2014江苏高三数学一轮复习解答题专项训练4

2014江苏高三数学一轮复习解答题专项训练(四)

1．已知向量m ＝? ????3sin x 4，1，n ＝? ????cos x

4，cos 2x 4.

(1)若m·n ＝1，求cos ? ??

??

2π3－x 的值；

2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．

2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB

＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点．

(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；

(2)求证：CF ∥平面BAE .

3. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万

元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x

150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

(2)若该公司采用模型函数y ＝10x －3a x ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整

数a 的值．

4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P

与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－2

3.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)若OA →·OB

→＝4

tan ∠AOB

(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值；

(2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．

5. (2012·南京学情调研)已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数)． (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；

(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

6．(2012·扬州期末检测)设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1. (1)若b 3＝3，求b 1的值；

(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；

(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－1

2，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值．

参考答案

2014江苏高三数学一轮复习解答题专项训练(四)

1．解 (1)m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x

4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12 ＝sin ? ??

??x 2＋π6＋1

2.

(3分)

因为m·n ＝1，所以sin ? ????x 2＋π6＝12，

故cos ? ????x ＋π3＝1－2sin 2? ????x 2＋π6＝12，

所以cos ? ????2π3－x ＝－cos ? ??

??

x ＋π3＝－12. (6分)

(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，

由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，

所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，

(8分)

又因为A ＋B ＋C ＝π，

所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝π3，0＜A ＜2π

3，

所以π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ? ??

??

A 2＋π6＜1，

(12分)

又f (x )＝m·n ＝sin ? ????x 2＋π6＋1

2，

所以f (A )＝sin ? ????A 2＋π6＋12∈? ?

???1，32，

故函数f (A )的取值范围是? ?

?

??1，32.

(14分)

2．证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，

(2分)

又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，

(4分)

又CD ?平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD .

(7分)

(2)取AE中点G，连接FG，BG.

因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝1

2AD.

(9分)

在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，

所以AC＝1

2AD，所以BC＝

1

2AD.

(11分)

在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，

从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.

综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG.

(13分) 又BG?平面BAE，CF?平面BAE，所以CF∥平面BAE.

(14分) 3．解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：

当x∈[10,1 000]时，

①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；

②f(x)≤9恒成立；

③f(x)≤x

5恒成立．

(2分)

对于函数模型f(x)＝

x

150＋2.

当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，

(3分)

f(x)max＝f(1 000)＝1 000

150＋2＝

20

3＋2＜9.

所以f(x)≤9恒成立．

但x＝10时，f(10)＝1

15＋2＞

10

5，即f(x)≤

x

5不恒成立，

故该函数模型不符合公司要求．

(6分)

(2)对于函数模型f (x )＝

10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20

x ＋2，

当3a ＋20＞0，即a ＞－

20

3

时递增； (8分)

要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，

即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥982

3；

(10分)

要使f (x )≤x

5对x ∈[10,1 000]恒成立， 即

10x －3a x ＋2

≤x 5，x 2

－48x ＋15a ≥0恒成立，

所以a ≥192

5.

(12分)

综上所述，a ≥982

3，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328.

(14分)

4．解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－2

3，

又点P 在椭圆上，则(3－x 2)b 23(x 2－3)＝－b 23＝－2

3，

∴b 2＝2，

∴椭圆C 的方程是x 23＋y 2

2

＝1.

(3分)

∵OA →·OB

→＝4

tan ∠AOB

，

∴|OA →|·|OB

→|cos ∠AOB ＝4

tan ∠AOB

，

∴|OA →|·|OB

→|sin ∠AOB ＝4，

∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB →

|sin ∠AOB ＝2，

又S △AOB ＝1

2|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.

(7分)

(2)假设存在一点Q (m,0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零，

直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，

由????

?

y ＝k (x －1)，x 23＋y 2

2

＝1消去y 得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，

(9分)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 2

3k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2.

∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，

∴k QA ＋k QB ＝0，即

y 1x 1－m ＋y 2

x 2－m

＝0， (13分)

又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，

代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，

∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 2

3k 2＋2＝0，即2m －6＝0，∴m ＝3，

∴存在Q (3,0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角．

(16分)

5．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1

x ，

(2分)

所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.

所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，

即：y ＝2x .

(6分)

(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x ＝2x 2

－(1＋2a )x ＋a x ＝(2x －1)(x －a )

x

(x ＞

0)，

由f ′(x )＝0，得x 1＝1

2，x 2＝a ，

(8分)

①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或1

2＜x ＜1 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜1

2，

所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和? ????12，1，单调减区间是? ?

?

??a ，12，

(10分)

②当a ＝12时，f ′(x )＝(2x －1)2

2x ≥0，且仅当x ＝1

2时，f ′(x )＝0，

所以函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数．

(11分)

③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜1

2或a ＜x ＜1， 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得1

2＜x ＜a ，

所以函数f (x )的单调增区间是? ????0，12和(a,1)，单调减区间是? ??

??12，a ， (13分)

④当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜1

2， 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得1

2＜x ＜1，

所以函数f (x )的单调增区间是? ????0，12，单调减区间是? ??

??

12，1.

(16分)

6．(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ， ∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，

∴b 1＝－1；

(3分)

(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，(5分)

∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数，

∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列．

(7分)

(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 2…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式

∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)．

(9分)

∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝3

2，b n ＋3＝b n ，

∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝3

4T 1， T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝3

4T 3， ……

T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋ T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3

＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝3

4(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )(n ∈N *)是等比数列，

首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝3

4，

(11分)

记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ， ①当n ＝3k (k ∈N *)时，

S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )

＝

34??????1－? ????34k 1－34＝3??????

1－? ????34k

∴3

4≤S n ＜3；

(13分)

②当n ＝3k －1(k ∈N *)时

S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k

＝3??????1－? ????34k －(b 1b 2b 3)k

＝3－4·

? ????34k

∴0≤S n ＜3

(14分)

③当n ＝3k －2(k ∈N *)时

S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3??????1－? ????34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3??????1－? ????34k －12? ????34k －1－? ????34k ＝ 3－143·? ????34k

，

∴－1

2≤S n ＜3

(15分)

综上得－12≤S n ＜3则p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为7

2.

(16分)