数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题

第一章绪论一. 填空题 1.*

为精确值

x 的近似值；()

**x f y =为一元函数

()x f y =1的近似值；

()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：

***

r x x

e x -=

()()()*'1**y f x x εε≈? ()()

()

()'***1**r r x f x y x f x εε≈

()()()()

()*

*,**,*2**f x y f x y y x y x y

εεε??≈?+???

()()()()()

*,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈

?+??? 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。

3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有

6 位和 7

1.73≈（三位有效数字）-21

1.73 10 2

≤?。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、已知近似值 2.4560

A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .

7、递推公式,???

??0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,

如果取

0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差

为

10 2

?;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3*

=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位

和 4 位有效数字。

9、若*

2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。 10、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n

11、近似值*

0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()

346

10111y x x x =+

+---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为

11,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改

写为

199920012

+。

14、改变函数f x x x ()=

+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确

()x x x f ++=

11。

15、设

，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.

16、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x 具有的有效数字是 4 。

二、单项选择题：

1、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ．观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6

B ． 5

C ． 4

D ． 7 3、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ．模型

B ．观测

C ．截断

D ．舍入

4、用1+3x

近似表示3

1x +所产生的误差是( D )误差。

A ．舍入

B ．观测

C ．模型

D ．截断 5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 6、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 7

1732.≈

计算4

1)x =，下列方法中哪种最好？（ C ）

(A)28-

(B)2

4(-； (C

) ；

(D) 。

三、计算题

1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.

解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为

()()()()

()()()

=V V V V L W H L W H

WH L HL W LW H ????≈

?+?+?????+?+? 相对误差可估计为：()()

r V V V

??=

而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足

()()()0.01,0.01,0.01L W H ?≤?≤?≤

故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为

()()()()

()()3

25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50

1.1*1025000

r V WH L HL W LW H V V V -?≤?+?+?≤++=??=≤= 2.已知测量某长方形场地的长

a=110

米,宽

b=80

米.若

()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米

试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab

当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为

()()()

()()

=b s s

s a b a b

a a

b ???≈

?+????+? 相对误差可估计为：()()

r s s s

??=

而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足

()()0.1,0.1a b ?≤?≤

故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为

()()()()() 80*0.1110*0.119.019.0

0.0021598800

r s b a a b s s s ?≤?+?≤+=??=

≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差

'1**1**

**(),(),()()()

0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x n n n

x x

εε

εε--===-≈--=≈==解：由于故

故

4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？解：令()343

V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得

()()()()()()'23431%

R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤?=?=≤

从而得()1

300

R R ε≤

5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2

解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。

6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：h r V 2π=

)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325

V V -*=2r r r -*=0.0002

第二章插值法一、填空题：

1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则

()()4

i i x

l x =+∑＝(x 4+2).

2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则

()()5

5430

21i

i i i i x

x x l x =+++∑=54321x x x +++

3.已知

]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==

+=f f x x f 则，

4.2f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。

设

则

＝

6.设

和节点

则

= 4.

7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函数:

i x

0.2 0.3 0.4 ()i f x

0.04

0.09

0.16

则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。

9、2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为

-2 ，拉格朗日插值多项式为()()()()()()()211

232131222

L x x x x x x x =------+--,或2

298x x -+-

10、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

11、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 12、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l ()2x x --，)(x f 的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=x x x x N 。

13、

)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

()0n

k l x =∑= 1 ，()

k j

k x l x =∑=

x ，，当2≥n 时

++∑=)()3(20

x l x x

k k n

k k ( 32

4++x x )。

14、设一阶差商，

则二阶差商

15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式

16、若

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

二、单项选择题：

1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2

2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，

(B)

)!1()()()()()1(+=

-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，

(D) )

()!1()

()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ

3、有下列数表 x

0.5

1.5

f(x )

-2 -1.75 -1 0.25 2

所确定的插值多项式的次数是（ A ）。

（A ）二次；（B ）三次；（C ）四次；（D ）五次

4、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）

i x １ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5 ()i f x

-1

0.5

2.5

5.0

8.0

11.5

(A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。 5、设

()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则

()i

k kl k ==

∑( C )

(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。

6、由下列数据

x0 1 2 3 4

f x 1 2 4 3 -5

()

确定的唯一插值多项式的次数为( A )

(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3。

三、问答题

1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？

答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，

2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？

答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是

它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。

3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？

答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为

，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一

个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为后面相因子

改为

即可得到Hermite 插值余项。

四、计算题

1、设()7351f x x x =++,求差商

0101201

701

82,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ?????????????

解：012

27,2169,216705f f f ??????===??????，故 0112012

2,2162,2,28268,2,2,22702f f f ??????===??????

根据差商的性质，得

()

()()

()7017801

82,2,,21

2,2,,20

f f f

f ξξ??==?

???=

=??

2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: '

2311

i i

i x y y -

解：根据已知条件可求得

()()()()()()()()()()()()

012

01212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--

代入埃尔米特三次插值多项式公式

()()()()()

()()()()()()()()

00'

'30011012222

=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----

3、如有下列表函数:

i x

0 1 2 3 4 ()i f x

试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：

i x

i f

i f ?

2i f ?

3i f ?

4i f ?

0 3 1 6 3 2 11 5 1 3 18 7 1 0 4 27

N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2+2x+3,0≤x ≤1 4、给出x ln 的函数表如下：

0.40 0.50 0.60 0.70 x

－0.916291

－0.693147

－0.510826

－0.356675

试用线性插值和抛物插值求54.0ln 的近似值。

5．已知

-1

请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。

01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()

()()

()

()()()()

()()()

()()

(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=?+?

----+++-解：记则所以(1)(1)

(21)(21)111

(1)(2)(1)(2)(1)(1)223

x x x x x x x x +-?

+-=---+--+-

6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式

f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出

()()222321L x N x x x ==-+

设待插值函数为：

()()()()()32012H x N x k x x x =+---

根据

()()'3113, H f ==’

得参数1, k =则

()33 1.

H x x =+

插值余项为： 7、已知

()()()()()()()

33124!

f R x f x H x x x x ξ=-=--

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：

)53)(43)(13()

5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2

)(3------+------=x x x x x x x L

)45)(35)(15()

4)(3)(1(4

)54)(34)(14()5)(3)(1(5

------+------+x x x x x x

差商表为

)

4)(3)(1(41

)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P

5.5)2()2(3=≈P f

8、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差

|)(|!3|)(|33

2x M x R ω≤

尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最

靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果

596274.063891.0sin ≈，且

1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!

596274

.063891.0sin -?≤----≤

9、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x

x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式

)(2x P ,并估计误差。

解：

)15.0)(05.0()

1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----?

+----?

=--x x e x x e x P

)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)

5.01)(01()

5.0)(0(15.01-+----=----?

+---x x e x x e x x x x e

又

|)(|max ,)(,)(]

1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x

故截断误差

|)1)(5.0(|!31

|)(||)(|22--≤

-=-x x x x P e x R x 。

10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?

--+-+?+------?

=x x x x x x x L

)1)(1(34

)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=

x x x x x x

04167

.0241

)5.1()5.1(2≈=≈L f

11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton 插值方法：差分表：

≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

()2

83'''-

=x x f

()()()()00163.029*******

61144115121115100115!

3'''25

≈???≤---=

-ξf R

12、(10分)已知下列函数表：

(1)写出相应的三次Lagrange 插值多项式；

(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。

解：（1）

3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()

x x x x x x x x x x x x L x ------------=

+++

------------ 3248

33x x x =

-++ （2）均差表：011329327 2618 26 4

1221123()()()()N x x x x x x x =++-

315155(.)(.)f N ≈=

13、已知y=f （x ）的数据如下

f（x） 1 3 2

求二次插值多项式及f（2.5）

解：

14、设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足

H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式

解（1）

（2）

第四章数值积分

一、填空题

x，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为

1、求 212dx

2.333 。

2．n次插值型求积公式至少具有n 次代数精度，如果n为偶数，则有n+1 次代数精度。

3．梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。

4.插值型求积公式

()()0

k k a

k A f x f x =≈∑?的求积系数之和 b-a 。

5、计算积分?1

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用

辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

6、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求

d )(x

x f ≈( 12 )。

7、设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

8、若用复化梯形公式计算

?10

e x ，要求误差不超过6

-，利用余项公式估计，至少用

477个求积节点。

9、数值积分公式1

18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为

2 。

10、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?≈3

_________

)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25

10、数值微分中，已知等距节点的函数值，则由三点的求导公式，

有

11、

对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有n 次代数精度.

二、单项选择题：

1、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。

1011

0101

0010

101)()()

D ()()()

C ()()()

B ()()()

A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+----

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

?∑=-≈b

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中，当系数)

(n i C 是负值时，

公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（A ）8≥n ，（B ）7≥n ，（C ）10≥n ，（D ）6≥n ，三、问答题

1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？

答：一个求积公式如果当

为任意m 次多项式时，求积公式精

确成立，而当

为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m 次代数精

确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的

m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。

四、计算题

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。令

代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。

（2）

（3）

解：令

代入公式精确成立，得

解得，

得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。

2.求积公式

'0100

()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f ≈++?

，已知其余项表达式为

'''()(),(0,1)R f kf ξξ=∈，试确定系数010,,A A B ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并

给出代数精度的次数及求积公式余项。

'20102

010*******

321110

'211336

3140

(0),,()1,,,()1,1(),,,(),()(0)(1)(0)

(),f A A B f x x x f x A A A f x x A B A f x x A B f x dx f f f f x x x dx ==+==????

=+==????===

??=

==?

?解：本题虽然用到了的值，仍用代数精度定义确定参数。令分别代入求积公式，令公式两端相等，则得求得则有

再令此时，而上式13

,2=

右端两端不相等，故

它的代数精度为次。

''''2

113

3'2'''''1

31114

'''172

()()(0)(1)(0)(),(0,1)

()()3,()6,()6,6,,

()(),(0,1)

f x x f x dx f f f kf f x x f x x f x x f x x dx k k R f f ξξξξ==

+∈=====

+=-

∈?

为求余项可将代入求积公式

当，代入上式得

即所以余项7.3、根据下面给出的函数sin ()x

f x x

=的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式计算1

0sin x

I dx

解用复合梯形公式,这里n=8,0.1258

h =

=, ()1

sin 0.125

{(0)2[(0.125)(0.25)2

(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)]1}0.94569086

x dx f f f x f f f f f f ≈++++++++=?

用复合辛甫生公式: 这里n=4,1

0.254

h ==.可得

sin 0.25

{(0)4[(0.125)(0.375)6

x dx f f f x ≈++?

(0.625)(0.875)]2[(0.25)

(0.5)(0.75)](1)}0.946083305

f f f f f f ++++++=

4、求A 、B 使求积公式?-+-++-≈1

1)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量

高,并求其代数精度；利用此公式求

x I (保留四位小数)。

答案：2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

???

??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A

求积公式为)]21

()21([98)]1()1([91)(1

1f f f f dx x f +-++-=?-

当3

)(x x f =时，公式显然精确成立；当4

)(x x f =时，左=52，右=31

。所以代数精度为3。

69286.0140

]

211

32/11[98]311311[9131111322

≈=

+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t

5、n =3,用复合梯形公式求

d e 10?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：

7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210

310

≈+++?-=

≈?T x x

x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f

05.0025.0108e

312e |e |||2

3≤==?≤

-= T R x

至少有两位有效数字。

6、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx

-1

时，试用余项