图形的相似教案
第二十四章 图形的相似
相似三角形1
一．教学目标：
1． 知识目标：
（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比； （2）掌握判定三角形相似的预备定理。 2． 能力目标：
培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。 3．情感目标：
加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。 二．教学重点、难点：
重点：相似三角形的概念及判定的预备定理
难点：当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明 三．教学过程：
(一) 类比联想，动手实验
1． 回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角
形所具有的性质（对应边、对应角相等）。
2． 让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：三角形的中位线所截
的三角形与原三角形的形状有什么关系？大小呢？各角有什么关系？各边有什么关系？
（二）直观演示，展示新知 A /
1． 相似三角形的定义 C ’
将上面所截得的三角形移出,记为 B / A
A ’
B ’
C ’，原三角形记为 ，因此有A= A ’
。，BB B= B ’， =∠C ∠C ’, B C
,
2
1
//////===CA A C BC C B AB B A ,即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。这样的两个三角形虽然大小不一定相等，但形状相同。
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2．表示方法：
教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可以以此与全等符号及表示作一比较，加强记忆）。
3． 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
4． 相似比：相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。
’B’C ’的相似比是k ABC 与’B’ C ’的相似比是
k
1
。 练习：判断下列命题是否正确。错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明：
⑴所有的等腰三角形都相似。 ⑵所有的等边三角形都相似。
⑶所有的直角三角形都相似。 ⑷所有的等腰直角三角形都相似。
教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。
A
1．例1。如图，在 中， D E DE//BC ，D 。E 分别在AB ，AC 上。
求证：△ADE ∽△ABC B C F 师生共同探讨：
（1） 目前要证明两个三角形相似只能根据什么？（定义）
（2） 根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？（对应角相
等，对应边成比例）
（3） △ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？
（4） 对应边成比例，由“DE//BC ”的条件可得到怎样的比例式？
??
?
??=EC AE AB AD （5） 本题的关键归结为“只要证明什么”？??
?
??=BC DE AC AE （6） 根据以前的推论，如何把DE 移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？
（EF//AB ）
教师板演证明过程。
2．如图，DE//BC ，D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上，D E
△ADE 与△ABC 相似吗？ A ——相似
C B
由此得到预备定理：
3．定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所
构成的三角形与原三角形相似。
4．例2，如图，D 为△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作 C
DE//AC ，交BC 于E ，已知BE ：EC=2：1，AC=6CM ，
求DE 的长。
5、练习：P122页1、2、3
6、课后拓展（机动）：
（1 ACB ，则AD ：AB= ： ，
AB ：BD= ： ，如果AD=2，DC=1，那么AB= （2）ABC 中，AD 是角平分线，求证：
DC
BD
AC AB =。 A
A
D
B C B D C 图甲 图乙
五、归纳总结、布置作业：
1． 今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形
的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比是1； 2． 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似。 作业
相似三角形2
四．教学目标：
1． 知识目标：
（1）近一步理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比； （2）巩固判定三角形相似的预备定理及应用 ⑶ 掌握判定三角形相似的其他三个方法
2． 能力目标： 培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。 3．情感目标：
加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。 五．教学重点、难点：
重点：判定三角形相似的其他三个方法
难点；判定三角形相似的其他三个方法及应用 三 课堂探究：
探究一
在一张方格纸上画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角 ⑴ 它们有什么特点？
⑵你认为这两个三角形之间是什么关系？
⑶ 你能把理由说来与大家分享吗 /
B
如图：△ABC 和△/
C B A 中，/
/////C A AC
C B BC B A AB == ， 求证；△ABC ∽△/
/
/
C B A
证明：截AB D A =/，过D 作DE ∥//C B ?△DE A /∽△/
//C B A
△ ABC ≌△DE A /
?△ABC ∽△///C B A
结论：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似
备注 探究二
利用刻度尺和量角器画△ABC 和△///C B A ，使∠A=∠/
A ，
K C
A AC
B A AB ==/
///， 量BC 、/
/
C B 的长度，量∠B 、∠C 、∠/
B 、∠/
C 的度数
①你发现BC 、/
/
C B 的长度有什么关系？
②你发现∠B 、∠C 、∠/B 、∠/
C 的度数有什么关系？ ③由①、②能得△ABC 和△/
//C B A 有什么关系？
结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似
④改变∠A 和K 的大小，是否有同样的结论？ ⑤请同学们自己证明这个结论
⑥△ABC 和△///C B A ，使∠B=∠/
B ，/
///C
A AC
B A AB = ， 这两个三角形相似吗？ 探究三
作△ABC 和△/
//C B A ，使∠A=∠/A 、∠B=∠/
B ，分别度量两个三角形的边长
①你发现∠C 与∠/
C 有什么关系？ ②你发现
//B A AB 、//C B BC 、/
/A
C CA
有什么关系？ ③由①、②能得△ABC 和△/
/
/
C B A 有什么关系？
结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似
④请同学们自己证明这个结论
四 例题欣赏
例1：根据下列条件，判断△ABC 和△/
/
/
C B A 是否相似，并说明理由？ ①∠A=0
120、AB=7㎝、AC=14㎝
∠/A =0120、//B A =7㎝、/
/C A =14㎝ ② AB=4㎝、 BC=6㎝、AC=8㎝
//B A =12㎝、 /
/
C B =18㎝、/
/
C A =21㎝ 五、 课堂练习
1、根据下列条件，判断△ABC 和△/
/
/
C B A 是否相似，并说明理由？ ①∠A=0
40、AB=8㎝、AC=15㎝ ∠/A =0
30、//B A =16㎝、/
/
C A =30㎝ ② AB=10㎝、 BC=8㎝、AC=16㎝
/
/B A =20㎝、 /
/
C B =16㎝、/
/
C A =32㎝
2、图中的两个三角形是否相似/
3、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边长为3、
4、5，另一个三角形的一边长为2，它的另两条边长为多少？你有几个答案？
4、底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？ 5如图：Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，△ACD 和△ACBD 和△ABC 相似吗？证明你的结论？
六、归纳总结、布置作业：
3． 今天学习了相似三角形的三个判定，
作业
相似三角形的性质
教学目标：
知识与技能
1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。
2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。
过程与方法：
1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。
2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。
3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。
情感与态度：
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。
教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用
教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系
教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学
教学过程：
一、创设情境，引入新课
1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？
2、问题情境：
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？
二、实践交流，探索新知
1、看一看：
△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？
2、算一算：
△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？
△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比是多少？
3、想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）
6、归纳小结；相似三角形性质定理2
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、基础训练，加深理解
归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。
四、综合应用，解决问题
已知：如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积？
五、拓展延伸，共同提高
1、过E作EF∥AB交BC于F，其他条件不变，则△EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF
的面积为多少？
2、若设S△ABC=S，S△ADE=S1，S△EFC=S2，试猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？
六、类似猜想，深入探究
探究：如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P，若设S△DMP=S1，S△PEF=S2，S△GNP=S3，S△ABC=S，S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以论证。
七、课堂小结
本节课你有何收获？
1、这节课我们学到了哪些知识？
2、我们是用哪些方法获得这些知识的？
3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
八、布置作业
1、作业本
2、3（2）（3）、4、5
2、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。
位似图形（一）
一、教学目标：
1、了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识和动手操作能力
二、教学重点、难点：
重点：利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用难点：判断位似图形
三、教学过程：
1、诊断补偿：
相似三角形的判定和性质
（生口答，集体矫正）
2、创设情境，引入新课
每个图中的两个四边形ABCD和四边形A’B’C’D’都是相似图形。观察下面的五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
（生思考后小组讨论完成）
B
B
B
B
B
生全班交流：所有对应点的连线交于一点。（师总结引出位似图形）
3、探究释疑——精讲提炼：
如果两个相似图形的每组对应所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
议一议：
回答问题：（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？
（生动手操作，并讨论总结）
总结：
1、位似中心可在两图形的外部、内部、边上或顶点处
2、通过测量、计算发现位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于3：1，恰好
等于两个位似图形的位似比。
3、位似图形中的两个图形的方向相同或者相反。
由定义及上述总结可得：位似图形的性质：
位似图形是相似形，位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 4、范例点拨：
例1、如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点。 （1） 如果DE ∥BC ，那么△ADE 和△ABC 是位似图形
吗？为什么？ （2） 如果△ADE 和△ABC 是位似图形，那么DE ∥BC
吗？为什么？
点拨：位似图形的定义既是性质，又是位似图形的判定方法。第一题分两步进行，即先说明是相似图形，再说明对应点的连线交于一点。 （生完成后集体矫正步骤） 想一想：
在上图中，位似图形的对应线段AB 与A ’B ’是否平行？BC 与B ’C ’，CD 与C ’D ’，AD 与A ’D ’是否平行？为什么？
师总结：一般地，位似图形的对应线段互相平行或在同一条直线上。 5、题组训练： 1、随堂练习1、 师生共同完成 2、如图，AB ，CD 相交于点E ，AC ∥DB 。△ACE 与△BDE 是位似图形吗？为什么？
（一生板演，其余同练，集体矫正）
3、图中的两个直角三角形是位似图形吗？如果是，作出位似中心。
6、交流评价：
位似图形的定义及判定方法
位似图形中的两个相似图形的方向一致或相反，对应线段互相平行或在同一条直线上。 7、布置作业：
D
位似图形(二）
教学目标：
1、知识目标：
①了解位似图形及其有关概念；
②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2、能力目标：
①利用图形的位似解决一些简单的实际问题；
②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。
3、情感目标：
①通过学习培养学生的合作意识；
②通过探究提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：
探索并掌握位似图形的定义和性质；
教学难点：
运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。
教学方法：
从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习；提高学生自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分类指导，让每个学生都得到充分的发展。
教学准备：
刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、
教学手段：
小组合作、多媒体辅助教学
教学过程：
一、创设情境引入新知
观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都
是相似图形。分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?
（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：） 特点：（1）两个图形相似：
（2）每组对应点所在的直线交于一点。 二、合作交流 探究新知
请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？ 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．．．．，这个交点叫做位似中心．．．．，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比．．．
。 议一议
观察上图中的五个图形，回答下列问题：
（1） 在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？
（2） 在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试。
（每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：） 位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 由此得出：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之
A
B
C D
B 1
A 1C 1D 1
B 1
C 1
D 1A
C
D A 1B 1
C 1
D 1A
B
C
D
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 A
B C
D
C 1
A 1 D 1
B 1 (1) (2)
(3)
(4)
(5)
比等于相似比。
三、指导应用 深化理解 （同学们观察大屏幕出示的问题） 例1如图D ，E 分别是AB ，AC 上的点。
(1)如果DE ∥BC,那么△ADE 和△ABC 位似图形吗?为什么?
(2)如果△ADE 和△ABC 是位似图形,那么DE ∥BC 吗?为什么?
小组讨论如何解这道题：问题1，证位似图形的根据是什么？需要哪几个条件？
根据是位似图形的定义。 需要两个条件：
！、△ADE 和△ABC 相似； 2、对应点所在的直线交于一点。
问题2：已知△ADE 和△ABC 是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1、对应点和位似中心在同一条直线上；
2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。 （一生口述师板书：）
解：（1）△ADE 和△ABC 是位似图形.理由是： ∵DE ∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C. ∵△ADE ∽△ABC.
又∵点A 是△ADE 和△ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C 是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，
∴△ADE 和△ABC 是位似图形。 （2）DE ∥BC.理由是： ∵△ADE 和△ABC 是位似图形
A
B
C
D
E
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
四、继续观察拓展提高
（同学们继续观察屏幕展示的图形）
在图（1）——（5）中,位似图形的对应线段AB与A1B1是否平行?BC与B1C1,CD与C1D1,AD与A1D1是否平行?为什么?
同桌观察探究并发言：对应边平行或在同一条直线上。
（出示课件：展示一组位似图形，动画闪动图形的对应边，直观展示位似图形的对应边平行或在同一条直线上）
五、反馈练习落实新知
挑战自我:
1、下面每组图形中都有两个图形.
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形?
（2）作出位似图形的位似中心
（1）（2）（3）
(4) (5)
(6)
2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE
与△BDE是位似图形吗？为什么？
（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到
黑板上板书，以备面对全体矫正）
六、归纳小结反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论。观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看对应边是否平行或在同一条直线上。
七、自我评价检测新知
1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________，这时的相似比又叫做________。
2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________；位似图形的对应角__________，对应线段__________（填：“相等”、“平行”、“相交”
、“在一条直线上”等）
3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延长线上。
4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________（填“一定”、“不”或“可能”等）
5、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的两个图形是位似图形。
C
A
D B
E
（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现的问题及时矫
正有利于学生知识的巩固和提高）
八、课后延伸探索创新
在如图所示的图案中，最外圈的8个三角形组成的图形
和次外圈的8个红色三角形组成的图形是位似图形吗？如果
是，为似比是多少？
九、板书设计：