欧拉多面体公式

多面体欧拉公式的历史、建立过程和方法

古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。在很长的历史时期里,这个问题没有解决。后来,人们逐渐认识到,依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算,这个问题难以解决,而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手,有可能获得成功。

1639年,笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采用不完全归纳法,猜测到:顶点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也就是:V+F-E=2。后来,他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想,但是没有给出严格的证明,也没有发表。

1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣,是要用它来做多面体的分类。[1]但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。 欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n 边形的内角和为π)2(-n ,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。那么，推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢?欧拉就这样由类比提出了问题。 欧拉证明如下：

一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每个顶点处,有一个由相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角。欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为

∑δ）及所有立体角之和(记为∑ω),看它们是否有某种简单的性质。

欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。

(1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。

(2)四面体退化成一个平面凸四边形和它的两条对角线(图3)。

对于情形(1)(图2),三角形三边处的二面角皆为0，内部三条线段处的二面角皆为π，所以∑=πδ3.三角形三个顶点处立体角皆为π,内部顶点处的立体角等于2π(即半个单

位球面的面积,球面面积为24r π),所以∑=πω2。

对于情形(2)(图3),四边形四条边处的二面角皆为O,两条对角线处的二面角皆为π,所以∑=πδ2.四个顶点处的立体角皆为0,所以∑=0ω.

可见四面体的二面角之和与立体角之和都与四面体的形状有关,没有类似于三角形内角和定理这样简单的性质.多么令人失望啊,然而欧拉并没有就此止步,因为还有面角和尚未考察呢.

记多面体的面角和为

∑α,欧拉先考察四面体.四面体由四个三角形围成,所有面角之 和πα4=∑,与四面体的形状无关.这个结果对欧拉是一个鼓舞.继续考察五面体.

五面体(一)(图4)由两个三角形和三个四边形围成,所有面角之和

πππα8)24(32=-?+?=∑

五面体(二)(图5)由一个四边形和四个三角形围成,所有面角之和

πππα64)24(=?+-=∑

这两个∑α不等,说明面角和不能简单地由面的个数来决定.

欧拉接着又考察了几个多面体,看能不能从中发现什么规律?

立方体(图6)由六个正方形围成,所有面角之和ππα12)24(6=-?=∑

正八面体(图7)由八个三角形围成,所有面角之和

ππα88=?=∑ 五棱柱(图8)由两个凸五边形和五个平行四边形围成,所有面角之和

πππα16)24(5)25(2=-?+-?=∑

尖顶塔形(图9)是在立方体上加一个四棱锥,由五个正方形和四个三角形围成,所有面角之和πππα144)24(5=?+-?=∑

从上述数据能发现什么规律吗?欧拉发现虽然它们都不相等,但都小于πV 2（此处V 是 多面体的顶点数),且与πV 2的差是一个常数∑=-

παπ42V 。将观察所得材料进行归纳,寻找和发现规律,决不是一种简单的一眼就能看出的事情,在这里,如何进行归纳是能否发现规律的关键.欧拉把观察所得面角和与ZV 二进行比较,表现了非凡的创造性,导致了发现.

欧拉认为上述结果不像是偶然的巧合,因为在考察的多面体中,既有规则的(例如立方 体、正四面体和正八面体)也有不规则的(例如五面体(一)和(二))以及五棱柱和尖顶塔形.于是欧猜想:对于任意凸多面体有

∑-=ππα42V (1)

即多面体的面角和由它的顶点数完全决定.注意,这只是一个猜想.

欧拉接着又考察了一些多面体,结果可以列成下表.

所得结果均支持上述猜想，这些虽然增加了猜想成立的可能性，但欧拉明白这还不是对一般情形的证明。

接下来,欧拉从另一角度计算多面体的面角和∑α.

设多面体各个面多边形的边数分别为F S S S S ,,,,321 此处F 是多面体的面的个数.于是乏ππππα)2()2()2()2(2121F S S S S S S F F -+++=-++-+-=∑ 其中E S S S F 221=+++ 。是多面体所有F 个面多边形的边数的总和.在这个总和中,多面体的每一条棱恰好被计算了两次(因为每一条棱都是相邻两个面的公共边).设多面体的棱数为E,于是有E S S S F 221=+++ 。

因此得到∑-=πα)(2F E (2)

即多面体的面角和由它的棱数和面数完全决定.注意,关系式(2)是经过证明得到的结论,而不是猜想.

欧拉综合了猜想(1)和事实(2)(从这两个式子中消去

∑α)得到V-E+F=2 （3)

因此(3)仍然是一个猜想,尚需要证明.

上述发现公式(3)的过程,基本上是按照欧拉关于这个问题的一篇论文叙述的.欧拉在 这篇论文中没有给出公式的证明.在另一篇论文中,欧拉试图给出证明,但证明中有一个很 大的漏洞.

下面介绍波利亚的书中给出的与前面的讨论很接近的一个证明.

注意到,将一个多面体连续地变形(例如使多面体变得更倾斜)时,多面体各面的交线(即棱)和各面的交点(即顶点)的位置也会连续地变化,但多面体的总体结构,即多面体的面、棱

和顶点之间的相互关系不会改变,于是面数F,棱数E 及顶点数F 也不会改变.虽然各个面角可能会改变,但前面已经证明∑-=)(2F E πα,即面角和∑α是不会改变的.下面将多面

体连续地变形到一个非常极端的情形来计算

∑α(我们对一般情形的多面体来证明,但我们心中可以具体想着一个立方体).

以多面体的一个面为底,将其适当扩大,扩大到使其余F 一1个面向底面的正投影全都落在该底面内,然后将该多面体垂直压向底面.于是多面体被“压平”为两个重叠在一起的多边形.上下两块的外轮廓线互相重合.下面一块是整块(即底面),上面一块分成F-1个多边形,每个小多边形都是原来多面体的一个面.例如以立方体的一个面ABCD 为底面,压平后的图形如图10.

现在来计算压平后的多面体的面角和∑α.设上下两块共同的轮廓线的边数为m.于是下面一块(底面多边形)的直角和为π)2(-m .上面一块的面角和分为两部分,在边上m 个顶点处的面角和为π)2(-m ,在内部(V 一m)个顶点处的面角和为π2)(m V -.于是

πππππα422)()2()2(-=-+-+-=∑V m V m m

这就证明了前面的猜想(1).再由前面已经得到的

∑-=)(2F E πα,也就证明了猜想(3)

V-E+F=2.

1811年,法国数学家柯西利用不变量的思想,重新给出了这个公式的证明。

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的法国科学家柯西给出，大致如下: 从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数) F ? E + V 的额外变换。 1.若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角型。

2. （逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

3. 除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持定点数不变。重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形。对于一个三角形F = 2 (把外部数在内), E = 3, V = 3。所以F ? E + V = 2。证毕。

1813年,瑞士数学家吕利埃发现欧拉公式并非对任何多面体都成立。例如,一个正立方体中挖去一个小立方体,则:V+F-E=4

如果把小立方体上下都挖通,则:V+F-E=0

吕利埃发现了欧拉公式成立的条件,那就是多面体必须是凸多面体。一个多面体,如果上面没有洞”,使得它的表面能连续地变形为一个球面,就是凸多面体。

1847年,德国数学家施陶特简化了多面体欧拉公式的证明,现在一般拓扑学课本上都是用施陶特的证明。

后来,法国数学家彭加莱(1854-1912)又用拓扑思想重新考察了多面体的欧拉公式,认识到这一公式是一个典型的拓扑性质定理。

发现多面体欧拉公式的方法主要是归纳法，还有类比法。拉普拉斯说:“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比。”

归纳法是从观察和实验得来的许多个别的事实材料中推出一般性结论的思维方法。归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。不完全归纳法的步骤是:观察——归纳——猜想。发现多面体的面数(F)顶点数(V)和棱数(E)之间的关系,就先从观察入手,拿几个多面体来,数一数它们的面数、顶点数和棱数,列成一个表,例如

在观察这些特例数据的基础上,进行归纳,得出猜想:对于任何多面体来说,面数加顶点数减棱数等于2,即:F+V-E=2

但是,由于数据太少,靠少量数据得出的公式难以令人信服。可能欧拉还会通过多面体的“生成法”进一步去考虑这个问题。例如,在四面体或六面体之外,加一个顶点,使它和靠近那一面的各个顶点联起来,作成一个新的多面体。然后,再考虑F、V、E的变化情况,结果发现(F+V)和E的增加数相同,所以公式中F+V-E的数值保持不变。

一般说来,设想多面体外增加一点A和靠近它的那一面(例如有n个顶点的面)的各顶点联起来,这就增加了n个边,也就是E增加了数目n;另一方面,又增加了(n-1)个面,外加顶点A、(F+V)的数值也增加了(n-1)+1=n,因此, (F+V)-E总保持不变。可以相信,欧拉正是通过观察——归纳——猜想才得出多面体欧拉公式的。

类比法是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似之点后,推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方法。多面体可以和多边形类比,正如一个多边形是平面的一部分一样,一个多面体是空间的一部分。一个多边形有确定的顶点数V和确定的棱数(边数)E,很显然。

V=E

这个关系式对凸多边形成立。而关系式V+F-E=2适用于一切凸多面体。

多面体是三维的,它的面(多边形)是二维的,它的棱是一维的,它的顶点是0维的。将多边形顶点和棱的关系式改写成:

V-E+1=1 (1)

将多体顶点、棱和面的关系式改写成:

V-E+F-1=1 (2)

等式(1)对于多边形来说,显然是正确的。将它与多面体对应的等式(2)类比,增加了人们对于这一猜想的信心。