2013年山东省日照市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年山东日照初中学业考试

数学试卷

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页,满分120分，考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.只答在试卷上无效．

2.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第Ⅰ卷（选择题40分）

一、选择题:本大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.计算-22

+3的结果是

A ．7

B ．5

C ．1-

D ． 5- 答案：C

解析：原式＝－4＋3＝－1，选C 。

2.下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是

答案： A 解析：A 中，等边三角形底边的中算线为对称轴，是轴对称图形，其它都不是轴对称图形。

3.如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9

米），用科学计数法表示这个病毒直径的大小,正确的是

A.30×10-9米

B. 3.0×10-8

米

C. 3.0×10-10米

D. 0.3×10-9

米 答案：B

解析：科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

30纳米＝30×10－9＝3.0×10-8

米 4.下列计算正确的是 A.2

2

2)2(a a =- B.632a a a ÷= C.a a 22)1(2-=-- D.22a a a =?

答案：C

解析：因为.2

2

(2)4a a -=， 633a a a ÷=，23a a a ?=，故A 、B 、D 都错，只有C 正确。 5. 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x ＜38小组，而不在34≤x ＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（ ）

A ．该学校教职工总人数是50人

B ．年龄在40≤x ＜42小组的教职工人数占该学校总人数的

20%

C ．教职工年龄的中位数一定落在40≤x ＜42这一组

D ．教职工年龄的众数一定在38≤x ＜40这一组

46

答案：D

解析：职工总人数为：4＋6＋11＋10＋9＋6＋4＝50，故A 正确；年龄在40≤x ＜42小组的教职工有10人，

10

50

＝0.2＝20%，故B 也正确，在38≤x ＜40这一组有11人，最多，因此，众数肯定在这组，D 正确；中位数为6，故C 错，选C 。 6．如果点P （2x ＋6，x －4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）

答案：C

解析：因为点P 在第四象限，所以，260

40

x x +>??

-

7．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P （1,2）关于原点的对称点坐标为（-1，-2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d ，若两圆有公共点，则.71<

解析：三角形的中线分成两个三角形底边相等，高相同，故面积相等，①正确；两边和两边夹角对应相等的两个三角形才全等，故②错误；③正确；当d ＝1或d ＝7时，两圆有一个公共点，故④不正确，选B 。

8.已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计正确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321<

解析：用求根公式，得：1x =

，即11.51x -<<-，只有A 是正确的。

9. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是

A.8

B.7

C.6

D.5 答案：A

解析：假设每天工作量是1，甲单独工作x 天完成。工作总量等于1×x,实际工作中甲做的1×(x -3)；乙做的1×(x -2-3) 1×x=1×(x -3)+1×(x -2-3)，解得：x=8

10. 如图，在△ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是

A.BD⊥AC

B.AC 2

=2AB·AE C.△ADE 是等腰三角形 D. BC ＝2AD. 答案：D

解析：因为BC 为直线，所以，A 正确；可证△BCD ≌△BAD ，得BC ＝BA ，AD ＝CD ，

又△ADE ∽△ABC ，可得：AD ?AC ＝ADE ?AB ，而AC ＝2AD ，可知B 正确；因为ADE ∽△ABC ， △ABC 是等腰三角形，所以，△ADE 是等腰三角形，C 也正确；只有D 不一定成立。

11．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是

A ． M=mn

B ． M=n(m+1)

C ．M=mn+1

D ．M=m(n+1) 答案：D

解析：因为3＝（2＋1）×1，,15＝（4＋1）×3，35＝（6＋1）×5，所以，M ＝（n ＋1）×m ，选D 。 12.如图,已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定：当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.

下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大； ③使得M 大于4的x 值不存在； ④若M=2，则x= 1 .其中正确的有

A ．1个

B ．2个

C ． 3个

D ．4个 答案：B

解析：当x ＞2时，由图象可知y 2＞y 1，M ＝y 1，所以，①不正确；当x ＜0时，由图象可知y 2＞y 1，M ＝y 1，x 值越大，M 值越大，②正确；M 最大值为4，所以，③正确；M ＝2时，x 的值有两个，不一定是1，所以，④不正确，正确的有2个，选B 。

第Ⅱ卷（非选择题80分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上.

13.有意义，则x 的取值范围是 . 答案：x ≤2

解析：由根式的意义，得：2－x ≥0，解得：x ≤2

14.已知62=-m m ，则.____________2212

=+-m m 答案：－11

解析：原式＝1－2（m 2

－m ）－1－12＝－11

15. 如右图，直线AB 交双曲线x

k

y =

于Ａ、B ，交x 轴于点C,B

为线段AC 的中点，过点B 作BM⊥x 轴于M ，连结OA.若OM=2MC,S ⊿OAC =12，则k 的值为___________. 答案：8

解析：过A 作AN ⊥OC 于N ，因为BM⊥x 轴，所以，AN ∥BM ，因为

B 为A

C 中点，所以MN ＝MC ，

又OM ＝2MC ＝2MN ，所以，N 为OM 中点，设A （a ，b ）， 则OC ＝3a ，1

3122

a b ??=，得ab ＝8，又点A 在双曲线上，所以，

k ＝ab ＝8。

16.如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为

_____________.

答案：2)4

3

9π3(cm -

解析：半圆的半径为3，所以，AB ＝CD ＝3，'A D ＝AD ＝6，

'A C ＝

'A B ＝6－

，设AE ＝x ，在直角三角形EB 'A 中，

（3－x ）2

＋（6－

2

＝x 2

，解得：x ＝12

－

6

，

tan ∠ADE

2=ADE ＝15°，∠

ADF ＝30°，∠AOF ＝60°， S 半圆AD ＝92

π，S 扇形AOF ＝32

π， S △DOF

所以，阴影部分面积为：2)4

3

9π3(cm -

三、解答题:本大题有6小题，满分64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分,(1)小题4分，（2）小题6分） （1）计算： 001)3(30tan 2)2

1

(3π-+--+-.

（2）已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.

解析：分

分解：4 (13)

3

2................. .13

3

2(-2)3 )3(30tan 2)2

1

(3 0

01-=+?-+=-+--+-π

（2）（本小题满分6分）

解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . …………………5分 ∵1x 、2x 是方程的两个根，

∴△≥0,即：4（m +1）2

-4m 2

≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥2

1

-

. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, …………………8分

由△=0,即8m+4=0,得m=2

1-

. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为2

1

-

. ……………10分

18.（本题满分10分）

如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边B D 延长

线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC. ⑴求证：△BAD≌△AEC；

⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE

的面积. 解析：

（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.

又 ∵四边形ABDE 是平行四边形

∴AE∥BD， AE=BD ，∴∠ACB=∠CAE=∠B， ∴⊿DBA≌⊿AEC(SAS) ………………4分 （2）过A 作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x ，

在Rt△AGD 中，∵∠ADC=450

，∴AG=DG=x，

在Rt△AGB 中，∵∠B=300

，∴BG=x 3，………………6分

又∵BD=10.

∴BG -DG=BD,即103=-x x ，解得AG=x=

5351

310

+=-.…………………8分

∴S 平行四边形ABDE =BD·AG=10×（535+）=50350+.………………10分

19．（本题满分10分）

“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不

透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为

31

；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为5

2

．

（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？

（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算） 解析：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x 只、y 只， ……1分

根据题意得：???

????

=-+--=+.52733,3

1

y

x x y x x …………………………………4分

解得： ?

?

?==.10,

5y x 经检验符合题意，

所以爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只. ……………6分

（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为a 1、a 2；3只豆沙粽子记为b 1、b 2、b 3,则可列出表格如下：

…………8分 ∴5

3

106)(==

A P …………………10分

20. （本题满分10分） 问题背景:

如图（a ）,点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B′,连接A B′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为__________． （2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 解析： 22 )1( …………………4分

（2）解：如图，在斜边AC 上截取AB′=A B,连结BB′. ∵AD 平分∠BAC，

∴点B 与点B ′关于直线AD 对称. …………6分 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD 于E ，连结BE, 则线段B ′F 的长即为所求.(点到直线的距离最短) ………8分

在Rt△AFB /中，∵∠BAC=450, AB /

=AB= 10，

252

2

1045sin 45sin 00=?

=?=?'='∴AB B A F B ， ∴BE+EF 的最小值为25. ………………10分

21. （本小题满分10分）

一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出

（1）y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式. （2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （

x≥3000）

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．

解析：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式ONG 为b kx y +=.

由题：???=+=+.963200,1003000b k b k 解之得：?????=-=.

160,

501b k

∴y 与x 间的函数关系是16050

1

+-=x y . ……………………………3分

2222(3) 1

(160)(150)(3000)

501

16324000--300050

1

16324000-3000

5011

16221000(4050)307050 ............................95050 W W x x x x x x x x x x x x =-+---=-+-=-+-+=-+-=--+∴设租赁公司获得的月收益为元，依题意可得：

（）（）

分

当max 4050307050

4050307050 ............................10x W ==时，即：当每辆车的月租金写为元时，公司可获得最大月收益元。

分 22. （本小题满分14分）

已知，如图(a)，抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点A(x 1,0),B(x 2,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N.∠ONE=30°，|x 1-x 2|=8. （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）连结AD 、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P ，使得⊿ABP 与⊿ADB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图（b ）,点Q 为

上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：

AH·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由

.

解析：

(2）如图，由抛物线的对称性可知： BD AD =，DBA DAB ∠=∠．

相似，与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ??, 必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP ．

设AP 交抛物线的对称轴于D′点， 显然)3

8,2(D '，

∴直线OP 的解析式为3

4

32+=x y ， 由

23

2

6134322--=+x x x ，得10,221=-=x x （舍去）

. ∴)8,10(P .

过P 作,G x PG 轴，垂足为⊥

,8,4==?PG BG BGP Rt 中，在

∵854842

2

≠=+=PB

∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ．．

∴PAB ?与BAD ?不相似， …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．

所以在该抛物线上不存在点P ，使得与PAB ?与相似．…………………… 10分 (3)连结AF 、QF,

在AQF ?和AFH ?中，

由垂径定理易知：弧AE=弧AF. ∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ?∽AFH ?,

AF

AH

AQ AF =

∴

, 2AF AQ AH =?∴ ……………… 12分

在Rt△AOF 中，AF 2

＝AO 2

＋OF 2

＝22

＋(23)2

＝16（或利用AF 2

＝AO·AB＝2×8＝16） ∴AH·AQ＝16

即：AH·AQ 为定值。 …………… 14分