大学量子力学试题()含答案
2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A 卷）
（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人： 复查人：
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：
E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量
F 所得的数值，必定是算符F
?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i
n n e
x t x
-=)(),(?ψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2
± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）
1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：
z
y
x
L
i
L
L?
]
?,
?[
=
]
?
?
,
?
?
[
]
?,
?[
z
x
y
z
y
x
p x
p z
p z
p y
L
L-
-
=
]
?
?
,
?
[
]
?
?
,
?
[
z
x
y
z
x
z
p x
p z
p z
p x
p z
p y-
-
-
=
]
?
,
?
[
]
?
,
?
[
]
?
,
?
[
]
?
,
?
[
z
y
x
y
z
z
x
z
p x
p z
p z
p z
p x
p y
p z
p y+
-
-
=
]
?
,
?
[
]
?
,
?
[
z
y
x
z
p x
p z
p z
p y+
=
y
z
z
y
z
x
x
z
p
p x
z
p x
p
z
p
p z
y
p z
p
y?]
?
,
[
]
?
,
?[
?]
?
,
[
]
?
,
?[+
+
+
=
y
z
x
z
p
p x
z
p z
p
y?]
?
,
[
]
?
,
?[+
=
y
z
y
z
x
z
x
z
p
p
x
z
p
p
z
x
p
z
p
y
p
p
yz?
?]
,
[
?]
?,
[
?]
,
?[
]
?,
?[+
+
+
=
y
x
p
i
x
p
i
y?)
(
?)
(
+
-
=
]
?
?
[
x
y
p y
p x
i-
=
z
L
i?
=
2、（10分）由Schr ?dinger 方程
证明几率守恒：
其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ?dinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
2
|),(|),(),(),(t r t r t r t r
ψ=ψψ=*
ω2
2(,)[()](,)2i r t V r r t t μ
?ψ=-?+ψ?0
=??+??
J t
ω][2ψ?ψ-ψ?ψ=
**μ
i J 2
2[](1)2i V t μ?ψ=-?+ψ?22[](2)
2i V t μ
**
?-ψ=-?+ψ?(1)(2)*ψ?-ψ?将式得：
]
[2222
****
ψ?ψ-ψ?ψ-=ψ??ψ+ψ??ψμ
t i t i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ??***
μ
）（t i τ
μ
ττ
τd d dt d i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ***
?? ）（τ
μ
τττd i d dt d ][2ψ?ψ-ψ
?ψ??-=ψψ**
*?? ）（ττωττd J d t r dt
d
??-=??),(0=??+??
J t
ω
三、计算题：（共40分）
1、（10分）设氢原子处于状态
),()(2
3
),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值 2
2
2
2
2
282
s s e n
e E μμ-
=-
= )2(=n ，几率为1
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= ，几率为1 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为
41， 4
3
2、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。
解：
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：
求归一化系数
最后，得 L z 的本征函数
?z
d L i d φ
=-π
πφ
φψππ21
12||2202220=→===?
?
c c
d c d
,2,1,021)(±±=??
??
?==m e m l im m z φ
π
φψ归一化系数。是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L z i
l z
z φ
φψφψφψφφψ ==-=)()()()(?)
2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→z
i z i l l ce
ce 1
2=πz
i l e
,2,1,022±±==m m l z
ππ于是 ,2,1,0±±==→m m l z
3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：
设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似。
解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：
E 1(0)
= 1 E 2(0)
= 3 E 3
(0)
= -2
由非简并微扰公式
得能量一级修正：
能量二级修正为：
?
?
???
??='????? ??-=c c c H H 0000002000300010?????-'='=∑
≠)
0()0(2)2()1(||k n kn
n k n nn n E E H E H E ?????='=='=='=c H E H E H E 33)
1(322
)
1(211)1(100
221)
0(3)0(1231)0(2)0(12
21)0()0(121)2(1||||||c E E H E E H E E H E k k n k -=-'+-'=-'=∑
≠???
?
?
??-=200
0301
c c
c H