七年级数学思维探究(23)相交线和平行线(含答案)

阿基米德，公元前287年出生在意大利西西里岛的叙拉古，11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研《几何原本》．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。 23．相交线与平行线 解读课标

在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础． 相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．

我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．

与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用： 1．角的计算与证明；

2．两直线位置关系的确定． 问题解决

例1 如图，已知AB DE ∥，90ABC ∠=?，140CDE ∠=?，则BCD ∠=__________．

试一试 ABC ∠、CDE ∠、BCD ∠表面上看很难联系起来，过C 点作CF DE ∥，问题就迎刃而解了． 例2 如图，AB CD EF GH ∥∥∥，AE DG ∥，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个数为m （不包括α∠本身），与β∠互补的角的个数为n ，若αβ≠，则m n +的值是（ ）． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

试一试 略

例3 如图，已知12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．

试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．

例4 如图，AB 、CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A 、C 两点，点E 是橡皮筋上一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索A ∠、C ∠、AEC ∠之间具有怎样的关系？并说明理由．

D

A

B

C

E

α

βF E

C B

A H G

D 2

1

F

E C

B

A

D

D A

B

C

E

试一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论（如夹在AB 、CD 之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关键． 例5 平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．

（1）你能画出各直线之间的交点个数为n 的图形吗？其中n 分别为6，12，15．

（2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 分析与解 设7条直线交点的个数为n ，则021n ≤≤．（为什么？）

（1）如图①，得到的交点个数为6个；如图②，得到的交点个数为21个；如图③、④，得到的交点个数分别为12、15．

（2）n 的大小直接取决于7条直线中互相平行的直线的数量，因为7条直线中可能有： 一组平行线（2条；3条；4条；5条；6条；7条）；

二组平行线（2条，2条；2条，3条；2条，4条；2条，5条；3条，3条；3条，4条）； 三组平行线（2条，2条，2条；2条，2条，3条）； 没有平行线，

所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究． 实际上本题的答案共有15个，即

0n =，6，8，10，12，14，15，15，16，17，18，18，19，20，21，其中重复数字表示交点 个数相等但图形不同的答案．

平移变换

例6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31?．

分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．

证明 在平面上任取一点O ，过O 点分别作这6条直线的平行线1'l ，2'l ，3'l ，4'l ，5'l ，6'l ，则由平行线的特性，知1'l ，2'l ，3'l ，4'l ，5'l ，6'l 之间互成的角与原来的6条直线1l ，2l ，3l ，4l ，5l ，6l 之间互成的角相等．

现在我们考虑1'l ，2'l ，…，6'l 的情况，我们只考察1'l 与2'l ，2'l 与3'l ，…，5'l 与6'l ，6'l 与1'l 所成的角，由图不难发现这6个角成一个平角，即这6个角的和为180?．

假设这6个角没有一个小于31?，则这6个角都大于或等于31?，从而这6个角的和至少为316186??=?，这是不可能的，所以，这6个角中至少有一个小于31?，不妨设1'l 与2'l 所成的角小于31?，则原来的直线1l 与2l 所成的角也必小于31?． 数学冲浪 知识技能广场

1．如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角174∠=?，那么吸管与易拉罐下部夹角2∠=________度．

图①

图②

图③

图④

l 2

l 1l 3

l 4

l 5l 6

O

l 6'

l 5'l 4'

l 3'

l 1'

l 2'

2．如图，已知AE BD ∥，1130∠=?，230∠=?，则C ∠=________．

3．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与1∠互余的角是_______．

4．如图，AD EG BC ∥∥，AC EF ∥，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有______个；若150∠=?，则AHG ∠=

________．

5．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52?，现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）． A ．北偏西52? B ．南偏东52? C ．西偏北52? D ．北偏西38?

6．如图，直线l m ∥，将含有45?角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=?，则2∠的度数为（ ）．

A ．20?

B ．25?

C ．30?

D ．35?

7．如图，已知AB CD ∥，那么A C AEC ∠+∠+∠=（ ）．

A ．360?

B ．270?

C ．200?

D ．180?

2

1

2

1

D

A

B

C

E

1

23

4

56

1F E C

B

A H

G

D 2

1m l

C

B

A

D A B

C

E

8．如图，D 、G 是ABC △中AB 边上的任意两点，DE BC ∥，GH DC ∥，则图中相等的角共有（ ）． A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对

9．如图，已知FC AB DE ∥∥，::2:3:4D B α∠∠=，求α、D ∠、B ∠的度数．

10．如图，已知12BFM ∠=∠+∠，求证：AB CD ∥．

思维方法天地

11．如图，l m ∥，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠=_________．

12．如图，已知AB CD ∥，120ABE ∠=?，35DCE ∠=?，则BEC ∠=__________．

13．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是________．①第一次向左拐40?，第二次向右拐40?；②第一次向右拐50?，第二次向左拐130?；③第一次向右拐70?，第二次向左拐110?；④第一次向左拐70?，第二次向左拐110?．

14．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40?，则另一个角的度数为_________． 15．如图，CD BE ∥，则231∠+∠-∠的度数等于（ ）． A ．90? B ．120? C ．150? D ．180?

D G A

B

C

E

α

D

A

B

C E

F

21D

G

M

N A

B

C

E

F

65°

m

l

α

C

A

D

D

A

B

C

E

16．如图，已知AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE ∥，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）． A ．3ABE D ∠=∠ B ．180ABE D ∠+∠=? C ．90ABE D ∠-∠=? D ．2ABE D ∠=∠

17．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖

面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB 、OC 经灯碗反射后平行射出，如果图中ABO α∠=，

DCO β∠=，则BOC ∠的度数为（ ）．

A ．180αβ?--

B ．αβ+

C ．()1

2

αβ+ D ．()90βα?-

18．如图，两直线AB 、CD 平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）． A ．630? B ．720? C ．800? D ．900?

19．已知AB CD ∥，90AEC ∠=?．

（1）如图①，当CE 平分ACD ∠时，求证：AE 平分BAC ∠；

（2）如图②，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，求证：2BAE MCG ∠=∠．

20．如图，已知CD EF ∥，12ABC ∠+∠=∠，求证：AB GF ∥．

321

C A D

D A

B

C

E

F

G H

E F D A

B

C

1

2345

6

E C B

A

D

图①D

G

M A

B

C E 图②

应用探究乐园 21．（1）如图①，12MA NA ∥，则12A A ∠+∠=_________． 如图②，13MA NA ∥，则123A A A ∠+∠+∠=___________．

如图③，14MA NA ∥，则1234A A A A ∠+∠+∠+∠=___________．

如图④，15MA NA ∥，则12345A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠=___________．

从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．

（2）如图⑤，1n MA NA ∥，则123n A A A A ∠+∠+∠++∠=______________．

（3）利用上述结论解决问题：如图已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，

140E ∠=?，求BFD ∠的度数．

22．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射，若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且150∠=?，则2∠=_________，3∠=________．

（2）在（1）中，若155∠=?，则3∠=_______；若140∠=?，则3∠=________； （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a 、b 的夹角3∠=________时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．请说明理由．

21

D

G

A

B

E F

A 2

A 1

N

M

图①

A 3

A 2

A 1

M

N

图②

A 4

A 3

A 2

A 1

N

M

图③

A 5

A 4

A 3

A 2

A 1

N

M

图④

N

M

A 1

A 2A 3A 4

A 5A 6

A n

图⑤

D

A

B

C

E

F

3

2

1

b n

m

相交线与平行线 问题解决

例1 80BCF ABC ∠=∠=?，18040DCF CDE ∠=?-∠=?，40BCD BCF DCF ∠=∠-∠=?， 例2 D

例3 先证BD CE ∥，再证DF BC ∥.

例4 如图，可分别得到下列关系（证法同①） ①AEC A C ∠=∠+∠；②360AEC A C ∠+∠+∠=?； ③AEC C A ∠=∠-∠；④AEC A C ∠=∠-∠ ⑤AEC A C ∠=∠-∠；⑥AEC C A ∠=∠-∠.

数学冲浪

1. 106?

2.20?

3.2∠、3∠、4∠

4.5；130?

5.A

6.A

7.A

8.D

9.72α=?，108D ∠=?，144B ∠=?

10.略 11.25? 12.95? 13.④ 14.40?或140? 15.D 16.D 17.B 18.D 19.（1）略；（2）证法较多，如过E 点作EF AB ∥或作MCG ∠平分线CH 等.

20.作CK FG ∥，延长GF 、CD 交于H 点，则12180BCK ∠+∠+∠=?，因12ABC ∠+∠=∠，故180ABC BCK ∠+∠=?，即CK AB ∥，AB GF ∥. 21.（1）180?，360?，540?，720? （2）()1180n -?

（3）过F 点作FG AB ∥，则AB FG CD ∥∥.

则()1

2

BFD ABE CDE ∠=∠+∠，又360ABE CDE E ∠+∠+∠=?，得220ABE CDE ∠+∠=?，故110BFD ∠=?.

22.（1）100?；90? （2）90?；90? （3）90?证明略.

D A

B

C

E

①

D

A

B C

E

②

D

A B C

E

③

D A B C

E

④

D

A

B C

E

⑤

⑥

D

A B C

E