二元一次方程组的代入解法

教学设计

《§7﹒2解二元一次方程组第一课时》

刘

艳

君

西温庄乡二中

单元课题：二元一次方程组

课标要求：

1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程。体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。

3．会解简单的二元一次方程组。

4．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

教材分析：

本章与一元一次方程类似，强调建模思想，关注知识的形成与应用过程，为此，教材设计继续遵循“问题情境—建立模型—解释、拓展与应用”的模式，然后探究其各种解法，并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识。

在七年级上学期学生已经学习了一元一次方程，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习一次函数、线性方程组及平面解析几何等知识的基础.本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.

学情分析：

本节课面对的学生处于城乡结合处，他们在七年级（上）的学习中已经掌握了一元一次方程的解法，有较为扎实的运算技能，因此对二元一次方程组的学习难度不大。

八年级的学生有比较强烈的自我表现和自我发展的意识，对通过自己的直接参与、观察、讨论、归纳及上台展示的学习任务比较感兴趣，因此教师在教学设计中，设法使学生充分的展示自我。

在教学中，教师对发现知识的学生应给予及时、充分的肯定，对于表述不够准确的学生，给予充分的引导、鼓励，让学生都有兴趣参与到数学的学习中来。

教学目标：

1．经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.发展学生灵活运用有关知识解决实际问的能力，培养良好的数学应用意识。

2．使学生了解二元一次方程、方程组的解、解二元一次方程组等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.

3．能根据实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决应用问题，并能检验解的合理性.

4．了解二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系。

5．了解把“二元”转化为“一元”的消元思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想.

课时课题：§7﹒2解二元一次方程组第一课时

教学目标：

?知识与技能

1.根据二元一次方程中x、y（未知数）的系数特点，能灵活的选择用含x的式子表示y，或用含y的式子表示x。

2.会用代入消元法解较简单的二元一次方程组.

?过程与方法

1.由一个简单的实际问题出发，引导学生用一元一次方程和二元一次方程组解决，找出两者的关

系，从解决问题的基本策略的角度认识消元思想。然后，通过一个简单的用代入消元解方程组的例子表示了这种解法的一般过程。

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. ? 情感与价值观要求

1.学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化“复杂问题”为“简单问题”的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.

2.培养学生合作交流的意识和探究精神，养成自主探索的良好习惯. 教学重点：

1.会用代入消元法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 教学难点：

1.“消元”的思想.

2.“化未知为已知”的化归思想. 教学方法：

启发——自主探索相结合.

教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

教学手段：结合学案完成

[温故知新[课前思考]两部分要求学生课前完成使用教材的构想： 1、教材中的引例为第一课时中“谁的包裹多”所列的二元一次方程组，由于这个方程组不易理解，所以换为买香蕉苹果的问题，这样学生更容易观察出二元一次方程组与一元一次方程之间的关系。 2、选用书中的两个例题，这两个例子的安排先易后难，例1的方程②可以直接代入，例2则需先进行恒等变形。这两个例题可鼓励学生通过自主探索与交流尝试求解。学生“消元”的具体方法可能不同，教师应鼓励并肯定学生的做法。

3、教材中的“议一议”分解为例1、例2中的思考问题，帮助学生梳理思路，总结“代入消元法”的一般步骤及解题技巧。教学流程：

【温故知新】教学时间：3′

设计说明：本环节选取了一个形式上较复杂，但是计算上并不难的一元一次方程，主要目的是回忆解一元一次方程的基本步骤及注意事项，为解二元一次方程组奠定基础，要求学生课前完成。 [学案设计]解一元一次方程

13=--x x 第一步：注意：

第二步：注意：第三步：注意第四步：注意：第五步：注意：

教学说明：上课后，请一名学生上台讲解他的计算过程，并说明每步的注意事项。然后根据实际情况，其他同学补充各环节需注意的地方。教师重点强调：1、去分母时，常数项“1”不要漏乘；

2、去括号时，括号前为“-”时要变号；

3、移项要变号；

4、养成检验的好习惯。【课前准备】教学时间：7′

设计说明：通过4个练习让学生体会：每个二元一次方程都可以用“用含y 的式子表示x ”或“ 用含x 的式子表示y ”，完成之后让学生比较哪一种变形更简便，为用“代入消元法”解二元一次方程组奠定基础，要求学生课前完成。

[学案设计]根据等式的基本性质，进行恒等变形

教学说明：教学时，分别请4位同学回答，并说明变形的依据。有的同学可能应用解方程的基本步骤解释，如：移项、把系数化为1等；有的同学可能是应用逆运算的原理，如：一个加数等于和减另一个加数，一个因数等于积除以另一个因数等。前两个练习较易，体现不出某种变形的优势；第3个练习，“y=4

13x

-”或“x=13-4y ”很明显后者比前者容易；第4个练习，“y=2x-3”或“x=

+”，前者比后者容易。 3、4题教师有必要板演变形过程。【探究新知】教学时间：10′

设计说明：1、通过列一元一次方程或二元一次方程组解决“买香蕉苹果”问题，观察所列方程，找到两者只讲的关系，让学生明白，解二元一次方程组的实质是通过等量代换，将“二元”转化为“一元”，向学生清晰的展示了知识发生的过程。使学生的学习过程成为“猜想”，继而“沉思”，在实际情况中进行学习，使学生利用已有的知识与经验解决当前的新知识。2、本例的目的是引导学生发现二元一次方程组与一元一次方程之间的关系，而且所列方程组较难，所以不做解答。

[学案设计]香蕉的售价为5元\千克，苹果的售价为3元\千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，共付款33元，香蕉和苹果各几千克？

思考交流：用初中学过的知识，怎么解决这个问题？你有几种方法？动手实践：（至少两种方法）

教学说明：1、学生可能会提出这两种方法：列一元一次方程解应用题或列二元一次方程组解该题两名学生板演：

第一种：解设买了香蕉x 千克，则苹果（9-x ）千克，根据题意得：5x+3（9-x ）=33

第二种：解设买了香蕉x 千克，苹果y 千克，根据题意得： x+y=9

5x+3y=33

2、小组讨论：这个两式子之间存在怎样的联系？

学生观察5x+3（9-x ）=33，此方程中没有未知数y ，而由x+y=9得：y=9-x ，代入5x+3y=33中得5x+3（9-x ）=33。由上一节课的知识告诉我们，二元一次方程组中的字母含义是相同的，所以可以将y=9-x ，代入5x+3y=33中，y 即可以消去，进而转化为只含有x 的一元一次方程。【例题学习】教学时间：10′

设计说明：本环节是本节课的重点，选用教材中的两个例题，例1直接代入，例2则需先进行变形，再代入，有了[课前准备]的基础，学生可以判断：选择方程②，用含y 的式子表示x 较易。注意规范学生的书写过程。 [学案设计]

例1 3x+2y=14 ① 思考：1、方程②代入哪一个方程?

x=y+3 ② 目的是什么?

解：把② 代入①中，得 2、为什么能代?

3（y+3）+2y=14 3、只求出一个未知数的值，

3y+9+2y=14 方程组解完了吗?

5y=5 4、把已求出的未知数的值，代入哪个方程y=1 来求另一个未知数的值较简便?

把y=1代入②中得：x=4

∴原方程组的解为??

?==.

y x

例2 2x+3y=16 ① 思考：类比例1的解题思路回答

x+4y=13 ② 1、这个方程组能直接代入吗？

2、我们需要创造一个什么条件？

3、选择哪个方程变化比较简便？

解：由②，得x =13－4y ③

将③代入①，得 2(13－4y )+3y =16

－5y =－10

y =2

将y =2代入③，得

x =5

所以原方程组的解是???==.

y x

教学说明：分别请一名学生板演，学生自主完成后，思考问题，然后小组讨论交流，教师根据学生的完成情况加以点评和指导，并强调书写格式的规范。

例1是用y ＝1-x 直接代入②的，例2的两个方程都不具备这样的条件(即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，所以不能直接代入，为此，我们需要想办法创造条件，把一个方程变形为用含x 的代数式表示y(或含y 的代数式表示x)。那么选用哪个方程变形较简便呢?通过观察，发现方程②中x 的系数为1，因此，可先将方程②变形，用含有y 的代数式表示x ，再代入方程①求解解：由②，得x ＝8-3y ，③把③代入①，得(问：能否代入②中?) 同时教师在最后应提醒学生，与解一元一次方程一样，要判断运算的结果是否正确，需检验。其方法是将的求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等检验可以口算。

【细心总结】教学时间：3′

设计说明：加强“化归思想”“消元思想”的总结和提炼，提高学生的能力，发展学生的思维。 [学案设计]

1、这种解二元一次方程组的方法叫代入消元法，基本思路：“消元”，把“二元”变成“一元”

2、基本的步骤是：

①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来 ②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程 ③解这个一元一次方程 ④把求得的一元一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数的解【针对练习】教学时间：10′

(1)??

???+==+23823y x y x

(2) ?

?=+=-329

23y x y x

教学说明:学生独立完成，学生板演，后请两名学生上台讲解，指出错误或需注意的地方。【课堂小结】教学时间：2′

代入消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

①

②

①

②

【当堂测试】

1、已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________．

2、已知23

16x mx y y x ny =-=????

=--=??

是方程组的解，则m=_______，n=______． 3、在方程2x ＋5y =8中,如果5y=10,则xy=_______. 4、若多项式n

m x +2

1与m n y x --223是同类项，则m= ，n= ? 选作题方程组43235

x y k

x y -=??

+=?的解与x 与y 的值相等，则k 等于（）

【板书设计】

§7、2用代入法解二元一次方程组

31=+-x

x 香蕉的售价为5元\千克，苹果的售价为3元\千克，例1略去分母：2（x-1）+3x=6 小华共买了香蕉和苹果9千克，共付款33元，去括号： 2x-2+3x=6 香蕉和苹果各几千克？

移项： 2x+3x=6+2 解一：解设买了香蕉x 千克，则苹果（9-x ）千克，例2略合并同类项： 5x=8 根据题意得：5x+3（9-x ）=33 把系数化为1： x=

解二：解设买了香蕉x 千克，苹果y 千克，根据题意得： x+y=9

5x+3y=33

学生板演：

教学反思: 成功之处：1、【课前思考】中的恒等变形为代入消元法的学习奠定了基础

2、香蕉苹果购买问题的设计，引导学生得出一元一次方程与二元一次方程组的关系，渗透“消元”思想

不足之处：1、总结代入消元法的一般步骤时，学生的语言组织能力及表达能力较差，需在以后的

学习中加强。

2、少部分同学忘记解一元一次方程的方法，导致解二元一次方程中的计算错误。需对

解一元一次方程进行复习巩固。

附1：

姓名：刘艳君职称：中教二级学校：小店区西温庄乡二中教学特色：

1、学案+学生课上展示

第一步：学案提前下发，学生完成[温故知新][课前思考]两部分

第二步：学生课上展示[温故知新][课前思考]及当堂练习

第三步：每节课至少设计一个[小组讨论]环节，培养学生合作探究的能力

2、每节课设计问题串，贯穿课堂始终

附2：八年级数学学案

二元一次方程组经典练习题+答案解析100道 (1)

二元一次方程组练习题100道（卷一） 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………（） 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x （） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（）二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（）（A ）一个解；（B ）两个解；

二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法知识点梳理知识点一二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。典例分析例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有个；例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝．变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为? ? ? = = 1 3 y x

例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为，根据题意得方程组。例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。知识点二解二元一次方程消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法典例分析例1、把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝．化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．

二元一次方程组的解法——消元法

7.2 二元一次方程组的解法第一课时教学目的 1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。 2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。 3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。重点、难点 1．重点；用代入法解二元一次方程组。 2．难点：体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元。教学过程一、回顾旧知 1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解? 2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。指名回答，其他学生补充。二、讲授新知回顾上一节课的问题2。在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据题意可列出方程组。 y-x=20000×30% ① y=4x ② 思考：怎样解这个方程组? 分析：方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看成4x，即把②代人①(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。解：把②代入①，得 4x-x=20000×30% 3x=6000 x=2000 把x=2000代入②，得 y=8000 所以x=2000 y=8000 答：应拆除2000 m2旧校舍，建造8000 m2新校舍。这样就把二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗? 让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。 1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。 2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。 3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种

二元一次方程组的应用练习题

1、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？ 2、某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天 35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？ 3、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 4、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

5、为了保护生态环境，我省某山区县响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，求改变后林地面积和耕地各为多少平方千米？ 6、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？ 7、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 8、在一次足球选拔赛中，有12支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一次，记分规则为胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分。比赛结束时，某球队所胜场数是所负的场数的2倍，共得20分，问这支球队胜、负各几场？ 9、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款，共计136万元，每一年需付利息16．84万元，甲种贷款的年利率是１２％，乙种贷款的年利率是１３％，问这两种贷款的数额各是多少？

《代入法解二元一次方程组》-教学设计

消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。三维目标知识与技能 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元”过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归思想。情感态度与价值观 :通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神。教学重点：用加减消元法解二元一次方程组。教学难点：理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。教学过程 (一）创设情境，激趣导入在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，可以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程

________________________[1]来解。分析：[1]2x＋(22－x)=40。观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。（二）新课教学可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。[3] [3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。归纳: 上面的解法，是由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]

二元一次方程组解法练习题含答案

二元一次方程组解法练习题精选一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组． 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组： 9．解方程组： 10．解下列方程组： 12．解二元一次方程组：；． 15．解下列方程组：（1）（2）． 16．解下列方程组：（1）（2）

二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值．解二元一次方程组．考点：分先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消析：去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解解：由题意得：，答：由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=， ∴．点本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．评： 2．解下列方程组（1）（2）（3）

（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，

二元一次方程组的应用--分类题型

二元一次方程组的应用【和差倍分】 1.甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？ 2.某书店的两个下属分店共有某种图书5000册,若将甲书店的该种图书调出400册给乙书店,这样乙书店该种图书的数量仍比甲书店该种图书的数量的一半还少400册.求这两个书店原有该种图书各多少。 3.甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？【行程问题】 1.甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走，当他们从某处同时出发背向行走时，每30秒相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，则可列方程组是 2.甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？

3.一辆汽车从A地驶往B地，前1/3路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 4.某铁桥长1 000米，一列火车从桥上通过，从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车车身的总长和速度。 5.甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？ 6.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相同而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度。 7.甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，?二人继续前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离。【组合问题】 1.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x 人，组数为y组，则列方程组是

二元一次方程组及代入法

二元一次方程组及代入法一、本讲教学内容及要求了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。灵活运用代入法解二元一次方程组。了解代入法解二元一次方程组的思想方法。二、本讲的重点、难点和关键： 1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。 2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。 3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。三、本讲重要数学思想： 1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。 2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。四、主要数学能力： 1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。

2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。五、化归思想： “解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。本章中“化归”思想的突出运用有： 1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。 2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。 3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。六、例题分析第一阶梯 [例1] 1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的

《二元一次方程组的应用》典型例题

《二元一次方程组的应用》典型例题例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？例2 要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？例5 某工程队计划在695米线路上分别装25.8米和25.6米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？例6 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的3 2，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.

二元一次方程组经典例题及答案

一、工程问题 1、公式：工作量=工作时间×工作效率公式变形：工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间一般把总工作量看作单位“1” 2、例题：例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解：设这批零件有x个，按原计划需y小时完成，根据题意，得 10y=x+3 x=77（个） 11·（10-1）=x y=8（小时）答:这批零件有77个,按计划需8 小时完

二、银行存款问题 1、公式：本息和＝利息+本金利息＝本金×年利率×年数例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设x为第一种存款的方式，y第二种方式存款，则 x+y=4000 x=1500（元） 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500（元）解得：第一种存款的金额为1500元，第二种存款的金额为2500元例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款的利率是13％。求这两种贷款的金额分别是多少？解：设这两种贷款的金额分别x万元、y万元由题意得： x+y=35 x=15（万元） 12%x+13%y=4.4 y=20（万元）答：这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元

二元一次方程组的解法----加减消元法

二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计姓名初亚兵工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校学科（专业）初中数学

二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计一、教学内容解析：本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。二、教学目标设置：通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下：（一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。（二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。（三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心；教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析：我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问

七年级数学二元一次方程组经典练习题及答案(最新整理)

? ? ? ? ? 4x +10 y = 8 ? ? ? ? ? x -y = 9m ? ? ? ? 2 一、判断 ?x = 2二元一次方程组练习题 100 道（卷一）（范围：代数：二元一次方程组） ?x - y = 5 1、? 1 y =- 是方程组 ?3 2 x y 6 的解…………（） 10 ??3 ?-= ??2 3 9 2、方程组 ?y = 1-x ?3x + 2 y = 5 的解是方程3x-2y=13 的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） ?x + 3 + y + 5 = 7 ? 4、方程组，可以转化为 ?3x + 2 y =-12 （） ? x + 4 + 2 y - 3 = 2 ? ?5x - 6 y =-27 ?? 3 5 5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0 是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x+y=0，且|x|=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组 ?mx +my =m - 3x 有唯一的解，那么m 的值为m≠-5 …………（） ? ?1 x + 1 y = 2 8、方程组?3 3 有无数多个解…………（） ??x +y = 6 9、x+y=5 且x，y 的绝对值都小于5 的整数解共有5 组…………（） 10、方程组 ?3x -y = 1 的解是方程x+5y=3 的解，反过来方程x+5y=3 的解也是方程组 ?3x -y = 1 的? x + 5 y= 3 解………（） 11、若|a+5|=5，a+b=1 则 a 的值为- 2 ………（） ? x + 5 y = 3 b 3 12、在方程4x-3y=7 里，如果用x 的代数式表示y，则x = 7 + 3y （） 4 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（）（A）一个解；（B）两个解；（C）三个解；（D）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）（A）5 个（B）6 个（C）7 个（D）8 个 15、如果 ?x -y =a ?3x + 2 y = 4 的解都是正数，那么a 的取值范围是（）（A）a<2；（B） a >- 4 ；（C）- 2