高中数学竞赛专题讲座
高中数学竞赛专题讲座（解析几何）
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 e d PF =| |(0 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为 (±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与 右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2知0 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+22 22b y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 122 22=-b y a x ， 参数方程为?? ?==? ? tan sec b y a x （?为参数）。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 122 22=-b x a y 。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 12 2 22=-b y a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c e =，由a 2+b 2=c 2知e>1。两条渐近线方程为x a k y ±=，双曲线12222=-b y a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近 线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b ，则称为等轴双曲线。 9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线122 22=-b y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它 的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ 2 222 cos 2c a ab -。 10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为 )0,2 (p ，准线方程为2p x -=，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2 p x + ； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 θ 2cos 12-p 。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0 ρcos 1e ep -=。 二、方法与例题 1．与定义有关的问题。 例1 已知定点A （2，1），F 是椭圆116 252 2=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。 [解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c= 2245-=3,5 3 == a c e .椭圆左准线的方程为325- =x ，又因为116 1254<+，所以点A 在椭圆内部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。由定义知 53||||==e PQ PF ，则3 5 |PF|=|PQ|。 所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ 3 5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM ⊥左准线于M)。 所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得 4155± =x ，又x<0，所以点P 坐标为)1,4 15 5(- 例2 已知P ，'P 为双曲线C ：122 22=-b y a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1 延长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q. [证明] 记右准线为l ，作PD ⊥l 于D ，l E P ⊥'于 E ，因为 E P '|'||'|||||E P K P PD PK =|'||'|| |||11E P F P e PD PF ==|'||||'||||'|||11K P PK E P PD F P PF ==K F P 1'21 212 1 ),2 3( y x 2 1 ||=d MF 1 )2(4)32(9,)2 1 ()2()123( 22222=-+-=-+-y x y x 即2a 2a 2b 2 b 4422 22b y a x - =-. 42 22 2 b a y x -=-3π3 π?? ? ??θtan 23,23.3tan tan 23???? ? ???? ?? -+= πθθy OB PM ⊥2 3tan 23 --x y θ )3tan(πθ-.2332??? ??-x )3tan(πθ-. 32y .3tan 3tan 3????????? ? ?--==πθθπ ) 3 tan(π θ-? ???? ???? ?? -?+3tan tan 13πθθ1124)4(22=--y x 12222=-b y a x x ⊥a b 2-a b 2. cos sin sin ,cos sin 20α αα ααb a ac ab x b a ab c ++=-= ααααα2222 20cos cos sin sin 2)sin (b ab a c b b a cx -++=ααααα22222 2sin cos sin sin ) sin (c b ab a c b b a +-++=) sin )(sin ()cos sin (sin ) sin (2b c b c b a a c b b a +-+++= αααααα, ) sin (cos sin 0 x c b a b a ααα+=+, )sin (sin 20 20b c x a b a cx -= αα c a x 2 - =??? ? ?????? ??22 2121,2,,2y p y B y p y A ??? ??-2,2y p C ??? ??0,2p F ) ,2(12 1y p y OA =? ? ? ??-=2,2y p OC ) ,2 2(121y p p y FA -=? ?? ? ??-=222,22y p p y FB FB FA //p y 22 12 221222p y p y y p +-? ?? ? ??+-22)(2121p p y y y y 2 1y y ≠02 221=+p p y y 022121=??? ? ??+y p p y y 0221221=?? ? ??--y p y p y //12 2 22=+b y a x ⊥ 2 2||1||1OB OA + θ π +2 .1cos sin ,1sin cos 2 222222222212221=+=+b r a r b r a r θ θθθ2 22221sin cos 1b a r θ θ+= .cos sin 12 22222b a r θθ+=2 2221 1||1||1b a OB OA +=+⊥ 3 3t r r =21 2 22111r r +)12(41)11)((4122222122212221t t r r r r r r ++=++= +θ θθ2 2 2222222221sin 1sin cos 1b a b a a b a r -+=+=2212111b r a ≤≤以b a t a b ≤≤。又函数f(x)=x+x 1在??????1,2 2 a b 上单调递减，在?? ? ???22,1b a 上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当a b t = 或b a 时，|AB|取最大值332。 例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 23，若圆C ：=-+22 )2 3(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。 [解] 设A ，B 分别为圆C 和椭圆上动点。由题设圆心C 坐标为?? ? ?? 23,0，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A ，B ，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值 71+，所以|BC|最大值为.7 因为2 3 = e ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t 3,t ，椭圆方程为142222=+t y t x ，并设点B 坐标为B(2tcos θ,tsin θ)，则|BC|2=(2tcos θ)2+2 23sin ??? ? ?-θt =3t 2sin 2θ-3tsin θ+49+4t 2=-3(tsin θ+2 1 )2+3+4t 2. 若21≤ t ，则当sin θ=-1时，|BC|2取最大值t 2+3t+749 <，与题设不符。 若t>21,则当sin θ=t 21-时，|BC|2取最大值3+4t 2，由3+4t 2=7得t=1. 所以椭圆方程为14 22 =+y x 。 例11在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：2 4 1x y = ，实数p 、q 满足042≥-q p ，1x ，2x 是方程02=+-q px x 的两根，记(){}|||,|m ax ,21x x q p =?。 ⑴ 过点()041, 0200≠?? ? ??p p p A 作L 的切线交y 轴于点B 。证明：对线段AB 上的任一点()q p Q ,，有()2 | |,0p q p = ?； ⑵ 设()b a M ,是定点，其中a 、b 满足042 >-b a ，0≠a ，过()b a M ,作L 的两条切线1l ， 2l ，切点分别为??? ??21141,p p E ，??? ? ?222'41,p p E ，1l 、2l 与y 轴分别交于F 、'F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X 。证明：()()2 | |,||||,121p b a p p X b a M =?>?∈?； ⑶ 设()()? ?????-+≥ -≤=45141 ,1|,2x y x y y x D ，当点()q p ,取遍D 时，求()q p ,?的最小值（记为min ?）和最大值（记为m ax ?）。 解：⑴ 证明：由已知知点A 在L 上，过点A 的L 的切线的斜率为2 p y = ∴直线AB 的方程为：()2002000 4 12412p x p p p x p y -=+-= 设点()1,0y B ∴2 014 1p y - = ∵()q p Q ,为线段AB 上的任一点 ∴2 004 12p p p q -= ∴方程02 =+-q px x ，即方程0412 2002 =??? ??-+-p p p px x 的两根 ()()2 2 4 12 4020022,1p p p p p p p p x -±= ? ?? ??---±= ∴()? ?? ???-=|2||,22| max ,00p p p q p ? ∵()q p Q ,为线段AB 上的任一点 ο1 当00>p 时，00p p ≤≤ Ⅰ 当2 00 p p ≤ ≤时 ()??? ???-=???? ??-=2,2 2max |2||,22| max ,000 0p p p p p p q p ? 此时 02 2200≥=--p p p p ∴()2 | |2,00p p q p ==? Ⅱ当002 p p p ≤<时 ()??? ? ??-=??????-=2,22max |2||,22| max ,0000p p p p p p q p ? 此时 02 2200 0≥-=--p p p p p ∴()2 | |2,00p p q p ==? ο2 当00 Ⅰ 当2 0p p p < ≤时 ()??? ???--=???? ??-=2,2 2max |2||,22| max ,000 0p p p p p p q p ? 此时02 22000≥-=-- ??? ? ? - p p p p p ∴()2 | |2,00p p q p = -=? Ⅱ当 02 ≤≤p p 时 ()??? ? ??--=??????-=2,22max |2||,22| max ,0000p p p p p p q p ? 此时02 220 0≥-=-- ??? ? ? - p p p p ∴()2 | |2,00p p q p =- =? 综上所述，对线段AB 上的任一点()q p Q ,，有()2 | |,0p q p =?。 ⑵ 证明： 由已知有直线1l 的方程为：211412p x p y -= 由已知有直线2l 的方程为：2 224 12p x p y -= ∴2 11412p a p b -= 2114 12p a p b -= 解得2 2 1p p a += ο1 当01>p 时， ()||||2 00,2112112 11p p p p p p p p p a X b a M >?<<-?<+< ?< |,0,11p b a p a X b a M =?< ο2 当01 ()||||02 0,211212 111p p p p p p p p a p X b a M >?-< ?< |,0,11p b a a p X b a M =?< 综上所述，()()2 | |,||||,121p b a p p X b a M =?>?∈? ⑶ 当()D q p ∈,时，设过点()q p ,的L 的切线的斜率为23p y =，其中3p 为切点处的横坐 标 ∴该切线方程为：2 3 34 12p x p y -= ∵()q p ,为该切线上的点 ∴q p p p q pp p p p p q 40424 122332 3233-±=?=+-?-= ∵()()? ??? ??-+≥ -≤=45141 ,1|,2x y x y y x D ∴()()()??????-≤-≤-≤≤???????????-+≥-≤p q p p p p q p q 22422 04514112 22 ()? ??-≤-≤-≤≤?p q p p p 22422 02 ο1 当q p p p 423-+=时， ()2 5252222222 3≤+???? ??- --=-+≤≤p p p p 即2 5 23≤ ≤p ο2 当q p p p 423--=时， ()222223≤-≤≤--p p p p 又()2 5 222222 +???? ??+--=--p p p ∴()222-≥--p p ∴223≤≤-p 综上所述，25 23≤ ≤-p 又由“⑴”有：()2 | |,3p q p =? ∴0min =? 4 5 max =? 5．直线与二次曲线。 例12 若抛物线y=ax 2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 [解] 抛物线y=ax 2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y 轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x 1,y 1)，'P (-y 1,-x 1)，满足y 1=a 121-x 且-x 1=a(-y 1)2-1，相减得x 1+y 1=a(2 121y x -),因为P 不在直线x+y=0上，所以x 1+y 1≠0,所以1=a(x 1-y 1)，即x 1=y 1+.1a 所以.01112 1=-++a y ay 此方程有不等实根，所以0)11(41>--=?a a ，求得43>a ， 即为所求。 例13，已知抛物线2 4y x =的准线与x 轴交于M 点，过M 点作直线与抛物线交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于0(,0)E x ，问ABE ?能否是直角三角形若能，求 0x 的值，若不能，请说明理由． 解：1）由题知，M （-1，0），因为直线AB 的斜率存在，故可设AB 方程为： (1),0y k x k =+≠1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点),(y x N ''，由2 (1) 4y k x y x =+???=? 2 2 2 2 (24)0,k x k x k +-+=所以2 2 4 (24)4011k k k ?=-->?-<<，2122 24 k x x k -+=- k y k k x 2,22 2='--='∴，所以AB 的垂直平分线方程为：22212 ()k y x k k k --=-+令0y =得 如果三角形ABE 为直角三角形，因EA=EB ，所以角AEB 为直角，且||2||EN AB = ||AB ===Q ， 2 01||,532 EM k x = =?=∴=> 所以当05x =时，三角形ABE 为直角三角形. 例14.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求 AP PB 的取值范围. 解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得 5 1-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 () 045544922 =+++kx x k 解之得 .4 95 9627222 ,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时，4 95 96272 21+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ， 所以 21x x PB AP -== 5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2 5 929181k -+-. 由 ( ) 049180)54(2 2 ≥+--=?k k , 解得 9 52 ≥ k ， 所以 5 15 92918112 -<-+- ≤-k ， 综上 5 1 1-≤≤-PB AP . 解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 () 045544922 =+++kx x k （*） 则 ??? ??? ?+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=2 1x x ，则，.2045324212 2 +=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥?可得 9 5 2 ≥ k ， 从而有 536 20 4532442 2≤+≤k k ， 所以 5 3621 4≤ ++≤λ λ， 解得 55 1 ≤≤λ. 结合10≤<λ得151 ≤≤λ. 综上，5 1 1-≤≤-PB AP . 例15 已知双曲线12 2:2 2=-x y C ，直线l 过点() 0,2A ，斜率为k ，当10< 解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< 于是，问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10< 2，从而有 .222222k x kx k x kx +++-=-+- 于是关于x 的方程()* ?)1(22222+= +++-k k x kx ?() ??? ??>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(22 2222kx k k kx k k x ?() ()()?? ? ? ?>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(2212 2 2 222kx k k k k x k k k x k 由10< ) ()() 022)1(22)1(2212 2 2 2 2 =--++ -++-k k x k k k x k 的二根同正， 故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于 () ( )() 022)1(22)1(2212 2 2 22 =--++ -++-k k x k k k x k . 由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=?，就可解得 5 5 2= k . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 例16 已知椭圆C:x y 2 2 28 +=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使 AP PB AQ QB =-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由 QB AQ PB AP -=可得：x x x x x x --=--212144， 解之得：) (82)(4212 121x x x x x x x +--+= （1） 设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程： () 08)41(2)41(412222 =--+-++k x k k x k （2） ① ② ∴ ??? ???? +--=+-=+.128)41(2,12)14(422 21221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.2 3 4++= k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在（2）中，由02464642 >++-=?k k ，解得 4 10 24102+<<-k ，结合（3）可求得 .9 10 216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （ 9 10 216910216+<<-x ）. 例17.（1991年高考）双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为5 3 的直线交双曲线于P 、Q 两点．若OP ⊥OQ ，|PQ|=4，求双曲线的方程． 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分． 解法一：设双曲线的方程为22 22b y a x -=1． 依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组 ()() ??? ????+=-==-2222 22 5 3 1b a c c x y b y a x 其中 将②式代入①式，整理得 (5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分 设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则 a b =5 3，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0． 根据根与系数的关系，有 2 2221356a b c a x x -=+ ④ 2 22 222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分 由于P 、Q 在直线y= 5 3 (x －c)上，可记为 P (x 1， 53(x 1－c))，Q (x 2，5 3(x 2－c))． 由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·2 2)(53 x c x -=－1， 整理得3c(x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥ 将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因为 a 2+3 b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以 c=22b a +=2a ． ——8分 由|PQ|=4，得(x 2－x 1)2=[ 53(x 2－c)－5 3 (x 1－c)]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b 2=3a 2，c=2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分 将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3． 故所求双曲线方程为x 2－3 2y =1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分 解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=2 22 235403a b ab c a --- ④ ——6分 由于P 、Q 在直线y= 53(x －c)上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，5 3 (x 2－c))． 由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋ 53(x 1－c)·5 3 (x 2－c)=0． ⑤ 将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， 即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分 由|PQ|=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－5 3(x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0． ——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1， 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3． 故所求双曲线方程为 x 2－3 2 y =1． ——12分 例18.已知双曲线C ：22 221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0) P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =u u u r u u u r ，3OA OB ?=u u u r u u u r ． （1）求双曲线方程； （2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （1）由双曲线离心率为2知，2c a = ， b =，双曲线方程化为22 2213x y a a -=． 又直线l 方程为y x m =+．由22 2213x y a a y x m ?-=? ??=+? ，得 2222230x mx m a ---=． ① 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，22 1232 m a x x --=． 因为 3AP PB =u u u r u u u r ，所以 1122()3()x m y x y m --=-， ，，123x x =-． 结合12x x m +=，解得132x m =，21 2x m =-．代入221232m a x x --=，得 22 23342 m a m ---=，化简得226m a =．又 121212122 2 2 2 1212()() 2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ?=+=+++=+++=-=u u u r u u u r ， 且3OA OB ?=u u u r u u u r ． 所以21a = ．此时，m = 2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求． 故双曲线C 的方程为2 2 13 y x -=． （2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设 00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点． 当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=- -，00tan Q M y QMF k x t ∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0 002 000221()y y x t y x x t ? --= ---． 将220 033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++． 于是 2 42243 t t t t +=-??-=+?，解得1t =-． 当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合 2QFM QMF ∠=∠． 所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，． 例19. 如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝3 2，BC ＝1 2 ．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．⑴ 建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； ⑵ 若点E 满足→EC ＝12 → AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在， 求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立 直角坐标系，?A （?1，0），B （1，0）设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 令c b y C x 20=?= ∴???==??????= =322 312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13 422=+y x （2）→EC ＝12→ AB ?E(0, 12 )，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0） 由01248)43(134 22222=-+++???? ??=++=m kmx x k y x m kx y , M 、N 存在 ?22220644(34)(412)0k m k m ?>?-+->?2234m k ≥+? 设M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，MN 的中点F (0x ，0y ) ∴2 2104342k km x x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121 ||||22200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=?-=+--+?-=-?⊥?= ∴222 )2 43(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴ 102≤ 4 ]． 三、基础训练题 1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m 2(>0)，则动点的轨迹是________. 3．椭圆 1361002 2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 4．双曲线方程 152||2 2=-+-k y k x ，则k 的取值范围是________. 5．椭圆 164 1002 2=+y x ，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是________. 6．直线l 被双曲线14 22 =-y x 所截的线段MN 恰被点A （3，-1）平分，则l 的方程为________. 7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y 2=32x 上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________. 8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________. 9．已知曲线y 2=ax ，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________. 为等轴双曲线x 2-y 2=a 2上一点， | || |||21PO PF PF +的取值范围是________. 11．已知椭圆1212212=+b y a x 与双曲线122 2 222=-b y a x 有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个 焦点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。 12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a< 2 r )；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足.1| |||==AN NQ AM MP 求证：|AM|+|AN|=|AB|。 四、高考水平测试题 1．双曲线与椭圆x 2+4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准方程是_________. 2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________. 3．双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF 1|为 直径的圆与以|A 1A 2|为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率3 1 = e ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________. 5．4a 2+b 2=1是直线y=2x+1与椭圆12222=+b y a x 恰有一个公共点的_________条件. 6．若参数方程?????+=+=t m y t m x 22222 （t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直 线的方程是_________. 7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆152 2=+m y x 总有公共点，则m 的范围是_________. 8．过双曲线1692 2=-y x 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9．过坐标原点的直线l 与椭圆 12 6)3(2 2=+-y x 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________. 10．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个. 11．求椭圆122 22=+b y a x 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12．设F ，O 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ， 点O 都在以AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。 13．已知双曲线C 1：122 2 22=- a y a x (a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点F 1。 （1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1．在平面直角坐标系中，若方程m(x 2+y 2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是_________. 2．设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦，已知|OF|=a ，|PQ|=b ，ΔOPQ 面积为_________. 3．给定椭圆122 22=+b y a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ， 则离心率e 的取值范围是_________. 4．设F 1，F 2分别是双曲线122 22=-b y a x (a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的动点，过F 1 作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹为_________. 5．ΔABC 一边的两顶点坐标为B （0，2）和C （0，2- ），另两边斜率的乘积为2 1 - ，若点T 坐标为(t,0)(t ∈R +),则|AT|的最小值为_________. 6．长为l(l<1)的线段AB 的两端点在抛物线y=x 2上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于_________. 7．已知抛物线y 2=2px 及定点A(a,b),B(-a,0),ab ≠0,b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为_________. 8．已知点P （1，2）既在椭圆12222=+b y a x 内部（含边界），又在圆x 2+y 2=322 2b a +外部 （含边界），若a,b ∈R +,则a+b 的最小值为_________. 9．已知椭圆13 42 2=+y x 的内接ΔABC 的边AB ，AC 分别过左、右焦点F 1，F 2，椭圆的左、右顶点分别为D ，E ，直线DB 与直线CE 交于点P ，当点A 在椭圆上变动时，试求点P 的 轨迹。 10．设曲线C 1：12 22=+y a x （a 为正常数）与C 2：y 2=2(x+m)在x 轴上方有一个公共点P 。 （1）求实数m 的取值范围（用a 表示）； （2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0 2 1 时，试求ΔOAP 面积的最大值（用a 表示）。 11．已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （-1，0）和B （0，8）关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：∠GAC=∠EAC 。 2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。 3．以B 0和B 1为焦点的椭圆与ΔAB 0B 1的边AB i 交于C i (i=0,1)，在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧00Q P 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1' 0P ，交AB 0的延长线于0'P 。求证：（1）点0'P 与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0；（2）P 0，Q 0，P 1，Q 1共圆。 4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v 0和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间 27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k 高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相 因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) 金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》 历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾! 第1讲：因式分解 一．因式分解的定义： 二．因式分解的方法： 1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式 例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x 例2：试说明139792781--能被45整除 例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x 2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333--- 例5：分解因式：abc c b a 3333-++ 例6：分解因式：12131415++++++x x x x x 3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。 例7：分解因式2105ax ay by bx -+- 例8：分解因式2222428x xy y z ++- 4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。 例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222 ()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）22 5681812x xy y x y +++++ 例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+ 5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥?，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式： 222(1)616 (2)44x x x xy y +-+- 例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a 6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即 §27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：)(mod m a a ≡； 2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡； 3).若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡; 4).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ±≡± 特别是)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡； 5).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ≡； 特别是)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则 )(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则； 6).)(mod )(m ac ab c b a +≡+； 7).若)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当 )(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当； 8).若)(m o d 1m b a ≡， )(m od 2m b a ≡ )(mod 3m b a ≡ ……………… )(mod n m b a ≡，且)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数0≥k ,1532 6161 6+++++k k k 能被7整除； 初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 数学竞赛题精讲复杂的因 式分解问题 Prepared on 21 November 2021 轮换对称式的因式分解问题 林达 多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。 例1分解因式： 【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为0。即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则是函数的一个根。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的因式分解结果是 例2分解因式： 【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果： 代入，得到 代入，得到 解得故原式的因式分解结果是 例3化简： 【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。 观察发现，当时，原式为 故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。 故是原式的因式。观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的化简结果是 配方法及其应用 林达 复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。 配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。 例1 分解因式： 全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N 5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0 课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：https://www.360docs.net/doc/a317409219.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址： https://www.360docs.net/doc/a317409219.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第二章组合专题 一、重要的概念与定理 1、完全图：每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有个顶点的完全图（阶完全图）记为. 2、顶点的度：图中与顶点相关联的边数（环按2条边计算）称为顶点的度（或次数）, 记为.与分别表示图的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度 为偶数的顶点称为偶顶点. 3、树：没有圈的连通图称为树,用表示,其中度为1的顶点称为树叶（或悬挂点）.阶树常表示为. 4、部图：若图的顶点集可以分解为个两两不相交的非空子集的并,即 并且同一子集内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为部图,记作 . 2部图又叫做偶图,记为. 5、完全部图：在一个部图中, ,若对任意 均有边连接和,则称图为完全部图,记为. 6、欧拉迹：包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹. 欧拉图：包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图. 哈密顿链（圈）：经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链（圈）称为哈密顿链（圈）.包含哈密顿圈的图称为哈密顿图. 7、平面图：若一个图可画在平面上,即可作一个与同构的图,使的顶点与边在同一 初中数学竞赛专题辅导因式分解( 一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ； (2) a 2±2ab+b2=(a±b) 2； (3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ； (4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ． 下面再补充几个常用的公式： (5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c-ab-bc-ca) ； (7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+aT3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数； (8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数； (9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-?--ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数. 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A.高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
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