解方程_公式法

解一元二次方程(公式法)

应用拓展某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13．布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

用公式法解一元二次方程教案

用公式法解一元二次方程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

难点：一元二次方程求根公式的推导过程教学过程：一、复习引入： 1、用配方法解下列方程：（1）4x 2-12x-1=0；（2）3x 2+2x-3=0 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）吗？二、问题探究：问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成（x+a b 2)2=2244a a c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+ 0=+a c x a b 移项，得x 2+ a c x a b -= 配方，得x 2+ 22)2(-)2(a b a c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b -

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程一、教学目标（1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学的重、难点及教学设计（1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。（3）教学设计要点 1.情境设计上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。（3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

公式法解一元二次方程(教案)

21.2.2公式法教案设计（张荣权）教学内容：用公式法解一元二次方程教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。教学目标：知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。教学重点、难点及突破重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。教学突破本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。教学设想通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。教学准备教师准备：课件精选例题学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简教学过程：

公式法解一元二次方程及答案详细解析

21.2.2公式法一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2

二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．

10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．

用公式法解一元二次方程练习题

用公式法解一元二次方程练习题姓名______________ 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（） A ．y= B ． C ． D ． 7．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A 、k>-1 B 、k>1 C 、k ≠0 D 、k>-1且k ≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A 、3x 2－x －1=0; B 、x 2－2x －1=0; C 、9x 2=4（3x －1）; D 、x 2＋7x ＋15=0. 10．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（）． A ． 4或-2 B ． -4或2 C ． 4 D ．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x 2+15x=-3x;???????? (2)x 2+x-6=0;?? (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=0 12．（8分）如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，?如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值． 13. （10分）已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。 14. （12分）已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2+-10x mx =与2-40x x k +=有一个相同的根，求此m 的值。

《公式法解方程》

21.2.2 公式法教学目标：【知识能力要求】 1.理解并掌握求根公式的推导过程； 2.能利用公式法求一元二次方程的解. 【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力. 【情感态度价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度. 教学重点难点 1、用公式法解一元二次方程. 2、推导一元二次方程求根公式的过程. 教学过程：活动一、情境导入，初步认识我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？【活动目的】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究. 活动二、思考探究，获取新知通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解. 由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b a x=- c a .

配方，得x2+b a x+2 () 2 b a =- c a +2 () 2 b a ，即 2 2 2 4 ( 4 2 ) b a a a b x c - +=. 至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 【活动目的】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解. 师生共同完善认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有： ①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解； ②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成

公式法解方程练习题

22．2降次--解一元二次方程（习题课） ◆随堂检测 1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（） A 、0>a B 、0≠a C 、1=a D 、0≥a 2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（） A 、522=-x x B 、5422=-x x C 、542=+x x D 、522 =+x x 3、方程x x x =-)1(的根是（） A 、2=x B 、2-=x C 、0,221=-=x x D 、0,221==x x 4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________． 5、用适当的方法解下列方程：（1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2 -=-x x ；（3）0362=+-x x ；（4）2 2510x x --=. ◆典例分析解方程022=--x x . 分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧. 解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0

当12y =时,2x =,∴2x =±, ∴原方程的解为2,221-==x x . ◆课下作业 ●拓展提高 1、方程062=--x x 的解是__________________． 2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______． 3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________． 4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（） A 、4 B 、2 C 、-2 D 、-4 5、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式 235(2)362 x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题：材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体. 然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==. 当 11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当 24y =时，214x -=,即25x =，∴x =∴原方程的解为 1234x x x x ====解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程42 60x x --=. ●体验中考 1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：． 2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（） A ．4+ B ．12+．2+ D ．212++

一元二次方程求解(公式法求解)

一元二次方程求解（公式法求解）一．选择题（共2小题） 1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（） A．0＜a＜1 B．1＜a＜C．＜a＜2 D．2＜a＜3 2．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3 二．填空题（共19小题） 3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是． 4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=．6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=． 7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是． 8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为． 10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：

小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式． 12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为． 13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为． 14．方程x2﹣3x+1=0的解是． 15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=． 16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是． 17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是． 18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为． 19．已知a＜b＜0，且，则=． 20．方程x2﹣5x+3=0的解是． 21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．三．解答题（共19小题） 22．解方程：x2﹣3x+1=0． 23．解方程：x2﹣5x+2=0． 24．解方程：x2﹣3x﹣7=0． 25．2x2+3x﹣1=0．

初三数学用公式法解方程1

八年级下册用公式法解一元二次方程(1)导学案学习目标 1、使学生掌握一元二次方程求根公式的推导过程,熟练地运用求根公式解一元二次方程。 2、引导学生熟记求根公式a ac b b x 242-±-=并理解公式中的条件042≥-a c b 。 3、培养学生大胆质疑，勇于创新的精神。学习重点：1、掌握一元二次方程的求根公式。2、熟练地运用求根公式解一元二次方程。学习难点：求根公式的推导教学过程: 一、温故解惑 1．用直接开方法解方程： (x+4) 2 =25 2．用配方法解方程：03832 =-+x x 二、探索点拨（一）1、尝试用配方法求一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 的根。 2．交流讨论：分析公式的特点，记忆公式。（二）典例分析例1、解方程 0232=+-x x 例2、解方程 3422=+-x x 跟踪练习：（1）03522=-+x x （2） 122 52 =+y y （3）5x+2=3x 2 （4）()()1532=--x x 例3、x x 3232 =+ 跟踪练习：（1）() 222-=+t t （2）16)8(-=-P P 三、整合拓展： 1、已知562+-=x x y 能使y 的值等于4-的值x 的值是。 2、若代数式5242--x x 与122+x 的值是互为相反数，则x 的值为。四、课堂小测： 1、01692=++x x 2、38162 =+x x 3、842 =-x x 4、0162 =+-x x B 、关于x 的一元二次方程022)(42 =--+m m x 的常数项为0，则关于x 的一元二次方程的一般式为