湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点6 破解连接体中速度、位移及加速度关联

难点6破解连接体中速度、位移及加速度关联

在学习了运动的合成与分解后，我们经常会碰到涉及相互关联的物体的速度求解。这样的几个物体或直接接触、相互挤压，或借助其他媒介（如轻绳、细杆）等发生相互作用。在运动过程中常常具有不同的速度表现，但它们的速度却是有联系的，我们称之为“关联”速度。解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果分解，二是沿着相互作用的方向(如沿绳、沿杆)的分速度大小相等。下面通过三种关联媒介来破解连接体中的关联物理量的问题。

连接媒介之一：绳杆连接物体的关联 对于绳子或杆连接的两个物体，轻杆与轻绳均不可伸长，绳连或杆连物体的速度在绳或杆的方向上的投影相等。求绳连或杆连物体的速度关联问题时，首先要明确绳连或杆连物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳或杆的方向和垂直于绳或杆的方向进行分解，令两物体沿绳或杆方向的速度相等即可求出。

【调研1】【2011年高考上海卷第11题】如图，人沿平直的河岸

以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 ，船的速

率为

A 、v sin α

B 、v sin α

C 、v cos α

D 、v

cos α 【解析】本题考查运动的合成与分解。本题难点在于船的发动机是否在运行、河水是否有速度。依题意船沿着绳子的方向前进，即船的速度就是沿着绳子的，根据绳子连接体的两端物体的速度在绳子上的投影速度相同，即人的速度v 在绳子方向的分量等于船速，故v 船＝v cos α，C 对。

【答案】C

【规律总结】绳端速度的分解是绳端物体（绳端连接体如本题小船）实际速度（对地）的分解，实际速度产生两个效果：一是绳的缩短或伸长；二是绳绕滑轮的转动，且转动线速度垂直于绳。绕过滑轮的轻绳力的特点是两端拉力相等，速度特点是沿绳的伸长或缩短方向速度相等。因此绳子关联的物体的分解方法有两种，①将实际速度分解为沿着绳子方向和垂直绳子方向；②绳子两端的速度在绳子上的投影速度相同，比如本题中绳子左端的速度就是拉力的速度与绳子与船连接端的小船在绳子方向上的投影速度大小相等。

【调研2】如图所示，开始时A 、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控

制物体A 的运动，使其恰好以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮

拉动物体B 在水平面上运动，则下列v －t 图象中，最接近物体B 的运动情况

的是

A B C D

【解析】与物体A 相连的绳端速度v 分解为沿绳伸长方向的速度v 1和垂直于绳方向的速度v 2，则物体B 的速度v B ＝v 1＝v sin θ，在t ＝0时刻θ＝0°，v B ＝0，C 错；之后随θ增大，sin θ增大，B 的速度增大。在A 下落相同距离时，绳子与水平方向之间的夹角逐渐增大，显然θ增大的过程中，由正弦函数图象的斜率可知sin θ的变化率越来越小，故v B 的变化率越来越小，也就是v B －t 图线的斜率越来越小，故A 对。（也可通过数学的导数知识将v B 对时间求

导）

【答案】A

【方法技巧】 在进行速度分解时，要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线．虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v B 才等于v 1，才能找出v B 与v 的关系；而对于速度v B 的变化趋势，则可以由开始和最终作极限情况判断，排除BD 。

【调研3】如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其

端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M ，滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率v M 。

【解析】杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度v A 的方向与杆OA 垂直，在所

考察时其大小为v A ＝ωR

对速度v A 作如图所示的正交分解，沿绳BA 的分量就是物块M 是速率

v M ，则v M ＝v A cos φ

由正弦定理知sin∠OAB H ＝sin αR

由图看出∠OAB ＝π2

＋φ 由以上各式得：v M ＝ωH sin α

【误点警示】本题中与绳子连接的物体有M 和OA 杆，由于OA 杆上各点的线速度不同，但角速度相同，且与绳子连接的位置在A 处，故在处理速度关联时要用A 点的线速度进行分解。分解方法依然是沿着绳子方向和垂直绳子方向分解。 连接媒介之二：接触物体间的关联

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

【调研5】如图所示，轻杆的下端用铰链固接在水平面上，上端固定一个质量为m 的小球，轻杆处于竖直位置，同时与一个质量为M 的长方体相接触。由于微小扰动使杆向右侧倒下，当小球与长方体分离时，杆与水平面的夹角为30°，且杆对小球的作用力恰好为零，求M m

。不计一切摩擦。

【解析】在杆从竖直位置开始倒下到小球与长方体恰好分离的过程中，小球和长方体组成的系统机械能守恒，设杆长为L ，小球和长方体的速度分别为v 、u ，则

mgL (1－sin30°)＝12mv 2＋12Mu 2

分离时刻，小球只受到重力，由向心力公式及牛顿第二定律：mg sin30°＝mv 2L

此时小球与长方体的水平速度相同，即：v sin30°＝u

联立解得 M m ＝4

【拓展提升】本题中分离的瞬间小球与长方体的速度是不相同的。小球的运动参与了两个运动，两个速度分别是绕着转动点转动的线速度和与长方体一起想右运动的速度。实际上本题多给了一个条件：分离时杆对小球的作用力为零。这个条件可以这么理解：分离时长方体水平方向不受力作用，故加速度为零，则小球的水平加速度也必定为零，小球没有水平加速度，就不可能有水平的合力，此时若存在杆的弹力，则杆的弹力必定产生水平分力，出现矛盾，只有杆的弹力为零才能符合。故分离时杆的弹力为零是多余的条件。

【调研6】一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个

小球A ，靠在一个质量为m 0，高为h 的物块上，如图所示。若物块与地面

摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A 。（此时杆

与水平方向夹角为θ）

【解析】选取物体与棒的接触点B 为连结点。（不直接选A 点的原因是因为A 点

与物块速度v 的关系不明显）。因为B 点在物块上，该点运动与物块运动一致，故B 点的合速度（实际速度）就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2。因此，将这个合速度（实际速度）沿棒方向及垂直于棒方向进行分解，如图所示，由速度矢量分解图及几何关系可得：v 2＝v s in θ。

设此时OB 长度为a ，则a ＝h

sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω＝v 2a

＝v sin 2θh ，故A 的线速度v A ＝ωL ＝vL sin 2θh

。 【误点警示】本题到底是将物块的速度分解还是将B 点的速度分解是同学们的最大困惑。掌握的方法有两种，一种就是看效果：物体实际的速度分解为连接媒介的两个效果，本题中B 点一边沿着杆向上运动速度v 1，一边绕O 点转动的速度v 2；另一种就是看投影：媒介所连接的对象在媒介上的投影速度相同。

【调研7】一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度v 0匀速运

动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆

运动的速度。

【解析】设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP 方向，所以v 0、v 1在OP 方向的投影相等，即有 v 0sin θ＝v 1cos θ，解得v 1＝v 0tan θ 。

【学法指导】本题中对于杆我们能够看到的就是杆向上运动，这就是实际的运动速度方向，而半圆柱体的实际运动方向是水平向右，两个速度关联必须明确两个接触物体的弹力方向，即关联这两个速度的方法就是OP 方向的投影速度相同。

【调研8】如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角

为θ＝37°。一个“Π”的物体B 靠在斜面体的前后两侧，并可在水平面

上自由滑动而不会倾斜，B 的质量为M ＝2kg 。一根质量为m =1kg 的光滑细

圆柱体A 搁在B 的竖直面和斜面之间。现推动B 以水平加速度a ＝4m/s

2向右运动，并带动A

沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑

圆柱体的滚动，g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

（1）圆柱体A 的加速度大小；

（2）B 物体对A 的推力F 的大小；

（3）当A 被缓慢推至离地高为h ＝1m 的P 处时停止运动，放手后A 下滑时带动B 一起运动，当到达斜面底端时B 的速度为多大？

【解析】（1）A 的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B 的加速度相同，如图所示。则a A =a cos37°，代入数据解得：a A =5m/s

2

（2）对A ，由牛顿第二定律：F cos37°－mg sin37°＝ma A ，解得：F =13.75N （3）mgh ＝12mv A 2＋12

Mv B 2，又v B ＝v A cos37°，解得：v B ＝32057m/s≈2.4m/s 【方法点拨】A 球的速度沿着斜面向上，这是实际速度，也称为合速度，从实际效果来看A 球一边向右运动，一边向上运动，当然加速度也可以这么分解。看来理解什么是实际速度是关联体中的关键环节。

连接媒介之三：皮带或齿轮的关联

凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

【调研9】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，

b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、

c 、

d 各点的线速度之比、角

速度之比、加速度之比。

【解析】a 与c 轮属于皮带轮，则线速度相同v a ＝v c b 、c 、d 三个轮子属于同轴轮，则角速度相同，ωb ＝ωc ＝ωd

由v ＝ωR ，故v b ∶v c ∶v d ＝1∶2∶4，

联立可得v a ∶ v b ∶v c ∶v d ＝2∶1∶2∶4，且ωa ∶ωb =2∶1，

故ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd ＝2∶1∶1∶1；

根据a ＝v ω，可得a a ∶a b ∶a c ∶a d ＝4∶1∶2∶4 【规律总结】要弄清楚什么叫皮带或链条连接的轮子，什么叫具有同轴的轮子。知道皮带轮边缘的线速度相同，而同轴轮的角速度相同，

再根据线速度、角速度及加速度的公式关系，这类

问题即可迎刃而解。 【调研10】一种手压式自发电充电手电筒，传动装置由手压杠杆和四个齿轮组成，如图所示，其中齿轮A 与手压杠杆共轴，齿轮B 、C 共轴，齿轮D

与微型发电机共轴。每秒钟下压杠杆两次，带动发

电机转动发电即可使发光组件正常发光。已知齿轮半径r A ＝9r B 、r C ＝10r B 、r B ＝r D ，每下压一次杠杆转动的角度为30°，设杠杆下压和复位时间相等，手压杠杆复位时发电机由于惯性继续转动，则发电机转动时的转速最接近（ ）

A 、60r/min

B 、90r/min

C 、120r/min

D 、180r/min D B C

A

【解析】手压杠杆每秒下压两次，每次杠杆转过30°角，故与杠杆共轴的齿轮A 在每次

下压时转过112r ，用时14s ，因此杠杆及齿轮A 的转速为n A ＝1/121/4r/s ＝13

r/s ，A 、B 两轮由齿轮传动，齿轮边缘线速度相等，由v ＝r ω，且ω＝2πn ，得n B n A ＝r A r B ，即转速与半径成反比，解得n B ＝3r/s ，B 、C 两齿轮共轴，转速相等，同理可得C 、D 两齿轮转速关系为n D ＝30r/s ＝180r/min ，D 正确。

答案：D 易错警示：本题设计贴近生活，试题将齿轮传动是接触传动与同轴传动相结合，“手压杠杆每次转过30°角”的时间是关注的焦点之一，若将每秒下压两次，认为每次时间为0.5s ，则易错选C 项。

【误点警示】本题中齿轮传动是接触传动（链轮）与同轴传动，“手压杠杆每次转过30°角”的时间是理解的关键点。

【拓展训练】

1、（2011届武汉市11月调考）如图所示，水平地面上有一楔形物块a ，其斜面上有一小物块b ，b 与平行于斜面的细绳的一端相连，细绳的另一端固定在斜面上。a 与b 之间光滑，a 和b 以共同速度在地面轨道的光滑段向左匀速运动。当它们刚运行至轨道的粗糙段时

A 、绳的张力减小，地面对a 的支持力不变

B 、绳的张力减小，地面对a 的支持力增加

C 、绳的张力增加，斜面对b 的支持力不变

D 、绳的张力增加，斜面对b 的支持力增加

1、A B 【解析】若a 、b 能一起在粗糙段匀减速运动，则竖直方向整体平衡，地面对a 的支持力依然等于两者的重力之和，A 对；若在粗糙段a 向左匀减速运动，而b 沿着斜面相对a 向上运动，则b 具有竖直向上的分加速度，属于超重状态，则整体在竖直方向超重，故地面对a 的支持力比两者重力之和大，B 对；不管是上述的a 、b 一起匀减速运动还是b 相对a 沿着斜面向上运动，对b 受力分析可知，b 的水平方向原来处于平衡状态，则绳子张力T 的水平分力T x 1＝N x 1，且T y 1＋N y 1＝m b g ，而运行至粗糙段上时b 具有向右的加速度，故T x 2＜N x 2，且T y 1＋N y 1≥m b g ，显然b 受到的绳子拉力T 一定减小，受到的支持力N 一定增大。综上可得绳子张力一定减小，地面对a 的支持力可能不变也可能增加，而斜面对b 的支持力一定增加，C 、D 均错。

2、水平面上有一带圆弧形凸起的长方形木块A ，木块A 上的物体B

用绕过凸起的轻绳与物体C 相连， B 与凸起之间的绳是水平的。用一

水平向左的拉力F 作用在物体B 上，恰使物体A 、B 、C 保持相对静止，

如图。已知物体A 、B 、C 、的质量均为m ，重力加速度为g ，不计所有

的摩擦，则拉力F 应为多大？

2、【解析】设绳中张力为T ，A 、B 、C 共同的加速度为a ，与C

相连部分的绳与竖直线夹角为α，由牛顿运动定律，对A 、B 、C 组

成的整体有F=3ma

对B 有 F-T=ma

对C 有 Tcos α=mg Tsin α=ma

联立得：T=2ma T 2=m 2(g

2+a 2)

故

a g =

，F =

3、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机

的上端有一半径r 0＝1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车

车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转

动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R 1＝35cm ，小齿轮的半径R 2＝4.0cm ，大齿轮的半径R 3＝10.0cm 。求大齿轮的转速n 1和摩擦小轮的转速n 2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

3、【解析】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v =2πnr 可知转速n 和半径r 成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n 1∶n 2=2∶175。

4、某机械打桩机原理可简化为如图所示，直角固定杆光滑，杆上套有m A ＝55kg 和m B ＝80kg 两滑块，两滑块用无弹性的轻绳相连，绳长为5m ，开始在外力作用下将A 滑块向右拉到与水平夹角为37°时静止释放，B 滑

块随即向下运动带动A 滑块向左运动，当运动到绳与竖直方向夹角为37°

时，B 滑块（重锤）撞击正下方的桩头C ，桩头C 的质量m C ＝200kg 。碰撞

时间极短，碰后A 滑块由缓冲减速装置让其立即静止，B 滑块反弹上升h 1＝0.05m ，C 桩头朝下运动h 2＝0.2m 静止。取g ＝10m/s 2。求：

（1）滑块B 碰前的速度；

（2）泥土对桩头C 的平均阻力。

4、【解析】

设碰前A 的速度为v A ，B 的速度为v B ，由系统机械能守恒定律：

m B g （L sin53°－L sin37°）=12m A v A 2＋12

m B v B 2 物体A 和物体B 沿绳的分速度相等：v A cos53°＝v B cos37° 联立以上两式得：v B ＝3m/s

B 与

C 碰撞动量守恒：m B v B ＝m C v C —m B v B 1

B 碰后竖直上抛：v B 12－0＝2gh 1

联立以上两式得：v C ＝1.6m/s

对C 用动能定理：mgs －fs ＝0－12

m C v C 2 所以f ＝3280N

B ′