第二讲：绝对值与有理数的混合运算
第二讲：绝对值与有理数的加减
一、绝对值专题训练
11
例1 计算（1）-3+-5 （2）1- - （3）- 1.25 - -0.5
23
例 2、比较7和6的大小．
87
例 3、已知｜x｜＝ 5，求x的值。
拓展训练：（1）｜x－3|＝5，求 x 的值.
（2）如果有理数 a，b满足｜a｜=5,｜b｜=4且a 例 4．（数形结合思想）已知 a 、b、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（） A ． -3a B． 2c －a C．2a－2b D ． b 例5．已知：x 0 z ，xy 0 ，且y z x ，那么x z y z x y 的值 （ C ） A ．是正数B．是负数C．是零 D ．不能确定符号 例6．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数 的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原 点同侧呢？ 解：设甲数为 x，乙数为 y 。由题意得：x 3 y ， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若 x 在原点左侧， y在原点右侧，即 x<0 ， y>0 ，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即 x>0 ， y<0 ，则 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若 x、y 在原点左侧，即 x<0 ，y<0 ，则 -2y=8 ，所以 y=-4,x=-12 若 x、y 在原点右侧，即 x>0 ，y>0 ，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12 例7．（整体的思想）方程x 2008 2008 x 的解的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个 D ．无穷多个 3、 已知 a 5，b 3，求 a b 的值。 4、已知： a 和 b 互为相反数， m 、 n 互为倒数， c=－［－（＋ 2）］。求 2a ＋2b ＋ mn 的值。 c 规范解答题步骤： 若｜ x ｜=3，｜ y ｜ =2 ，且｜ x-y ｜=y-x ，求 x+y 的值． 解 因为｜ x-y ｜≥ 0，所以 y-x ≥0，y ≥x ．由｜x ｜=3，｜y ｜=2 可知， x<0，即 x=-3． （1）当 y=2 时， x+y=-1 ； （2）当 y=-2 时， x+y=-5 ． 例 8．（非负性）已知 |ab － 2|与 |a － 1|互为相互数，试求下式的值． 1 ab a1b1 1 a 2007 b 2007 课后训练（家庭作业） 1、比较下列每对数的大小： 32 （1）|3 |与| 2 2）－｜－ 7｜和－（－ 7） 4)| —(— 3)|与— |—3|； 5 6)— 5 与 8 7 11 2、已知 a 与 2b 互为倒数， c 与 d 互为相反数， x 3 ，求式子 2ab c d x 值。 2 99 所以 x+y 的值为 -1 或 -5． 、有理数的运算 知识点一：有理数的运算法则 例 1 、直接写出结果： 1 （1）－ 1÷3× = 3 2 （3）－ 2×2－3（× -1）2 = 例 2 、能简便的用简便算法计算 . （1）－12＋11－8＋39－52 1 1 3 5 （3）（ 1 1 3 5 ）×（-24） 2 6 8 12 （5） 3 7 3 6 变式训练 变式 1、下列说法错误的是（ ） A.a 一 定不小于 0. 2 C.若 a>0，则 a =a. D.若 a =4，则 a=2 变式 2、下列式子的值与（-3- 2） 相等的是（ ） 5 5 5 A （. -3）5 （-2）5 B.-6 5 55 C （. -1）5 D （. -5）5 变式 3、.设 y （= x 2）2 ＋5，当y 取最小值时， x y 的值是（ ） A.10 B. －10 C.20 D. －20 2) 23 ( 8) 8 2 (4)(1－ 22 ) 2）1 － 1111 ＋－＋ 2－ 3456 （4） ( 1 1 1) 1 4 5 3 60 (6) 51 1 1 3 1 (1 1) 3 (1 1 ) 2 3 2 11 4 B. － a 有可能是负数 知识点二： 分数的拆分 把一项拆成两项的和或积， 使得算式可以消去某些项， 使运算简捷。 利 用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第 一 类 ： 1 1 1 或 1 1 1 1 n n 1 n n 1 n n m m n n m m 1 1 n n m n n m 1 1 1 1 m n 1 1 第二类： 或 m n m n m n m n m n 第三类： 2 1 1 n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 典型例题 1 1 1 1 2) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2006 2007 3) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 4) 探究并计算： 1 1 1 1 1， 1 11 1 ， 12 2 23 2 3 34 34 将 以上 个 等 式 两 边分别相 1 1 1 1 1 111 1 1 ． 12 2 3 3 4 22 3 3 4 44 1、观察下列等式 加得： 13 1）猜想并写出： 1 n(n 1) 1 24 1 1 1 4 6 6 8 2006 2008 课后训练(家庭作业) 1 ．丁丁做了以下 4 道计算题 : ①( 1)2004 2004; ② 0 ( 1) 1;③ 1 1 1;④ 1 ( 1 ) 1. 2 3 6 2 2 请你帮他检查一下 , 他 一共做对了 ( ) (A) 1 题 (B) 2 题 (C) 3 题 (D) 4 题 2 ．三个数 (1) ( 0.3)2 (2) ( 0.3)3 (3) A . (1)> (3)> (2) B. (1)> (2)> (3) C . (3)> (2)> (1) D. (3)> (1)> (2) 3. 计算 正负数、数轴、相反数、绝对值练习题 1. _________________________ 若 x （ 5），则 x ____ . －3与 3之间的整数有 __________________________ 2、绝对值小于 4 且不小于 2 的整数是 ____________________ . 如果 a=— 2，则| — a|= _________________________ ,|a|= _________________ 3. 已知｜ａ｜＝ 3, ｜b ｜＝ 5,且ａ＜ｂ ,则 a ＋b 等于 ( 0.3)4 的大小顺序是 ( ) 1) 2 ( 3) 2 5 1 2. 2 2) 13 (1 0.5) 3 1 ( 4). 3) 54 32 (1 1 ) 1 32 4)-14 -(1-0.5) ×1 ×〔2-(-3) 2 〕 (5) 32 50 ( 5)2 1; (6) 7) 2 3 3 5 8 2 4 (8) 1 2 3 4 5 6 ?+99-100 4.与原点距离为 2 个单位的点有个，它们分别为。 5.绝对值小于 3 的整数有在数轴上表示的数 a 的点到原点的距离为 2 ，则a+|-a|= 。 6.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是（） 7._______________________________________ 在数轴上，表示与2的点距离为3的数是_____________________________________ 。 8._____________________________ 如果－ x=－（－ 12），那么 x= x 7 ，则x _______________________ 9.一只蚂蚁在数轴上从原点Ｏ出发，先沿正方向爬行 3 个单位，再回头向左爬行 5 个单位，这时蚂蚁所在的点表示的数是＿＿＿＿＿ . 10.一个数的相反数的绝对值为 8，则这个数为（） 11.____________________________ a+5 与— 1 互为相反数，则 a= 16. 数轴上一点到原点距离为 10，那么这点所表示 的数是 12.一个数的相反数的绝对值为 6，则这个数为（） 13.________________________ 若 X的相反数是— 5，则 X= _______ ;若— X的相反数是— 3.7，则 X= __________ 14.绝对值大于或等于 1，而小于 4 的所有的正整数的和是（）;比－ 7.1 大，而比1 小的整数是（） 15.找规律填数： 1、4、 9、、25、 36、。 16.5的倒数的绝对值是 3 51 17．把数5，2.5，，0，3 用“ ”号从小到大连起来： 22 18.下列说法中正确的是. A. a 是正数 B. a 不是负数 C.- a 是负数 D.-a 不是正数 19.若 a+b=0，则有理数 a、b一定（） A. 都是 0 B. 至少有一个是 0 C. 两数异号 D. 互为相反数 20.一个数的相反数大于它本身，这个数是（） Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．０Ｄ．非负数 21.下列语句：①，一个数的绝对值一定是正数；② ，— a 一定是一个负数； ③，没有绝对 值为— 3 的数；④，若a =a, 则 a 是一个正数；⑤，离原点左边越远的数就越小。正确 的有（）个。 A 、 0 B 、3 C 、2 D 、 4 22.下列说法错误的是：（） A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴； B、所有有理数都可以用数轴上的点表示； C、数轴上的原点表示数 0； D、数轴上表示— 3.33 的点在表示— 3 的点的左边。 23.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3个单位长度，再向左移动 7 个单位长度，这 时点所对应的数是——————（） A.-3 B.-1 C.-2 D.-4 24.一个数是 7, 另一个数比它的相反数大 3. 则这两个数的和是（） A － 3 B 3 C － 10 D 11 有理数的混合运算经典例题 例1 计算：． 分析：此算式以加、减分段, 应分为三段： , , ．这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－0.2化为 参加计算较为方便． 解：原式 说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率． 例2 计算：． 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法． 解：原式 说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题． 例3 计算： 分析：要求、、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须 另辟途径．观察题目发现，，，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出． 解：原式 说明：“0”乘以任何数等于0．因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算．当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0法”． 例4 计算 分析：是的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值． 解：原式 说明：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算；(2)要熟练掌握乘方运算，注意(-0.1)3，-0.22，(-2)3，-32在意义上的不同． 例5 计算：． 分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算． 解：原式 例6 计算 解法一：原式 解法二：原式 说明：加减混合运算时，带分数可以化为假分数，也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和. 例如： ★理数的混合运苏 一、素质教育目标（一）知识教学点 能按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、减、乘.除.乘方的混合运算. （二）能力训练点 培养学生的观察能力和运算能力. （三）德育渗透点 培养学生在计算前认真审题，确定运算顺序，计算中按步骤审慎进行，最后要验算的好的习惯? （四）美育渗透点 通过本节课的学习，学生会认识到小学算术里的四则混合运算顺序同样适用于有理数系，学生会感受到知识的普适性美. 二、学法引导 1.教学方法：尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线. 2.学生学法: 三、重点、难点.疑点及解决办法重点和难点是如何按有理数的 运算顺序，正确而合理地进行有 理数混合计算? 四、课时安排 1课时 五、教具学臂生_____________________ 投影仪、自制胶片. 六、师生互动活动设计教师用投影出示练习题，学生用多种形 式完成. 七、教学步骤 （一）复习提问（岀示投影1） 1.有理数的运算顺序是什么？ 2.计算：（口答） ①，②，③，④，⑤，⑥. 【教法说明】2题都是学生运算中容易出错的题目，学生口答 后，如果答对，追问为什么？如果不对，先让他自己找错误原因，若找不出来，让其他同学纠正，使学生真正明0发生错误的原因，从而达到培养运算能力的目的? （二）讲授新课 师生共同分析：观察题目中有乘法.除法.减法运算，还有小扌舌号. 思考：首先计算小括号里的减法，然后再按照从左到右的顺序 进行乘除运算，这样运算的步骤基木清楚了?带分数进行乘除运算时, 必须化成假分数? 动笔：按思考的步骤进行计算，在计算时不要“跳步”太多, 最后再检查这个计算结果是否正确. 一个学生板演，其他学生做在练习本上，教师巡回指导，然后 有理数混合运算的方法技巧及练习题 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例：计算：3＋50÷22 ×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例：计算：()[] 232315.011--??????????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例：计算：???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． 把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 有理数的混合运算 (一)填空 4．23-17-(+23)=______． 5．-7-9+(-13)=______． 6．-11+|12-(39-8)|=______． 7．-9-|5-(9-45)|=______． 8．-5.6+4.7-|-3.8-3.8｜=______． 9．-|-0.2|+[0.6-(0.8-5.4)]=______． 12．9.53-8-(2-|-11.64+1.53-1.36|)=______． 13．73.17-(812.03-|219.83+518|)=______． 36．38×(-7)+5[(-2)3(-32)-(-22)]-38×339÷(-3)38=______．48．(-2)×{(-3)×[(-5)+2×(0.3-0.3)÷83-3]+4}=______．112．413-74-(-5+26)． 116．-84-(16-3)+7． 118．-0.182+3.105-(0.318-6.065)． 119．-2.9+[1.7-(7+3.7-2.1)]． 121．34.23-[194.6-(5.77-5.4)]． 125．23.6+[3.9-(17.8-4.8+15.4)]． 134．(-3)2÷2.5． 135．(-2.52)×(-4)． 136．(-32)÷(-2)2． 173．(-1)2×5+(-1)×52-12×5+(-1×5)2． 174．(-2)(-3)(-36)+(-1)20×63． 178．(-32)÷(3×2)×(-3-2)． 180．3×(-2)2+(-2×3)2+(-2+3)2． 188．2+42×(-8)×16÷32． 190．[5.78+3.51-(0.7)2]÷(0.2)3×11． 191．(1.25)4÷(0.125)4×0.0036-(0.6)2． 194．(-42×26+132×2)÷(-3)7×(-3)5． 195．(3-9)4×23×(-0.125)2． 201．741×[(-30)2-(-402)]3÷(1250)2． 211．[(-5)3+3.4×2-2×4+53]2． 213．(24-5.1×3-3×5+33)2． 234．(-5)×(-3)×(-4)2+(-2)3×(-8)×(-3)-(-12)×3÷24．240．-18-23×[(-4)3÷(-43)+0.2×8+(-3)2÷(-32)]． (四)用符号“＞”，“＜”，“≥”，“≤”，“=”之一填空 241．当两个数和的绝对值______这两个数差的绝对值时，这两个数同号． 242．一个正数与一个负数差的绝对值______这两个数绝对值的和．243．一个正数与一个负数和的绝对值______这两个数绝对值的差．244．一个正数与一个负数差的绝对值______这两个数绝对值的差．245．一个正数与一个负数和的绝对值______这两个数绝对值的和． 246．当两个数和的绝对值______这两个数差的绝对值时，这两个数异号． 247．当两数和的绝对值______这两个数差的绝对值时，这两个数至少有一个是零． 248．当两数和的绝对值______这两个数的绝对值之和时，这两个数可以是任意的有理数． 有理数混合运算的方法技巧 一、有理数混合运算的原则 有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此， 必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算. 二、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运 算顺序是正确解题的关键 例1：3＋50÷22×(51-)－1 解：原式=3＋50÷4×(5 1-)－1············(先算乘方) =15141503-??? ? ??-??+ ···············(化除为乘) = 2 1125315141503-=--=-??-···(先定 符号，再算绝对值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算： ()[]232315.011--??????????? ? ??-- 解原式[]926111-??????????? ??--=[]926111-??????????? ? ?--=()()677617651-=-?=-????? ??- 也可这样来算：解原式==()926111-????? ??+-=()67 761-=-?。 ③从左向右：同级???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431运 算，按照从左至右的顺序进行； 有理数混合运算典型例题讲解 例1.计算= 分析：－1的奇次方为－1，－1的偶次方则为它的相反数1；0的任何次方都为0。 解：原式=1+（－1）+1+0=1 例2.若规定一种运算“*”：，如，， 那么的值等于 解： 例3.根据二十四点算法，现有四个数3，4，－6，10，每个数用且只用一次进行加减乘除，使其结果等于24，则列式为 解：（答案不唯一） 例4.计算① ② 分析：先确定符号。 ①小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。 ②小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。 解：①原式= ②原式= 例5.① ② 分析：利用分配律进行计算。②小题把化为再利用分配律进行计算。 解：①原式= ②原式= 例6.计算：① ② ③ 分析：③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。 解：①原式=－1+0+6.5=5.5 ②原式= ③原式= 例7.计算① ② 分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。 ①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。 解：①原式= = = = = 或：原式= = = = ②原式= = = 例8.计算①② ③④ 分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。 解：①原式= ②原式= ③原式= ④原式= 例9.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求 值。 解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2. 所以= 当x=2时，原式==4－2－1=1； 当x=－2时，原式==4－（－2）－1=5。 例10.半径是10cm，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm，30cm和20cm 的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少?（取3，容器厚度不算）解：水桶内水的体积为×102×30，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为： （×102×30－2××32×6） ∴长方体容器内水的高度为： （×102×30－2××32×6）÷（40×30） =（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm 答：长方体容器内水的高度大约是7cm。 有理数的运算中考考点例析 “有理数的运算”是初中数学知识领域中极为重要的基础知识之一，为使同学们能完整地了解和掌握有理数运算的相关知识，现以07年浙江省各县市的中考试题为例将本章中的有关考点分类解析如下。 考点一：有理数的加减运算 例1．（义乌）计算12 -+的结果是（）。 A、1 B、-1 C、-2 D、2 解析：本题是绝对值不相等的异号两数相加，根据有理数加法法则可知和应该取“+”号，所以-+=+-=，故本题应选A。 12(21)1 评注：本题主要是对有理数加法意义的考查，当然，如果采用加法交换律，本题也可以利用减法来解决——12211 -+=-=。 考点二：有理数的乘法运算 例2．（金华）计算(2)3 -?所得结果正确的是（） A、5 B、6 C、-5 D、-6 解析：本题是异号两数相乘，根据有理数乘法法则可知积应该取“-”号，所以(2)3(23)6 -?=-?=-，本题应选D。 评注：本例主要是对有理数乘法意义的考查。与前面有理数的加减运算一样，解决有理数的运算问题，合理掌握相关的运算法则和运算律是关键。 考点三：科学记数法、近似数的表示 例3．（衢江区）2006年，衢江区深入实施“811”环境污染整治行动，沈家经济开发区的49家化工企业中已关停33家，每年排放的污水减少了167900吨. 将167900吨用科学记数法（保留三个有效数字）表示的结果为吨。 解析：本题涉及两个知识点——⑴科学计数法（任何一个有理数M都可以写成10n a）的形式， a?（1<10 其中n为M的整数位数减1）；⑵有效数字（将一个数四舍五入后从左边第一个不为零的数字起到末位数字为止的所有数字叫做这个数的有效数字）。根据以上两个知识点可知167900这个数用科学计数法应表示为5 ?。 1.6810 评注：对科学记数法及近似数表示方法的考查是历年中考的必考内容，学习时应重点加以关注。 考点四：有理数在现实生活中的应用 例4．（湖州）甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值为（）。 A、3 B、5 C、3或5 D、3≤d≤5 解析：本题为现实生活中的距离计算问题，可利用有理数的加减运算来解决，方法如下——将甲地、 有理数混合运算的方法技巧 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[] 232315.011--??????????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． 把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 例2计算：-0.252÷(－12 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2 说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。 三、掌握运算技巧 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 解：原式=1+ (- 1) +1+0=1 例2?若规定一种运算 *”： a*b = a + a <> , 如 5T 亍=別，4T = 4 + 4—犹， 那么㈠）“ 3的值等于 解：(［一 1 J ' 1 "' 例3?根据二十四点算法，现有四个数 3, 4, - 6, 10,每个数用且只用一次进行加减乘除, 使其结果等于24,则列式为 ___________________________________ 解：珂4 + （-亦10］（答案不唯一） (-丄)％ (- (-了) 例4?计算① ■ - 4 3 (-3.25) X( + —)x (-—) ② - 分析：先确定符号。 例5?① L 9—K15 ②… 9— ia- — 分析：利用分配律进行计算。 ②小题把 < 化为 丄再利用分配律进行计算。 丄丄丄） 3 5 ■/ =35 十 21 十 15 =71 (ID -_L)xl5 = 150 - —= 1.49 A ②原式=1： - ① 小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算 ② 小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。 1 1 —a X — 11 9 —x7 77 的值。 解：①原式= ②原式=■ - （-105）（- 解：①原式= - -㈣(气)-105 (.*)-105 -132 - C+132)+0^(-28-)-lx(-6.5) 例6?计算：①' - |- 9|-3x(4 7-2.7| ②i —… (-24% 十) ③r 分析：③ 小题可以直接计算，也可以把’写成24+，后利用分配律进行计算。 解：①原式=—1+0+= 9一3邛| 9-3x2 9-6 3 t _ = =—=.[ ②原式=-'I : 2A — ^6 =(24 + _) x —= 24 x — + —x—= 4-1- —= 4 — ③原式= 例7?计算①…/ -- 分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。 ①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。 4 石工(一2) _ — x (- 2) - (3 —- 2 -) K 2 解：①原式=- 一空十7_(3丄不2_21讥) = 二 - - 26 -作1< -一+ 7 - (7 -—) = - - X (14) -一-I- 7 - 7 + — =- 」 12 川 - __ ——<4 = - (41-31)X(-2)+(31-21)X C-2) 或：原式= (4--3 丄?丄一21) X (-2) = (4—2—) —3—4-3—x (-2) _ 3 3 2 2 _2x(-2)= -4 有理数混合运算典型习题 一．会用三个概念的性质 1. 如果a, b 互为相反数，那么a+b=0, a=-b 2. 如果c, d 互为倒数， 那么cd=1, c=1/d 3. 如果︱x ︱=a, 那么x=a 或 x=-a 二．运算技巧 1. 归类组合；讲不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合，将同类数（如正数或负数）归类计算 2. 凑整； 将相加可得整数的数凑整，讲相加得零的数（如互为相反数）相消 3. 分解； 将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式 4. 约简； 将互为倒数的数或有倍数的数约简 5. 倒序相加； 利用运算律，改算运算顺序，简化计算 例 计算2+4+6+ (2000) 6. 正逆用运算律； 正难则反，逆用运算定律以简化计算。如a(b+c)=ab+ac. 反之 ab+ac=a(b+c) 三． 思想方法：转化 1. 通过绝对值将加法，乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术的加法，乘法 2. 通过相反数和倒数分别将减法，除法转化为加法，乘法 3. 通过将乘方运算转化为积的形式 有理数加、减、乘、除、乘方测试（一） 一．选择题 1. 计算3 (25)-?=（ ） A.1000 B.－1000 C.30 D.－30 2. 计算2 2 23(23)-?--?=( ) A.0 B.－54 C.－72 D.－18 3. 计算11(5)()555 ?-÷-?= A.1 B.25 C.－5 D.35 4. 下列式子中正确的是（ ） A.4 2 3 2(2)(2)-<-<- B. 342 (2)2(2)-<-<- C. 4 3 2 2(2)(2)-<-<- D. 2 3 4 (2)(3)2-<-<- 有理数的混合运算习题 一．选择题 1. 计算3(25)-?=（ ） A.1000 B.－1000 C.30 D.－30 2. 计算2223(23)-?--?=( ) A.0 B.－54 C.－72 D.－18 3. 计算11(5)()555 ?-÷-?= A.1 B.25 C.－5 D.35 4. 下列式子中正确的是（ ） A.4232(2)(2)-<-<- B. 342(2)2(2)-<-<- C. 4322(2)(2)-<-<- D. 234(2)(3)2-<-<- 5. 422(2)-÷-的结果是（ ） A.4 B.－4 C.2 D.－2 6. 如果210,(3)0a b -=+=，那么 1b a +的值是（ ） A.－2 B.－3 C.－4 D.4 二.填空题 1.有理数的运算顺序是先算 ，再算 ，最算 ；如果有括号，那么先算 。 2.一个数的101次幂是负数，则这个数是 。 3.7.20.9 5.6 1.7---+= 。 4.232(1)---= 。 5.67()()51313- +--= 。 6.211()1722 ---+-= 。 7.737()()848-÷-= 。 8.21(50)()510 -?+= 。 三.计算题、2(3)2--? 12411()()()23523+-++-+- 11( 1.5)4 2.75(5)42 -+++- 8(5)63-?-- 3145()2-?- 25()()( 4.9)0.656-+---- 22(10)5()5 -÷?- 323(5)()5-?- 25(6)(4)(8)?---÷- 1 6 1 2()(2)472?-÷- 2(16503)(2)5--+÷- 32(6)8(2)(4)5-?----? 21 1 22 ()(2)2233-+?-- 199711(10.5)3---? 2232[3()2]23-?-?-- 42 11(10.5)[2(3)]3---??-- 4(81)( 2.25)()169-÷+?-÷232()(1)043-+-+? 21 5[4(10.2)(2)]5---+-?÷- 666(5)(3)(7)(3)12(3)777-?-+-?-+?- 有理数的四则混合运算练习◆warmup 知识点有理数的混合运算（一） 1．计算：（1）（-8）×5-40=_____；（2）（-1.2）÷（-1 3 ）-（-2）=______． 2．计算：（1）-4÷4×1 4 =_____；（2）-2 1 2 ÷1 1 4 ×（-4）=______． 3．当||a a =1，则a____0；若 || a a =-1，则a______0． 4．（教材变式题）若a 精心整理 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。 例3 1234段呢?(1) (2) (3) (4)例 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例3计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。 例3计算： (1)-32÷(-8×4)+2.52+(+－－)×24 (2)(－)×(－)－×(－)＋×(－) 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于我们抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式。 若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。 例4计算： 如果a 如果c 如果 例，试求x2 例计算：。 应分为三段：, 参加计算较为方便。 解：原式 “减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。 例2 计算：。 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。 解：原式 有理数混合运算的方法技巧 一、运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相。（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b (b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 二、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[] 232315.011--??? ? ?? ? ???? ? ??-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：??? ? ??-+???? ??-÷???? ??- -38871278 74 31 三、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢? 主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算 《有理数混合运算》典型例题 例1 计算.411653121 1-++ - 解法一：原式.1271 12191215 1041845653123-=-=-++-= -++- = 解法二：原式.1271 12 5212 3 1046114 116 53 12 11-=+ -=-++-+ --=- -+ + - -= 说明：加减混合运算时，带分数可以化为假分数，也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和. 例如：.211211 ;411411 - -=-- -=- 例2 计算.414)216(?? ? ? ? - ?÷- 错解：原式＝（－216）÷（－1）＝216. 正解：原式.2 1 1345441)54(== ??? ?? - ?-= 分析：对这种乘除同级混合运算应遵循从左到右的运算顺序，事实上错解就错在这一点. 计算： （1）?? ? ??-÷?? ? ? ? -?22 1 764 1 2； （2）15)3(4)3(23+-?--?； （3）9 113213 21÷??? ? ?-?-； （4）[]4)103(412÷-?-. 例3 计算： （1）333)1(3)2(4-÷---；（2）)3 1 1()13 1(23422-÷-??--． 解 （1）333)1(3)2(4-÷--- )1(27)8(4-÷---= .392712=+= （2）方法一：)3 1 1()13 1(23422-÷-??-- ) 34()32(1216- ÷- ?--= )4 3(816- ?+-= .22616-=--= 方法二：)3 1 1()13 1(23422-÷-??-- )43()131( 1216- ?-?--= )43()124(16- ?---= .22)93(16-=-+-= 说明：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意在运用运算性质时不要出现错误． 例4 计算： ])54(17)5 117 81 85 1[()5(2 - -?--- ?- 分析 该题有双重括号看起来比较复杂，但只要我们按运算顺序去做都可以求出结果．在计算时我们还应考虑灵活运用运算性质来简化计算． 解 ])54(17)51 1781 851 [()5(2 - -?--- ?- ]25 16 17)511725851[()5(-?---?-= ]251651725)51[()5(---- ?-= 5 16171251+++= 5 1146 =． 说明： 有理数混合运算的步骤，初学者应写得详细一些，这是避免出现错误的好办法． 例5 计算：32)]5 2 ()6 1 1[()]9 4 1(5 3 1[-?-÷-?． 分析：此题运算顺序是：第一步计算)9 41(-和)6 1 1(-；第二步做乘法；第三 步做乘方运算；第四步做除法． 解：原式32)]5 2 (6 5 []9 5 5 8 [-?÷?= 3 2)3 1()98(-÷= 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1.计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2.计算：()[] 232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）； 例3：计算：??? ? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。 如何分段呢主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 例4.计算：÷(－12 )4 -(-1)101＋(-2)2×(-3)2 有理数的混合运算经典 例题 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 有理数的混合运算经典例题 例1 计算：． 分析：此算式以加、减分段, 应分为三段： , , ．这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－化为参加计算较为方便．解：原式 说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率． 例2 计算：． 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法． 解：原式 说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题． 例3 计算： 分析：要求、、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须另辟途 径．观察题目发现，，，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出． 解：原式 说明：“0”乘以任何数等于0．因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算．当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0法”． 例4 计算 分析：是的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值． 解：原式 说明：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算；(2)要熟练掌握乘方运算，注意3，，(-2)3，-32在意义上的不同． 实用文档之"有理数混合运算的方法 技巧" 怀宁县独秀初中 汪邢志 有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，既复习旧知识，又为今后的学习打下基础，对这一单元的知识一定要学好，用活，切实掌握运算法则、运算律、运算顺序。 有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券。 单元学习目标 1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律。 2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算,并会用运算律简化运算。。 3．能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算,注意培养自己的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。 二、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(5 1 )－1 解：原式= ············(先算乘方) = ···············(化除为乘) = ···(先定符号，再算绝对 值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[]232315.011--??? ??? ????? ? ??-- 解原式= ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：23)2 3 (942-?÷- 三、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． 把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 1 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。 例3：计算：???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和。 即（先乘方、后乘除、再加减。） 把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法。 (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算。 (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 例2计算：÷(－12 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2 说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。 三、掌握运算技巧 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例 3 计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。 例3计算：有理数的混合运算经典例题
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