sx1213数学与当代人文社会科学

专题13 数学与当代人文社会科学

人文、社会科学所涉及的内容十分广泛，我们只能就少量学科的少数典型问题予以介绍。

从历史上看，虽然人类在最初的社会活动中就需要简单的数学知识，如丈量土地、计算收成、商品交换、税收、摊派徭役、军队的后勤补给、政府的行政支出等，但是真正在人文、社会科学中明确地使用数学方法进行研究却是很晚的事情，其中以经济学最早，其标志是英国经济学家威廉·配第（William Petty ，1623—1687）死后出版的著作《政治算术》（1690）。配第的工作与另一位英国学者格朗特（John Graunt?，1620──1674）的工作一起构成了在经济学史与统计学史上影响十分深远的政治算术学派的开端。除经济学之外，19世纪中后期在少数历史学（主要是经济史）著作中也开始使用简单的数学（主要是统计学）方法，同一时期，一些数学家和语言学家提出在语言学的研究中可以使用数学方法，并运用一些简单的数学（主要是统计学）方法进行了少量实际研究。其他人文、社会学科中明确使用数学方法就基本上都是本世纪以来的事了。

数学方法进入人文、社会科学虽晚，但一旦进入，便逐渐显示出巨大的威力，并且逐渐加快了相应学科数学化的进程。1971年 2月，美国哈佛大学的卡尔·多伊奇 (K.Deutsch ) 和他的两个同事在美国最权威的《科学》杂志上发表了一项研究报告，其中列举了1900—1965年间在世界范围内社会科学方面的62项重大成就，按照他们的选择标准，包括：心理学13项，经济学12项，政治学11项，数学11项，社会学 7项，哲学、逻辑和科学史 5项，人类学 3项。其中，政治学的11项中包括了列宁的“一党领导下的革命理论”、“一党制的苏维埃国家”，毛泽东的“农民、游击队和政府”这样三项；经济学中包括了苏联克拉申等人的“中央计划经济”；心理学中包括巴甫洛夫的“条件反射”。这表明上述所列社会科学的重大成就确实具有普遍的代表性。在这62项成就中，数学化的定量研究占 2／3 ，在1930年以后作出的重大成就中，定量研究占 5／6 ，这表明了当代社会科学向数学化、定量化方向发展的趋势。

一、数学与经济学

目前，在传统的社会科学领域中，?经济学是最成功地实现数学化的学科，成就令人瞩目。自1969年设立诺贝尔经济学奖以来，超过2/3的获奖者是由于在经济学领域运用数学方法获得重大突破而获奖的。正如现代数学大师、数理经济学家冯·诺伊曼所料，经济现象最复杂，它要用的数学理论也最高深，因为越是抽象的数学工具越适于分析实际上十分复杂的事物。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在研究和表达经济理论方面都起了重要的作用。很多数学家惊讶地发现，极其抽象的拓扑学最有用的地方竟是在经济学领域。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济预测、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代的经济学实际上已成为应用数学的一个分支。

现代数理经济学研究数学概念和数学技巧对经济，特别是对经济理论的各种应用，例如最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论。其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深入研究则是从数学的角度进行的。数理经济学是主要进行定性分析的理论经济学。它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，可以说是经济学的基础之基础。其核心内容之一是用一种规范化的方法研究瓦尔拉斯（M.E.L.Walras，1834—1910）创立的一般均衡理论，使用的数学工具主要是集合论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化的，从一套公设、假定、定义出发，导出一个严谨的公理化体系。在数理经济学中，一般经济均衡理论一直是活跃的前沿研究课题。自1969年开始颁发诺贝尔经济学奖以来，已有多位经济学家因在这一领域的建树而获奖。

数理经济学的重要成果之一是证明了只要偏好满足完全性、自反性、传递性和连续性这四条公

理，就存在表达这一偏好的效用函数，并且这样的效用函数是连续的。这一函数的存在性是美籍法裔经济学家德布勒（Garard Debreu ）于1964年最终证明的。

投入－产出分析法。在现代经济中，投入－产出分析法是研究生产单位和消费单位之间相互关系的一种方法，并可用以说明不同生产部门之间的相互关联。1936年，Wassily Leontief（列昂杰夫，1905—苏 -美）《美国经济制度中投入产出的数量关系》，创立投入 -产出分析法，用数学模型和数值方法研究经济结构，进行经济前景预测和制订经济计划。他的模型是矩阵结构的一种线性模型，在概念上非常简单而又足够精细，对实际制订计划很有帮助。1973年他因此而获诺贝尔经济学奖。

阿罗不可能性定理。我们社会中的每个人对各种事物都有自己的偏好。由于信息获取的差别和利益的矛盾，我们每个人的偏好一般不是完全一样的。因此，如何把有差别的个人偏好汇集成一个最终的社会偏好，就成为至关重要的社会选择问题了。在现代民主社会中，社会选择的方法一般有两种，即投票表决和市场机制 (货币投票) 。依据人们的常识，设Ｘ是全体备选对象构成的集合，x、y、z 是其中的元素，社会选择的方法理应满足如下条件：

公理１：完全性。对Ｘ中的任意两个备选对象 x和 y，必有 x≥y 或 y≥x ．即Ｘ中任意两个元素都是可以排序的。

公理２：传递性。对任意x、y、z∈Ｘ，x≥y，y≥z ====> x≥z.

条件１：广泛性。自由赋序。个人对备选方案的所有逻辑上可能的偏好排序都是许可的。

条件２：一致性。弱 Pareto 原则。若社会所有成员都认为一种备选方案优于另一种，那么社会即应同样如此认为。

条件３：对无关备选对象的独立性。当人们对两个备选对象进行评价时，社会根据大家对它们的态度就能决定，不必牵涉到对其他备选对象的评价。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序不应受新添候选人的影响。

条件４：非独裁性。不应使单个人的偏好总是自动地成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地不同。

上述条件似乎是那样自然而合情合理，以致人们常把它们当成社会选择方法应该满足的不言而喻的公理。但是，阿罗却证明，不存在任何一种社会选择方法能同时满足上述两条公理和四个条件。这就是著名的“阿罗不可能性定理”，亦称“独裁定理”。

经济学研究的一个核心问题是如何分配紧缺的资源，使它在既充满相互竞争、要求又无法满足的情况下能够达到目的。如何运用数学的工具来分析“什么是最佳方案”的问题，是经济学理论的一个焦点。经济学家们一直在应用数学上各种技巧探讨这个十分重要的问题。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在用数学方式来表达经济理论方面都起了重要的作用。例如，福利经济学试图在平衡条件下确定对产品与服务作最佳的分配。著名的帕累托定理规定，当至少有一个人生活得更好而没有一个人生活得更差时，这种分配就可以被认为比原来的分配更优。这里用到了对策论：在二人或二人以上的对策中，如果一个人赢，就会有另外的人输，输赢总量恰好相抵，就是“零和对策”；如果人人都赢，而没有人输，就是“非零和对策”。福利经济学就是要利用非零和对策理论。

二、数学与政治科学

（1）冲突与合作策略

各种冲突、对抗、竞争广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是: 先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于1927年，由大数学家冯·诺伊曼创立。冯·诺伊曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价。所以从

分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。

一个典型问题是1948年《美国数学月刊》提出的。甲、乙、丙三人参加一个掷镖游戏，每人各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于唯一保持气球完好的参赛者。每轮投掷中参赛者都以抽签决定掷镖顺序，然后依次投掷一支飞镖。已知甲的命中率为80％; 乙的命中率为60％; 丙的命中率为40％。每位参赛者应采用什么策略?

囚徒悖论是美国数学家 R.D. 卢斯和 H. 莱法于1952年共同提出的。他们在所著《博弈与决策》一书中指出，居于同一间牢房内的两名囚徒之间的关系可能有三种选择：一是双方都选择合作，则双方均可获得一定的赏格和好处; 二是如果一方选择合作，而另一方选择进攻，则进攻者的赏格将大大增加，而选择合作者将受到惨重的惩罚；三是双方都选择进攻，则双方都要受到惩罚。总之，在上述三种情况中，并不存在对谁特别有利的策略，也可称之为解这个问题的三条规则。它本来是从赌博、下棋之类的实际活动中提炼出来的简单道理。当它一旦形成某种理论的数学模型之后，便具有更加广阔深远的现实意义了。

设甲、乙二人为同一案件的两名罪犯，他们被隔离并被告知：如果他们都招供，可得到较轻的判处，如每人监禁 5年（5，5）；如果一人招供而另一人顽抗，前者因立功而只判 3个月监禁，后者则受到10年监禁的加倍惩罚（0.25，10）或（10，0.25）；如果二人均不招供，则由于缺乏证据只能各判处 1年监禁的轻刑（1，1）。从总体上看，如果甲乙二人能相互合作，共同顽抗，就能争取到各判一年监禁的最佳结果。但是，对于他们中的任何一人而言，无论对方是否招供，自己招供似乎都是最佳选择；而当双方都这样考虑时，他们只能获得每人监禁 5年的结果。

乙的策略

┌－－－┬－－－－┬－－－－－┐

││招供│顽抗│

甲├－－－┼－－－－┼－－－－－┤

的│招供│５，５│ 0.25，10 │

策├－－－┼－－－－┼－－－－－┤

略│顽抗│10，0.25│１，１│

└－－－┴－－－－┴－－－－－┘

（2）名额分配中的难题

在人类的社会生活中，各种分配问题极为常见，针对不同的实际情形建立合理的分配原则受到经济学家、政治学家、法学家当然还有数学家等的共同关注，而名额分配则是其中十分典型的一类，有关的实质性内容早在18世纪就开始被美国的一些政治家们认真地加以讨论了。美国宪法第一条第二款规定：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。美国现有50个州，各州的人口数量之间又没有整数倍，在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。这个理想数字可能是个分数，而各州的代表名额却必须是整数，于是就需要有一套分配代表名额的合理方法。在美国建国初期，一些著名政治家提出了各自的解决方法。财政部长汉密尔顿提出的方法是：开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为 3.62 ，它就有 3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表进众议院。1975年，《美国数学月刊》刊登了迈克尔·巴林斯基和 H. 佩顿·扬的文章“按比例分配的定额法”，其中根据汉密尔顿的按比例分配方法虚构了一个例子，揭示出按照上述看似合理的分配方法将会导致的荒谬结果。

（3）公平的选举是可能的吗?

1986年，荷兰数学家施达灵（Mike Staring）在题为“委员会选举的两个悖论”的文章中给出了如下悖论：

一个众所周知的选举程序允许每个选民拥有与委员会中有待补充的缺额同等数量的投票权。这种被普遍使用的、用以处理两次相继选举的空缺的程序，可能导致某些奇怪的现象，即“扩大委员会悖论”: 一个候选人可以被选进一个由 N个成员组成的委员会，而当这个委员会由 N＋1 个成员组成时他却未必能够当选。事实上， N人委员会与 N＋1 人委员会的成员可能毫无关系。

当委员会的一个已当选的成员在两次相继的选举期间退出了，就可能发生第二个现象。通常，在发生这样的事情时并不进行实际的选举，而是简单地指定在上一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这似乎是合理的，但是，由此将会导致“离任委员悖论”: 在有一名已当选的委员退出委员会（因此，他也不再是候选人）时指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人当选的程序，可能将产生一个这样的委员会，它与如果选民有机会再次投票而将产生的委员会毫无关系。

那么，能否设计这样一种社会选择规则，它可以应用于一切环境条件而不会产生上述那样的悖论呢? 阿罗不可能性定理指出，不论怎样精心设计，都不可能找到这种规则。换言之，当我们把一些现实的政治操作过程抽象为数学模型，并用严格的逻辑论证工具进行推演后就会发现: 一个绝对公正合理，使各方面都感到满意的政治模式是不存在的。

（4）政治系统研究

本世纪中叶以来，西方出现了许多运用系统分析方法或结构功能分析方法研究各种政治系统的论著。

数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面有着至关重要的作用，以致许多西方学者认为，寻求合理的民主控制方法、建立有效的政治协商机制本质上是一个很困难的纯数学问题。

三、数学与管理科学

在当代管理科学中，正越来越多地使用着各种数学方法，其中运筹学方法的广泛而深入的应用尤为突出。运筹学是在第二次世界大战中为进行作战研究而发展起来的一门应用科学，其中的理论和方法在战后被广泛应用于各种民用领域，成为一门主要运用数学和计算机等方法为决策优化提供理论和方法的学科。

①排队论。各种排队现象在人类社会活动中几乎随处可以遇到，有的是有形的，如商店里顾客排队等待购物；病人在医院候诊；汽车在加油站等待加油；进入机场上空的飞机等候降落。有的是无形的，如计算机网络的用户等待使用某资源；用户在家中等待电视修理工上门服务。排队论又称随机服务系统理论，起源于1909年丹麦工程师埃尔朗 (A.K.?Erlang ) 对电话系统排队问题的研究。现代排队论是通过对各种服务系统在排队等待现象中概率特性的分析，解决应配备多少服务设施才能提供令人满意的服务，同时又使服务成本最低，从而实现服务系统最优设计与最优控制的一门学科。它既是运筹学的一个重要分支，也是应用概率十分活跃的一个分支。

②数学规划。数学规划是研究在变量 x＝（x1，x2，…，x n）受到某些条件约束时，如何求出一个ｘ*，使某个（或几个）给定的函数在ｘ*处取极小（或极大）值的一门学科。在生产实际和现代管理中，许多问题可以转化为数学规划问题来处理，一般是要在有限的资源（人力、物力、财力）约束条件下，求出使目标达到极值 (例如利润最大、成本最小等) 的资源分配方案。根据问题的性质以及处理方法的不同，数学规划又分为许多不同的分支，例如线性规划、非线性规划、整数规划、组合规划（组合最优化）、参数规划、随机规划、动态规划、多目标规划、几何规划、分数规划、半无限规划、模糊规划等。线性规划最早是苏联数学家康托洛维奇于1939年提出的。

③库存论 (存贮论) 。储备一批物品 (或商品) 以供未来使用或销售，这在工业生产、商业管理和军事作战等领域中都是普遍存在的现象。工厂原料或零备件的短缺会造成停产；武器储备不足将导致战斗失利;?商店缺少某种商品不仅要损失营业额，还可能因此而损害声誉，失去更多潜在的顾客；医院缺少药品，医生将无法治病，由此带来的信誉损失可能更为严重；等等。总之，为了保

障各类系统的正常运行，储备一批必要的物资，不断补充库存是必须考虑的问题。一般来说，并非库存的物品越多就越好，因为保持不必要的过高库存量不仅会占用大量的流动资金，还要增加库存管理费用。而且，由于保存物资过多造成物资库存时间延长也会使被保存物资失效和变质，从而造成损失。因此，以研究合理的库存量，何时补充库存以及补充多少数量等为主要内容的科学的存贮管理和存贮方针就应运而生，这就是库存论。

④决策分析。在现代管理中，决策占有重要地位。决策分析的作用是为复杂的和结果不确定的决策问题提供旨在改善决策过程的、合乎逻辑的、系统的分析方法，为决策者提供最有效的或满意的决策及其可能结果的分析，供作决策时参考。例如投资方向与规模；股票；工程上马；政策实施 (如人口，教育，科技) ；治疗方案；外交姿态；军事行动等。

除运筹学外，管理科学中应用的数学方法还有很多，例如，图论中的有向图理论可以用来解决复杂的调度问题。

推销员问题（货郎担问题）。中国邮递员问题。

四、数学与保险学

保险数学是研究有关保险制度和保险经营管理的数理技术的一门应用数学，是把数学模型成功地应用于人类社会生活的一个情形。早在文艺复兴时期，欧洲一些保险学者就开始尝试用数学方法研究保险问题了。19世纪以来，以生命表与利率计算为中心，确立了人寿保险（简称寿险，亦称生命保险）的古典模型，推动了保险数学的发展。

保险学中要考虑的许多基本问题都需要运用数学方法得到解答，例如，对各种风险的估计，不仅涉及实际的统计资料，还需要运用一整套相应的数学计算方法；此外，如果投保人面临以一定概率分布的财产损失的危险，他最多愿意出多少钱来购买保险，从而避免财产的较大程度的损失? 这个问题不论对投保人还是对保险公司都是十分重要的，而其解答当然需要合理的数学计算。

保险的理赔支付是否正确，对保险经营有重大影响。给付太少会使业务增长遭受影响，给付太多会使保费收入不胜负荷，太多与太少皆非所宜。正确的理赔只能以合理的计算为基础，而合理的计算又必须以数学上所认定的风险稳定性定理为基础。

五、数学与历史科学

1．在历史科学中使用数学方法的必要性与优越性

①数学方法的运用正在极大地影响着历史学家观察问题的角度、思考问题的方式以及运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向、内容和着眼点。因此，数学方法的运用为历史研究开辟了许多过去不为人重视或不曾很好利用的历史资料新领域。②数学方法的运用使历史学趋于严谨、精确。它不仅使研究课题、基本论点、论证过程以及研究结果的表述更加清晰、准确，而且对于研究结果的检验也有重要意义。③然而，运用数学方法最重要的意义看来在于，它有可能解决使用习惯的、传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。数学方法的运用使历史学研究的对象从传统的以个人为中心的政治史向以大众和过程为主体的总体史或综合史的转移成为可能，并开辟了史学研究的新领域。

2．在历史研究中使用数学方法的基本步骤和方式。

①筛选研究对象，准确地确定研究目的。②力求运用使研究对象能转化为数量形式的方式来表述将要研究的课题。③提出明确的针对该课题的工作假设。④收集对于回答具体提出的问题以及对于验证已提出的假设所必需的材料。⑤运用所收集到的材料验证已提出的假设。若材料推翻了有关假设，对问题的研究便到此为止。若不愿停止，可以提出其他解释，然后收集相应的材料并重新验证假设。

3．历史科学中数量化方法的特点。

①使用电子计算机：系统地收集与利用史料，并进行统计分析，从而可以处理大量情报资料和

分析多变量现象。②统计分析。③构造数学模型。

以统计学为主要基础并在不断发展的计量史学至少已有一个世纪的历史了。

在第一阶段，历史研究只与统计学有初步的接触，占统治地位的是用统计方法处理新发现的材料，最初主要是由于经济史的发展。经济史如果不是要成为奇闻轶事的汇编，就必须研究大量现象（通过利用以前未研究过的原始资料），而那就需要计量方法。这种方法首先被应用于物价（结果不甚显著）和人口统计资料（其结果在科学上引起较大兴趣）。从19世纪中叶起，欧洲各国至少有数十位历史学家把注意力集中在统计研究和数字资料的解释上面。19世纪末还出现了越来越多的关于统计学和历史研究之间关系的研究，历史统计学的概念也在那个时期产生。当时许多历史学家担忧历史学会因此而丧失个性，他们尚未充分认识到，定量研究的结果只有通过定性分析才能融成一幅历史进程的图画。这种定性分析根据的是一种有着广阔视野的、经过充分验证的社会发展理论。

计量史学第二个发展阶段的特点是多方面的进展，主要是为定量分析找到了理论基础（尤其是在政治经济领域），通过扩大相关计算扩大这种分析的范围，并且尝试性地把数值研究结果运用于没有大量出现的集合事实，甚至个别事件的发生性解释与因果性解释，即努力为社会和政治历史，以及为传统上作定性分析的历史学科的其他分支打下定量基础。这一阶段为历史研究中的定量分析提供了合法地位，但仍未能提出定性研究与定量研究的令人满意的联系。然而它促进了关于统计资料考证的发展，并使各种资料的区别成为可能（并且结果产生了许多有价值的出版物，诸如松德关税登记簿）。

第二次世界大战末，计量史学进入第三阶段，即综合阶段。定量研究的理论基础由于各学科之间，尤其是历史学、经济学和社会学之间的不断合作而得到改善。对于在历史学中运用精确度量的必要性的认识变得很普通，这显然并非意味着大规模地越出了平均数、相对数等的基本计算之外，尽管越来越广泛地运用各种相关度量，回归系数，集中度量，趋势计算，以及数理统计原理（代表抽样，显著性检定等）。在这一阶段，由于使用定量分析方法开发新的原始资料，在许多方面突破了传统的历史研究的局限。

在今天，尽管不少历史学家对于运用数学方法的前景仍感困惑，但是大部分历史学家争论的问题已不是“是否有必要运用数学”，而是“应该在什么方面以及怎样更好地运用数学”。

六、数学与语言学

从19世纪中叶开始，许多数学家和语言学家进行了用数学方法研究语言学问题的实践，获得了许多重要结果。本世纪中叶电子计算机刚刚发明，人们就开始了用计算机进行机器翻译的尝试，从而需要对构词法和句法进行分析研究，数学方法的引入，极大地推动了这些研究向精确化、算法化的方向发展。此后，对计算机高级程序语言的研究，对语音的自动合成与分析的研究，以及文字识别计算的进展，都大大促进了数学和语言学的结合，形成了一门新兴学科─数理语言学。

数理语言学用数学方法研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述，既研究自然语言，也研究各种人工语言 (如计算机语言) ，包括三个主要分支: ①统计语言学，或称计量语言学，主要工作是应用统计程序来处理语言资料，如统计语言单位（音素、字母或词汇项）的出现频率；研究作者的文体风格（计算风格学）；在比较语言学中采用数学公式，衡量各种语言的相关程度；在历史语言学中确定不同时期语言发展的特征；从信息论观点分析语言信息的传输过程，等等。②代数语言学，或称形式语言学，对传统的语言学概念进行严格的逻辑分析，借助数学和逻辑学方法提出精确的语言模型，运用形式模型对语言进行理论上的分析和描写，把语言学（或它的某个方面）改造成为现代科学的演绎系统，使之适于用计算机处理。③算法语言学，它把语言看作由一系列层次组成，各层次本身都有一定的结构形式，各层次之间都有一定的对应关系。它把底层（如音位，词序，形式语句）结构作为一种抽象的符号系统来处理，通常采用图论中的树形图作为分析表达工具，以便从表面的语言现象中挖掘出它的潜在本质，以解决一些形式语言学难以解决的问题。数理语言学中

使用了概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、信息论方法、公理化方法、数学模型方法、模糊数学方法等一系列数学理论与方法，取得了许多出人意料而又令人叹服的研究结果。

计算风格学的一些应用：《红楼梦》研究。萧洛霍夫《静静的顿河》。谁是“联邦主义者”？莎士比亚研究。

七、数学与军事科学

军事运筹学是应用各种数学方法来描述与分析军事作战及有关行动，寻求最优决策的一门学科。早期的运筹学研究就是从解决军事问题开始的。1914年，英国工程师 F.W. 兰彻斯特 (Lanchester) 发表了关头古代冷兵器战斗和近代枪炮战斗数学模型的论文，第一次用微分方程分析数量优势与战斗胜负的关系，定量地论证了集中兵力原则的正确性。他所建立的战斗损耗方程被称为兰彻斯特方程，一直受到军事理论家的重视和研究。第一次世界大战期间，人们初步尝试了概率统计方法在军事问题中的运用。二次大战期间，军事运筹学正式建立，最初主要研究火力运用理论和目标搜索理论，其奠基性著作是战后出版的、美国物理学家、数学家 P.M.?莫尔斯 (Morse ) 和 G.E. 金博尔(Kimball ) 的《运筹学方法》 (1951）。在当代，军事运筹学主要研究以下四类问题: 军队日常管理；作战指挥运筹；武器装备发展；国防战略决策。这些问题的重要性都是不言而喻的，而数学在其中发挥的作用也远远超过了第二次世界大战时的水平，常常是至关重要的。在当代，由于电子计算机的问世及迅速发展，数学理论与方法在军事运筹与决策中的作用越来越明显，军事运筹中数量化、精密化的程度也越来越高。在1991年的海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间，正是由于他们运用了运筹学和最优化理论。目前，数学理论与方法在军事运筹中已有多方面的应用，结合电子计算机和其他现代科学技术，分析与描述客观系统，以解决各种复杂问题。它们的产生、发展和运用标志着军事运筹从传统的经验与定性的阶段上升到现代科学分析论证与定量计算的阶段。例如:

统计分析方法。任何军事行动都蕴含着反映其发展变化过程的内在数据，将它们收集起来，去伪存真，加以分析，往往能从中获得有益的信息。统计分析方法就是借助数字、概算、图表等形式，对军事现象中的数量、质量的关系进行全面系统的分析研究；收集积累的各种数据，力求客观准确，从而得出符合实际的结论。早在第二次世界大战期间，这种方法已获得了广泛而有效的应用。

概率方法。战争中充满了偶然性，从一两件事情上我们也许不能看出什么。例如用导弹攻击舰艇，如果只打一发，结果只有击中与击不中两种。经过成百上千次发射实验，就会发现其中有某种规律，即在某种条件下使用某种导弹，其命中率是基本稳定的。指挥官掌握了其中的规律，可以用来指导作战行动。

数学规划方法。用数学规划方法处理问题，其目的一般是要在有限的资源 (人力、物力、财力) 约束条件下，求出使目标达到极值 (例如利润最大、成本最小等) 的资源分配方案。数学规划中最突出的领域是线性规划。在战争中，战斗队形的合理展开，供应和后勤的及时提供，军事设施与装备的完整配套等问题都可以使用线性规划方法求解。在第二次世界大战中，美国和苏联军队都在实战中应用过有关方法和结果。

对策分析方法。对策论是用数学理论研究有利害冲突的局中人在竞争中如何选择最优策略的运筹学分支。在军事行动中，普遍存在着具有对抗性质的对策现象。其显著特点之一就是对抗双方都千方百计地隐蔽自己的真实意图，一般来说，双方都需要在对对手行动策略一无所知的情况下确定自己的策略。对策分析恰好适应这种要求，从数量上分析各种可能的对策结局，选取最合理的行动方案，做到两利相权从其重，两害相衡从其轻，从而以最小代价夺取整体上的胜利。基本方法是: 先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，必要时编制计算机程序。早在春秋战国时代，我国古代兵书与实战中就开始运用对策思想。而使用数学工具对对策行为进行全面深入的科学分析则是在第二次世界大战中才实现的。

计算机作战模拟。现代军事科学研究中广泛应用了数学中的蒙特卡罗方法，例如，用蒙特卡罗

方法可以建立战斗的概率模型，从而可以在实战前对作战双方的军事实力、政治、经济、地理、气象等因素进行模拟，但这些因素可能随时发生变化，如果在计算机上进行“战斗”模拟，计算机就可以在很短时间内把一个很长的战斗过程模拟下来，告诉我们可能的结果。这样，军事指挥人员就可以进行成千上万次的战斗模拟，从中选择对自己一方最有利又最稳妥的作战方案，赢得战争的胜利。这相当于用计算机进行大规模的军事演习。现在世界上已有不少国家采用这种模拟方法，并在实际战役中取得了成功。

将战术的基本规律抽象出来，用数学方法演绎出一套理论和战术原则，形成了数理战术学。它运用数学方法对作战过程中最本质的内容作抽象的描述与处理，例如将双方指挥员看作“理智的”即都为实现各自的最大利益而努力，将作战目的抽象为目标函数，将交战和伤亡过程用微分方程、差分方程和随机过程的方式加以描述，从而建立起公理化的数学模型，并在此基础上进行科学演绎。

主要参考文献

（美）M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004

（美）K.C.Cole，《数学与头脑相遇的地方》，丘宏义译，长春出版社，2004

张祖贵，《数学与人类文化发展》，广东教育出版社，1995

齐民友，《数学与文化》，湖南教育出版社，1991

齐民友，《世纪之交话数学》，进入21世纪的科学技术丛书，湖北教育出版社，2000

胡作玄，《数学与社会》，湖南教育出版社，1991

丁石孙，张祖贵，《数学与教育》，《数学·我们·数学》丛书，湖南教育出版社，1998

刘兼主编，《21世纪中国数学教育展望》（第二辑），北京师范大学出版社，1995（中篇第5节数学与现代社会）

教育部基础教育司组织，数学课程标准研制组编写，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》，北京师范大学出版社，2002，2003（第一章社会发展与数学课程改革）（美）P.Hoffman，《阿基米德的报复》，尘土等译，中国对外翻译出版公司，1994

（美）丹尼尔·贝尔，《当代西方社会科学》，范岱年、裘辉、彭家礼、易克信译，社会科学文献出版社，1988

（英）理查德·斯通，《社会科学中的数学和其他论文》，楼克明等译，首都经济贸易大学出版社，2000年

史树中，《数学与金融》，上海教育出版社，2006

史树中，《诺贝尔经济学奖与数学》，清华大学出版社，2002

何其祥编著，《投入产出分析》，科学出版社，1999

（美）K.阿罗，《社会选择：个性与多准则》，钱晓敏、孟岳良译，首都经济贸易大学出版社，2000

（美）J.M.布坎南、G.塔洛克，《同意的计算——立宪民主的逻辑基础》，陈光金译，中国社会科学出版社，2000

（美）F.卢卡斯主编，《政治及有关模型》，王国秋、刘德铭译，国防科技大学出版社，1996 （美）莫顿·A·卡普兰，《国际政治的系统和过程》，薄智跃译，中国人民公安大学出版社，1989 盛立人编著，《生活中的数学——管理必读》，中国科学技术大学出版社，1999

盛立人、胡卫群、肖箭、杨明辉、蒋华松编著，《社会科学中的数学》，科学出版社，2006 王晓军等编著，《保险精算学》，中国人民大学出版社，1995

（苏）米罗诺夫、斯捷潘诺夫，《历史学家与数学》，黄立弗、夏安平、苏戎安译，华夏出版社，1990

（英）罗德里克·弗拉德，《计量史学方法导论》，王小宽译，上海译文出版社，1991

冯志伟，《数学与语言》，湖南教育出版社，1991

（美）莫尔斯、金博尔，《运筹学方法》，吴沧浦译, 科学出版社，1988 张最良等，《军事运筹学》，军事科学出版社，1993