数列综合应用
数列综合应用
一、数列
已知：{a n }的前n 项和S n ＝32
(3n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)243是这个数列中的第几项？
二、等差数列
1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (均为正自然数)，则下式正确的是( )
A.a m a n ＝a p a q
B ．a m ＋a n ＝a p ＋a q
C ．a m a n ＝a p a q
D ．a m －a n ＝a p －a q 2．(2011)等比数列{a n }的各项都是正数，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )
A ．63
B ．42
C ．84
D ．21
3．(2012)在等比数列{a n }中，已知a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( )
A ．4
B ．3 C.32 D.169
4．(2013)在等比数列{a n }中，a n >0，a 3·a 7＝36，则a 5的值等于( )
A ．6
B ．－6
C ．6或－6
D ．36
(){}()
81245.20168,12,163 A. B.4 C. D.1832
n a a a a ===在等比数列中，则 6．三个数成等差数列，其比为3∶4∶5，如果最小数加1，则三数成等比数列，那么原三数为________．
7．已知－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝________．
8．(2010)有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12.求此四个数．
9．数列{a n }是首项为27，公比为3的等比数列，令b n ＝log 3a n ，构成新数列{b n }．
(1)求{b n }的通项公式；(2)证明{b n }是等差数列；(3)求{b n }的前10项之和．
10．(2013)在等差数列{a n }中，d 为公差(d ≠0)，a 3＝6且a 1，a 2，a 4成等比数列，求：
(1)a 1及d ；(2){a n }的前10项和．
11．已知等差数列{a n }中，a 1＝－2，a 2＝1.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)调整数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3的顺序，使它们成为等比数列{b n }的前三项，且公比小于－1，求数列{b n }的前n 项和．
(){}{}(){}(){}1143312.20152,16.
1216,.
n n n
n n a b a b b b a b a n S ===+=已知数列是等差数列，数列是等比数列，且求数列的通项公式.若求数列的前项和
(){}()(){}1131131113.20162.12.
n n n a a a a a a a a n S =已知公差不为零的等差数列中，首项，且，，成等比数列求和的值.
求等差数列的前项和
(){}(){}(){}{}1243233714.2017+10-=.12,.
n n n n n a a a a a a b b a b a b n S ===样卷已知等差数列中，，且2求数列的通项公式.
若等比数列满足,求数列的通项公式及其前项和
15.(2017) {}11391,,,=已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列n a a a a a (){}(){}{}122,.=求数列的通项公式；若数列满足求数列的前项和n
n a n n n n a b b b n S
三、等比数列
1．在2与9之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则这两个正数的和是( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝48，则a 1＋a 6等于( )
A ．20
B ．23
C ．24
D ．25
3．三角形三内角成等差数列，则必有一角为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
4．若a 、x 、b 、2x 四个数成等差数列，则a ∶b 的值等于( )
A.13
B.14
C.12
D.23
5．(2010)已知等差数列的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( )
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
6．(2014)在等差数列{a n }中a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 12＝121，则S 13＝( )
A ．143
B ．121
C ．169 D.1432
(){}()2415 20157,6, A.5 B.9 C.11 D.13
n a a a a a ==+=7.在等差数列中，已知则
(){}(
)231311 2017++=9, A.36 B.33 C.30 D.27n n S a n a a a S =8.样卷设是等差数列的前项和，若则
9.(2017) {}()7941216,1,+===在等差数列中，则n a a a a a
A.64
B.15
C.30
D.31
10．在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝3，则S 11的值是________．
11．已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，S 10＝100.
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前5项的和T 5.
12．(2012)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6，6a 1＋a 3＝32.求a n 和S n .
13．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前六项均为正，第七项及以后各项都是负数．(1)求公差d ；(2)当前n 项和S n >0时，求n 的最大值．
三、数列求和
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知b n ＝1S n 且a 3b 3＝12
，S 3＋S 5＝21. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .
数列的综合应用
数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n
江苏省淮安中学高二数学《数列的综合应用(1)》学案
江苏省淮安中学高二数学学案 一、考点要求：抓住基本数列的关系，使所求与已知建立联系，将未知向已知转化，灵活运用公式与性质，解决一些问题。 二、课前检测 1、互不相等的三个数，a 、b 、c 成等差数列，x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则222,,x b y 三个数 （1）、成等差非等比数列 （2）、 成等比非等差数列 （3）、成等差又成等比数列 （4）、既不成等差又不成等比数列 2、已知a ，b ，a+b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列,且0＜ log m ab ＜1，则m 的取值范围为 3、在等差数列{a n }中，若a 10＝0 ，则有等式12n a a a +++ ＝1219n a a a -++ （n ＜19 ,n∈N +)成立，类比以上性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1 ，则有 成立。 三、 典型例题 例题1、已知数列｛a n ｝，其中a 1=1,a n =3n-1a n-1((n≥2，n∈N *)，数列｛b n ｝的前n 项和S n =log 3( 9 n n a )( n∈N *). （1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）求数列｛b n ｝的通项公式； （3）求数列｛|b n |｝的前n 项和T n . 例题2、已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 。 例题3、 121()2OP OP OP =+ 若,且P 点的横坐标为12，设函数()x f x =的图象上两点111222(,),(,)P x y p x y （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值；
《等差数列与函数的关系》研究性学习设计
《等差数列与函数的关系》研究性学习设计
一、创设情境，引入课题 问题1：由数列的概念，我们知道了数列是一种特殊的函数，即数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应一列函数值，那么等差数列与我们所学习的基本初等函数到底有何关系呢？ 二、小组讨论，作图并自主探究，汇总各自的研究成果 成果1：通过作图得出，数列的图像是对应的一次函数的图像； 成果2：数列的图像是对应的一次函数图像当自变量取正整数时的孤立的点； 成果3：由等差数列的通项公式变形后得出，等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。 三、各小组汇报研究成果，相互补充，形成进一步的研究成果 结论1：成果1不够准确，成果2，成果3较好 四、适度引导，丰富命题 问题2：结合我们学习的等差数列的相关知识，等差数列还和其他函数有关系吗？ 五、继续分组讨论，深入探究，汇总研究成果 成果4：没有； 成果5：可以从前n项和出发考虑 六、再度归纳交流，思维提升，形成结论，并相互评价 结论2：等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数 七、教师再次引导 问题3：既然得出以上结论，那么我们可以用函数的哪些性质来研究数列问题？ 八、各小组再次深入思考，总结交流，并相互评价 结论3：（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。 九、教师指导学生总结归纳，升华主题。 1、等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。 2、等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数 3、（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。 十、课下利用网络资源，继续探究等比数列与函数的关系，并写出学习心得。
2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.2.3数列的综合应用 Word版含答案
1.2.3 数列的综合应用 1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC → ，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016 D.2 013 解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 013 2·2 015＝2 015 2 .故选A. 答案：A 2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6 D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤ b 4＋b 6， 由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C 3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 9a 9 中最大的是( ) A.S 1a 1 B.S 8a 8 C.S 5a 5 D.S 9a 9 解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以? ?? ?? 9a 5＞0， a 5＋a 6＜0， 所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n ＜0，当1≤n ≤5时S n a n ＞0. 又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减，
高中数列与高等数学的关系
高中数列与高等数学的关系 高中数学中的数列内容与高等数学学习的内容联系密切，大学数学中的极限、级数与数列内容联系紧密，所以数列的学习是高中学习与大学学习的桥梁，对学生进入高等院校的学习至关重要，起到一个良好的铺垫作用。学习好数列是使学生进一步深造和继续学习的基础。 4.1 数列与极限 1、数列典例回顾 数列的例子： 例1、11111:,,,, (3392781) n n y = 例2、4:4,8,12,16,20,24,...n y n = 例3、11231:0,,,234 n y n =- 这三个例子都是：随着n 逐渐增大，()f n 有着变化趋势。 2、数列的极限 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 数列的极限的定义： 设{}n a 为数列, a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞ =或()n a a n →→∞。 (读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a )。由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞ =或()n a a n →→∞.
1、函数的极限：如果对于给定的正数ε，总存在一个正数M ，使得当一切x M >时， ()f x A ε-<恒成立，则称当x 趋于无穷大时，函数()f x 以常数A 为极限。 例1、 设数列}{}{,n n a b 满足1,1,2,3,...,n n n b a a n -=-=如果010,1,a a ==且}{n b 是公 比是公比为2的等比数列，又123...n n s a a a a =++++，则lim n n s a 的值（ ） A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2 解：112,1,2,3,...,n n n n b a a n n --=-==式子累加得： 1112...221,22n n n n n a s n -+=+++=-∴=-- 1222222lim lim lim 222112 n n n n n n n s n n +----∴===--，所以选D 4.2 数列与级数 级数是大学数学的重要内容，在大一的数学学习中占有重要的地位和作用。数列是级数学习的基础，下面引入级数的定义，以及引入例题对数列与级数的关系进行概括。 1、常数项级数 如果给定一个数列 1u ,2u ,3u , …,n u ,…,则表达式 1u +2u +3u +…+n u +… 叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为∑∞ =1n n u 即 ∑∞=1n n u =1u +2u +3u +…+n u +… 其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2.级数的部分和： 前n 项的和)2(121∑==+++=n i i n n u u u u s Λ 部分和数列{n s }:11u s = 12u s =+2u 1u s n =+2u +3u +…+n u
数列的综合应用
第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，
数列递推关系与单调性
数列递推关系与单调 性 Revised on November 25, 2020
数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 一．线性的 1.已知21n n S a =+ 求n a 2.已知21n n S a =+ 求n a 3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化 二．非线性的 1.已知0n a >，2 22n n n S a a =+-；求n a 2.已知0n a >，2 42n n n S a a =+，求n a 3.已知0n a >，1 2n n n S a a =+，求n a 总结：（1）11,1 ,2 n n n S n a S S n -=?=?-≥?这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是 n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别 递推关系： （1）1()n n a a f n +=+ Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a 4.已知11a =，11 (1)n n a a n n +=++，求n a （2）1()n n a a f n +=
Exe1.已知11a =，11 n n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a （3）1n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=--- Way2. 111n n n n n a a B A A A +++=+ 已知11a =，121n n a a +=+，求n a 2.已知11a =，131n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，152n n a a +=+，求n a （4）1()n n a Aa f n +=+ (1)A ≠ 分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q = 1.1n n a Aa pn q +=++ Way1.?（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A ++++=+ Way2.?（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=-- Exe1.已知111,2n n a a a n +==+，求n a 2.已知111,321n n a a a n +==++，求n a 2. Exe1.已知111,23n n n a a a +==+，求n a 2.已知111,32n n n a a a +==+，求n a 3.已知111,22n n n a a a +==+，求n a 4.已知111,232n n n a a a +==++，求n a 5.已知111,231n n n a a a n +==+++，求n a
1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2， 可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100， 解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .
数列递推关系与单调性
数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 一．线性的 1.已知21n n S a =+求n a 2.已知21n n S a =+求n a 3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化 二．非线性的 1.已知0n a >，2 22n n n S a a =+-；求n a 2.已知0n a >，242n n n S a a =+，求n a 3.已知0n a >，12n n n S a a =+，求n a 总结：（1）11,1,2n n n S n a S S n -=?=?-≥?这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别 递推关系： （1）1()n n a a f n +=+ Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a 4.已知11a =，11(1) n n a a n n +=++，求n a （2）1()n n a a f n += Exe1.已知11a =，11 n n n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a
（3）1n n a Aa B +=+（1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=--- Way2.111n n n n n a a B A A A +++=+ 已知11a =，121n n a a +=+，求n a 2.已知11a =，131n n a a +=+，求n a 3.已知11a =，152n n a a +=+，求n a （4）1()n n a Aa f n +=+(1)A ≠ 分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q = 1.1n n a Aa pn q +=++ Way1.?（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A ++++=+ Way2.?（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=-- Exe1.已知111,2n n a a a n +==+，求n a 2.已知111,321n n a a a n +==++，求n a 2. Exe1.已知111,23n n n a a a +==+，求n a 2.已知111,32n n n a a a +==+，求n a 3.已知111,22n n n a a a +==+，求n a 4.已知111,232n n n a a a +==++，求n a 5.已知111,231n n n a a a n +==+++，求n a （5）1()()n n a f n a p n +=+ Way:::(1)()() h n f n h n += Exe1.已知11111,n n n a a a n n ++==+，求n a
数列的综合应用教案
数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
11 =+
1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0 6.5数列的综合应用 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6， 即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2， 法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』 『类题通法』 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 『针对训练』 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， 数列的综合应用 数列综合应用题型分类: 一、数列与函数的综合; 二、数列与不等式的综合； 三、数列与平面解析几何的综合； 四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。 数列与函数的综合应用 ——数列的综合应用之一 一、典例培析 1、已知函数2*1 ()(,,)ax f x a b N c R bx c += ∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥ （1）求函数()f x 的解析式； （2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。 （3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111 ,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{} n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1 128 n T ≥时，求n 的最大值。 2 、已知函数()2)f x x = <- （1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）设1*11 1 1,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设22 2121, n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ，使得对任意* n N ∈，都有25 n m b <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。 3、定义：称 12n n p p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”。若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 1 21 n +， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21 n n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号； （3）设函数2()421 n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切* n N ∈， 都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 4、设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======且数列1{}n n a a +-是等差数列，{2}n b -是等比数列。 （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）是否存在* k N ∈，使1 02 k k a b <-< ？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。 5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且，若数列*122,(),()(),24()n f a f a f a n n N +∈ 成等差数列， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若01a <<，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞ ； (3)记n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和，求证： ,,n n m p p m S S →+→+*(2,,,)r r m S p r n m n p r N →+=+∈且成等比数列； （4）若2a =，设()n n n b a f a =?对任意* n N ∈，都有1()n b f t ->，求t 的范围。 6、已知*111 1()23n S n N n =++++∈ ，设211()n n f n S S ++=-，试确定实数m 的取值范围，使得对于任意2n ≥，不等式：2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立。 数列是一种定义域为正整数集或其子集的一种特殊的函数, 数列的通项公式则是相应的函数解析式。任何数列问题都蕴含着函数的本质,解决数列问题时, 应该充分利用函数的有关知识, 以它的概念, 图像, 性质为纽带, 从而可以用函数思想解决数列问题. 等差和等比数列是教材中重点讨论的两类特殊的数列, 又是较为简单的递推数列,现以等差和等比数列为例研究一下数列与函数的关系。 1. 等差数列的通项公式与函数的关系: n a =1a +（n-1）d 可以转化为n a =pn+q （p=d,q=1a -d ） ( 1) d ≠0实质上是一次函数 ( 2) d=0 常数函数 2. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系: S n =n 1a +12n(n-1)d 可以转化为S n=A 2n +Bn (A=12d, B=1a -12 d) . ( 1) d= 0,1a =0则S n=0为常数函数 ( 2) d= 0时, 1a ≠0 S n=na 1是关于 n 的正比例函数; ( 3) d ≠0, 是关于 n 的二次函数; 3. 等比数列的通项公式与函数的关系: n a = 1a q 1n -=1a q q n , 等比数列的通项公式是一个不为 0 的常数1a q 与指数函数的积;（q ≠1，q>0） 4. 等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n =n 1a ( q= 1) S n =1(1)1n a q q --=11a q --11a q -q n （q ≠1）也可看做一个指数型函数。 特别注意由于定义域的特殊性，等差等比数列所对应的函数图像是一些离散的点. 掌握了等差等比数列与一次函数, 二次函数, 指数函数的关系之后, 在解决此类问题 时就可以借助这些函数的性质特点.利用其单调性，对称轴等函数性质解题。也可利用函数图象，可以起到化抽象为直观，化繁为简的效果。 【巩固练习】 一、选择题 1．已知函数2 2 ()n n f n n n =-???当为奇数时当为偶数时 ，且()(1)n a f n f n ＝＋＋ ，则123100a a a a ?＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10200 2．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11 11 2n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A. 101 2 B. 912 C.110 D.1 5 3．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为9 10 ，则在平面直角坐标系中，直线(1)=0n x y n +++在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a ＞，80a ＜，则下列结论正确的是( ) A ．78S S ＜ B ．1516S S ＜ C ．130S ＞ S 13＞0 D ．150S ＞ 5．数列{}n a 是等差数列，若11 10 1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21 二、填空题 6. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 7．求数列 114?，147 ?，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = . 8．已知函数()232f x x x ＝ －，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N * )均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a += ，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20 n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________． 9．设函数()21123n n f x a a x a x a x -?＝＋＋＋＋，若已知1 (0)2 f =，且数列{a n }满足()2*1()n f n a n ∈N ＝，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 10．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，， 成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 三、解答题 11. 求下列各数列的前n 项和n S ： ⑴ 12，34，5 8 ，…，212n n -，； ⑵ 1，3a ，25a ，…，()1(21)n n a a --∈R ，； ⑶ 222212...1(2)3(4)(1)n n ----，，，，，， . 数列综合问题之数列与函数 思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。 例1：已知函数2 ()(,)x a f x b c N bx c += ∈+中，1(0)0,(2)2,(2)2 f f f ==-<- ， （1） 求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}n a 满足：14( )1n n S f a = ，求通项n a ？（3）在 条件（2）下，令2n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项和？ 分析：由题知： 0,2a b c ===，所以 2 ()22 x f x x = -，所以可求得： 2 112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n ++=-?+-+ =?=- 例3：函数[)()2,2,f x x x =-+∈+∞；（1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）数列{}n a 满足：1 1()n n S f S --=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在条件（2）下，令2 2 * 11()2n n n n n a a b n N a a +++= ∈ ，求 数列{} n b 的前n 项和？ 分析：（1）由题知：1 2 (),0f x x -= ≥； （2 42n a n = =- （3）2 2 2 11111()211 1( )2221 21 n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--= = =+- -+ 例4、设函数()2 41+= x x f ， (1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数； (2)记()()()+∈+?? ? ??-++??? ??+??? ??+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。 解：∵()2 41+=x x f ， ∴()(1)f x f x + - = 11142 4 2 x x -+ ++ 114 242 1(42)(42) 2 x x x x --+++= =++ 数列递推关系与单调性 数列递推关系与单调性 数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 11,1,2 n n n S n a S S n -=?=? -≥? 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化 ()n n S f a ?==? ?一.线性的 二.非线性的 一．线性的 1.已知21n n S a =+ 求n a 2.已知21 n n S a =+ 求n a 3.已知1 11,22 n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化 二．非线性的 1.已知0n a >，222 n n n S a a =+-；求n a 2.已知0 n a >，2 42n n n S a a =+，求n a 3.已知0 n a >，1 2n n n S a a =+ ，求n a 总结：（1）11,1 ,2 n n n S n a S S n -=?=? -≥?这主要是解题的步骤；（2） 决策好先求n a 还是n S ;（3）() n n S f a =与1() n n S f a +=的区 别 递推关系： （1）1 () n n a a f n +=+ Exe1.已知1 1a =，1 n n a a n +=+，求n a 2.已知1 1a =，12n n n a a +=+，求n a 3.已知11 a =，1 2n n n a a n +=++，求n a 4.已知1 1 a =，11 (1) n n a a n n +=+ +，求n a （2）1 () n n a a f n += Exe1.已知1 1 a =，11 n n n a a n +=+，求n a 2.已知1 1 a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知1 1 a =，1 n n a na +=，求n a （3）1 n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +- =--- Way2. 111 n n n n n a a B A A A +++=+ 高考数学第一轮复习19数列的综合应用 19．数列的综合应用 班级 姓名 一.选择题： 1.在100与500之间能被9整除的所有数之和为 （ ） (A)12699 （B ）13266 （C ）13832 （D ）1450 2.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 （ ） （A ）251- （B ） 2 252- （C ） 2 15- （D ） 2 252+ 3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，令n S S S T n 21n +++= ， 称T n 为数列a 1,a 2,…,a n 的“理想数”，已知数列a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为2004,那么数列2，a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为 （ ） （A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）2008 4．已知f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则 f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于 （ ） （A ）f(1)+2f(1)+…+nf(1) （B ）]2)1n (n [f + （C ）n(n+1) （D ）n(n+1)f(1) 5．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 （ ） （A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元 二．填空题： 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 的值为 . 7．等差数列{a n }为1，3，5，7，…，若数列{b n }满足b 1=3，且) N n (,a b n b 1 n *+∈=，则{b n }的一个通项 公式是 . 8．已知数列{a n }满足a 1=24，且a n+1-a n =2n ，那么a 45的值是 . 数列通项公式与前n项和公式关系教案 教学目标 1．了解数列的通项公式a n与前n项和公式S n的关系． 2．能通过前n项和公式S n求出数列的通项公式a n． 3．培养学生辩证统一的观点． 教学重点与难点 重点：认清两者之间的关系． 难点：通过S n求出a n的基本方法． 教学过程设计 (一)课题引入 师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前n项和？ 生：如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．即a n=f(n)，数列的前n项和S n=a1＋a2＋…＋a n． 师：那么S n是否也可以表示成关于项数n的函数式？ (由前两个概念，学生不难得出正确答案，教师进一步指出这个函数式称为数列的前n项和公式) 生：S n可以表示成关于项数n的函数式． 师：现在研究一下a n与S n两者之间的关系，(板书)．需要考虑哪几种关系？ (培养学生的辩证统一的观点，对今后的数学学习是有益的，掌握此观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题) 生：应考虑已知a n是否可以求出S n；反之，已知S n是否可以求出a n． 师：回答正确．两者之间的关系，应该是辩证统一的．这节课我们主要研究后一种，即已知S n是否可以求出a n． (二)提示S n与a n的关系 师：(板书) 例1 已知数列的前n项和S n=n2＋n．求：(1)a1，a2，a3，a4；(2)通项公式a n． (由形象思维到抽象思维，由特殊到一般，是研究数学问题的一般规律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用．给学生一个台阶，使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学) 师：(板书) 因为S n=a1＋a2＋…＋a n， 则a1=S1=2， a2＝S2－a1＝4， a3＝S3－a1－a2＝6 a4＝S4－a1－a2－a3＝8， …… 所以通项公式a n=2n． 师：请问a n=2n是依据什么得出的？ 生：由前4项猜想得出的． 师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法，因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论的正确性？ 生：没有． 师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题．如果结果不是通过“归纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明．即是否能通过S n推导出a n？ (“归纳—猜想—证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法，也是学生应熟练掌握的．而学生在运用“归纳—猜想—证明”时，往往容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳—猜想—证明”中最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法．) 师：引导学生观察板书，可发现：高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计
7.数列的综合应用之一(数列与函数的综合)
数列与函数的关系
巩固练习数列求和数列的综合应用提高 (1)
数列与函数结合的综合问题
数列递推关系与单调性
高考数学第一轮复习19数列的综合应用
数列通项公式与前n项和公式关系教案