,利用等腰直角ABC ?计算出BC 长,从而得到周期,计算出ω和()f x ,再求出单调递增区间即可;

(2)代入()f x 化简()g x ,再利用整体代入法求出()g x 的最大值. 【详解】

(1)()21cos sin 2244x f x x ωω=

--1cos sin 44

x x ωω=-1sin 23x πω??=-- ???

由图像可知ABC ?的BC 边上高为1

2

, 可得12BC T =?=,故ωπ=, 即()1sin 23f x x ππ?

?=-

- ??

?, 由不等式

3222

3

2k x k π

π

ππππ+≤-

≤

+511

2266

k x k ?+≤≤+,k Z ∈. 所以()f x 的单调增区间为5

112,

26

6k k ??

++????

,k Z ∈.

(2)由()()111sin sin 3232g x f x f x x x πππ????=++=--- ? ?????6x ππ??=- ??

?, 当11,23x ??

∈-

????

时,2,636x ππππ??-∈-????,

故当6

2

x π

π

π-

=-

,即13x =-时,sin 6x ππ??

-

??

?

有最小值1-,

即()sin 26g x x ππ?

?=-

- ??

?在13x =-有最大值

2. 【点睛】本题考查了三角函数的化简与求值,结合了函数图像求值,求单调区间,属于函数图像与性质的综合应用题.此题求单调区间时,需要注意这是一个复合函数求单调性问题,不要将区间求反.

19.已知斜三棱柱111ABC A B C -，2

ABC π

∠=

，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，

123AC =.

（1）求1AA 的长；

（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值. 【答案】（1）15AA =26

【解析】 【分析】

(1)方法一:由1AC BC ⊥,AB BC ⊥,推出BC ⊥面1ABC ,故1CB BC ⊥,则可利用勾股定理

解出115AA CC ==;方法一:如图所示以B 为原点,以BC 为x 轴,BA 为

y 轴,竖直向上为z 轴,建立空间直角坐标系,因为BC ⊥面1ABC ,即1ABC 平面等同于yoz 平面,因而可以利用

坐标求出1AA ;

(2)方法一:延长AB ,过1C 作1C H AB ⊥于H ,因为CB ⊥面1ABC ,所以面ABC ⊥面1ABC ,所以1C H ⊥面ABC ,所以1C CH ∠为1CC 与面ABC 所成角,等价于1AA 与面ABC 所成的角,最后结合数据解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出1AA 与面ABC 所成的角的正切值.

【详解】解:方法一:(1)因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BA C A A =,

所以BC ⊥面1ABC ,

故1CB BC ⊥,所以222

115CC CB C B =+=,

11(2)延长AB ,过1C 作1C H AB ⊥于H ,

由(1)知CB ⊥面1ABC ,所以面ABC ⊥面1ABC , 又面ABC

面1ABC AB =,1C H AB ⊥,1C H ?面1ABC ,

所以1C H ⊥面ABC ,

所以1C CH ∠为1CC 与面ABC 所成角,

在1ABC ?中可得1120BAC ∠=?,故13C H =,2CH =,

所以116

tan 2

C H C CH CH ∠=

=

, 又因为11//AA CC ,面//ABC 面111A B C ,

故1AA 与面ABC 所成的角即为1CC 与面ABC 所成的角, 所以1AA 与面ABC 所成的角的正切值为

6

2

.

方法二:(1)如图所示以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,竖直向上为z 轴, 建立空间直角坐标系,则()1,0,0C ,()0,2,0A , 因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BA

C A A =,

所以BC ⊥面1ABC ,即1ABC 平面等同于yoz 平面, 又因为12BC BA ==,123AC =所以1C 的坐标为(0,1,3--,

11

(2)因为11

//

AA CC,面//

ABC面111

A B C,

故

1

AA与面ABC所成的角即

1

CC与面ABC所成的角,设其夹角为θ,

易得面ABC的法向量为()

0,0,1

n=,且()

1

1,1,3

C C=,

所以1

1

3

sin

5

n C C

n C C

θ

?

==

?

,

所以

36

tan

2

θ==,

所以1

AA与面ABC所成的角的正切值为6.

【点睛】本题考查空间中求线段长,求线面角,需要学生有一定的空间想象与思维能力.几何法解决线面角问题的关键是找到平面的垂线,另外,也可建系来解决问题.

20.在数列{}n a中，已知11

a=，

1

21

n

n n

a a

+

=+-.

（1）求数列{}n a的通项公式n a；

（2）记()

1

n n

b a n

λ

=+-，且数列{}n b的前n项和为n S，若2S为数列{}n S中的最小项，求λ的取值范围.

【答案】（1）2n

n

a n

=-（2）

8

2,

3

??

??

??

【解析】

【分析】

(1)已知数列的

递推公式,用累加法求通项即可;

(2)由(1)可得2n

n b n λ=-,则()

12122632

n n n n S S λλ++=--

≥=-,化简得到()112832n n n λ++??

-≥- ???

对任意*n N ∈恒成立,分类分别求出当1,2n n ==时λ的取值范

围,再证明出3n ≥时()22216

6

n n f n n +-=+-为递增数列,即(3)f λ≤,综合求出λ的取值范围.

【详解】(1)

121n n n a a +=+-,

()11212n n n a a n --∴=+-≥,

21221n n n a a ---=+-,

……

12121a a =+-,

上式累加可得:()()12212n

n a a n n -=---≥,

2(2)n n a n n ∴=-≥,

又11a =,∴2n

n a n =-;

(2)由(1)可得()12n

n n b a n n λλ=+-=-, ∴()

11222

n n n n S λ++=--

, 因为2S 为数列{}n S 中的最小项, 所以263n S S λ≥=-,

即()1

12832n n n λ++??-≥-

???

, 当1n =时,得42λ-≥-,∴2λ≥; 当2n =时,R λ∈;

当3n ≥时,得()1302n n +->,∴22

216

6

n n n λ+-≤+-,