多元微积分A(下) 期末复习题解答

复习题1

一、填空题（每小题4分，共20分）

1. 设曲线L :122=+y x 上任意一点处的质量密度为22),(y x y x +=ρ，则该 曲线构件的质量=

M π

2．

2．在全平面上(3)()0+++=x y dx kx y dy 为全微分方程，则常数=k 3 .

3．向量场{}

x e z xy x e F z z sin ,,cos 2=

的散度 =

F div xyz 2 ．

4．设曲面∑：2221++=x y z ，则(12)∑

+-=

??x y dS π4 ．

5. 数项级数11

11∞

=??- ?+??∑n n n 的和=s 1 ．

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设有向曲线L 为2=y x ，从点)1,1(到点)0,0(，则(,)=?L

f x y dy （ C ）.

A . 021(,)?

f x x dx ; B. 120

2(,)?

xf x x dx ;

C.

01

(,)?f y y dy ; D.

1

(,)?

f y y dy .

2．设曲面∑质量分布均匀，且曲面∑的面积2=A ，0∑

=??xdS ，2∑

=??ydS ，

4∑

=??zdS ，则曲面∑的质心是（ A ）

．

A .)2,1,0(; B.)0,1,2(; C. )2,0,1(; D. )0,2,1(.

3．设曲面∑为2=z （221+≤x y ）的下侧，则下列结论中错误的是（ B ）. A .

2∑

=-??zdxdy π; B. 2∑

=??zdxdy π;

C.

0∑

=??zdydz ; D. 0∑

=??zdzdx .

4. 设数项级数n n a )(ln 0

∑∞=收敛，则常数a 所在的区间是（ C ）. A. ),0(e ; B. )1,0(; C. ),(1e e -; D. ),0(1-e .

5. 下列正项级数中收敛的是（ D ）.

A. 1

243∞

=+∑n n n

n ; B. 11∞

=+∑n n n ; C. 11

∞

=∑n n

; D. 211sin ∞

=∑n n .

6． 设()f x 是以2π为周期的函数，在一个周期内，1,0

()1,0--<≤?=?+<≤?

x x f x x x ππ，

则()f x 的傅里叶级数在点0=x 处收敛于（ B ）.

A. 1-;

B. 0;

C. 1;

D. 2

1

. 三、（5分）计算曲线积分?

L

yds x 2，其中L 为连接两点)0,1(及)1,0(的直线段.

解：L 的方程为x y -=1 （10≤≤x ），1-='y （1分）

dx x x yds x L

2)1(1

22-=??

（3分）

12

2

)(231

2=

-=?dx x x （5分）

四、（7分）验证平面力场j y x i y x y x F

cos sin sin cos ),(+=所做的功与路径无关，

并求质点在力F 的作用下沿直线L 从点)0,0(移动到点??

?

??2,2ππ所做的功W 的值.

解： 功dy y x dx y x W L

cos sin sin cos +=? （2分）

y x Q y x P cos sin ,sin cos ==，

因为

x

Q y x y P ??==??cos cos ，所以力所做的功W 与路径无关 （5分） L 的方程为x y =，x 从0到

2

π

，

1sin cos 220

==?dx x x W π

. （7分）

或L 为折线)2

,2()0,2()0,0(π

ππ→→，1cos 20==?dy y W π

五、（7分）利用格林公式计算曲线积分?+++L

y y dy x e x dx xe )()12(2，其中曲线L

为圆122=+y x 的上半部分，从)0,1(A 到)0,1(-B .

解： 0:1=y L ，x 从1-到1， （2分）

σd xe e x dy x e x dx xe y y D

L L y y )212()()12(1

2-+=+++???

+2

π

σ=

=??d D

， （5分）

其中0,1:22≥≤+y y x D ；

又 2)12()()12(1

1

21

??-=+=+++dx x dy x e x dx xe L y y ， （6分） 所以 22

)()12(2-=

+++?π

L

y y dy x e x dx xe （7分）

六、 （5分）计算曲面积分??∑

dS z 2，其中 ∑为圆锥面22y x z +=（10≤≤z ）．

解： 22y x z +=，

2

2

2

2

,

y

x y y

z y

x x x

z

+=??+=??， dxdy dS 2=， （2分）

1:22≤+y x D xy

??∑

dS z

2

dxdy y x

xy

D ??+=

2)(22

， （4分）

2

2220

1

3π

ρρθπ

=

=?

?d d （5分）

七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分

dxdy z dzdx x dydz y 2

22++??∑

, ∑其中为圆柱面221+=x y 及平面0=z ，3=z 所围成的圆柱体Ω的整个边界曲面的外侧． 解： 由高斯公式可得

dv z dxdy z dzdx x dydz y ?????Ω

∑

=++22

22 （3分）

πρρθπ923

20

10

==??

?z d z d d （6分）

其中 30,1:22≤≤≤+Ωz y x

八、（5分）求幂级数0(1)3

∞

=-∑

n

n

n n x 的收敛区间. 解： n n n

a 3

=

， 31lim

1==+∞→n

n n a a ρ， 幂级数的收敛半径为31

==ρR ， （3分）

解 31<-x ，得幂级数的收敛区间为)4,2(- （5分）

九、（7分）判别交错级数11

1(1)ln(1)∞

-=-+∑n n n 是否收敛? 如果收敛，通过推导，指

出是绝对收敛还是条件收敛.

解： 1

l n (1)=+

n u n

， 则 lim 0→∞

=n n u ，且 n u 单调递减，由莱布尼茨审敛法知，

交错级数11

1

(1)ln(1)∞

-=-+∑n n n 收敛; （4分）

当∞→n 时，1111

(1)ln(1)ln(1)~--+=+n n n n

，

故

1

1

1

(1)

ln(1)∞

-=-+∑n n n

发散； （6分）

所以交错级数11

1

(1)ln(1)∞

-=-+∑n n n 条件收敛. （7分）

十、( 9分 ) 求幂级数21

(1)21∞

+=-+∑n n n x n 的收敛域与和函数，并求数项级数

0(1)111(1)121

35721∞

=--=-+-+++++∑ n n

n n n 的和. 解：

22

1

(1)1∞

=-=

+∑n n n x x （11<<-x ）， （2分） 两边积分，得 21

(1)arctan 21∞

+=-=+∑n n n x x n （11<<-x ）

， （4分） 当1±=x 时，0

(1)21∞

=-±+∑n

n n 都收敛， （6分）

所以 21

0(1)arctan 21

∞

+=-=+∑n n n x x n （11≤≤-x ）

， （7分） 令1=x ，则 0(1)111(1)121357214∞

=--=-+-+++=++∑ n n n n n π

. （9分）

十一、（6分）利用x e 的幂级数展开式，将函数)1()(2-=x e x x f 展开为x 的幂级数（指出收敛区间）．

解： 200

(2)2!!∞

∞====∑∑n n x

n

n n x e x n n （+∞<<∞-x ）

， （3分） )1()(2-=x

e x x

f 01221!!∞∞

==??=-= ???

∑∑n n n n

n n x x x x n n （5分）

111222!(1)!

-∞

∞+====-∑∑n n n n

n n x x n n （+∞<<∞-x ）. （6分）

十二、（５分）设级数2

1

∞

=∑n n a 收敛，证明级数1∞

=∑

n

n a n

绝对收敛． 证明:

22112??

≤+ ???

n n a a n n ， （2分） 2

2111,∞

∞

==∑∑n

n n a n 收敛221112∞=??

?+ ???∑n n a n 收敛1∞

=?∑n n a n

收敛， （4分） 所以

1

∞

=∑n

n a n 绝对收敛． （5分）