例9 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ，求a n . 【解】 由特征方程x 2=4x -4得x 1=x 2=2. 故设a n =(α+βn )·2n -1，其中?í
ì′+=+=2
)2(63b a b
a ，
所以α=3，β=0， 所以a n =3·2n -1.
例10 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ，求通项a n . 【解】 由特征方程x 2=2x +3得x 1=3, x 2=-1,
所以a n =α·3n
+β·(-1)n
，其中?
íì+=-=b a b
a 9633，
解得α=43，β4
3-=， 所以11)1(3[4
1
++-+=n n n a ·3]。 5．构造等差或等比数列。
例11 正数列a 0,a 1,…,a n ,…满足212----n n n n a a a a =2a n -1(n ≥2)且a 0=a 1=1，求通项。
【解】 由12122----=-n n n n n a a a a a 得
2
112----n n n n a a
a a =1， 即.121211
÷÷?
???è?+=+---n n n n a a a a
令b n =
1-n n a a +1，则{b n }是首项为0
1a a
+1=2，公比为2的等比数列， 所以b n =
1-n n a a +1=2n ，所以1
-n n a a
=（2n -1）2， 所以a n =1-n n a a ·21--n n a a …12a a ·01
a a ·a 0=?=-n k k 1
2.)12(
注：?==n
i i C 1
C 1·C 2·…·C n .
例12 已知数列{x n }满足x 1=2, x n +1=n
n x x 22
2
+,n ∈N +, 求通项。
【解】 考虑函数f (x )=x x 222+的不动点，由x
x 22
2+=x 得x =.2±
因为x 1=2, x n +1=n
n x x 22
2
+,可知{x n }的每项均为正数。
又2
n x +2≥n x 22，所以x n +1≥2(n ≥1)。又
X n +1-2=2222-+n n x x =n
n x x 2)2(2
-, ①
X n +1+2=2222++n n x x =n
n x x 2)2(2
+, ②
由①÷②得2
112222úú?ù
êê?é+-=+-++n n n n x x x x 。 ③
又
2
211+-x x >0，
由③可知对任意n ∈N +，22
+-n n x x >0且úú?
ù
êê?é+-=úú?ùêê?é+-++22lg 222lg 11n n n n x x x x , 所以úú?ùêê
?é+-22lg n n x x 是首项为ú?ù
ê?é+-2222lg ，公比为2的等比数列。
所以1
2
2
2lg
-=+-n n n x x ·ú?
ùê?é+-2222lg ，所以=+-22n n x x 1
22222-?ù
ê?é+-n ，
解得2=n x ·
1
1
112222)
22()
22()22()22(------+-++n n n n 。
注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题
1． 数列{x n }满足x 1=2, x n +1=S n +(n +1)，其中S n 为{x n }前n 项和，当n ≥2时，x n =_________.
2. 数列{x n }满足x 1=2
1，x n +1=
2
32+n n
x x ,则{x n }的通项x n =_________. 3. 数列{x n }满足x 1=1，x n =12
1-n x +2n -1(n ≥2)，则{x n }的通项x n =_________.
4. 等差数列{a n }满足3a 8=5a 13，且a 1>0, S n 为前n 项之和，则当S n 最大时，n =_________.
5. 等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10=10，S 30=70，则S 40=_________.
6. 数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1(n ≥2)，x 1=a , x 2=b , S n =x 1+x 2+…+ x n ，则S 100=_________.
7. 数列{a n }中，S n =a 1+a 2+…+a n =n 2-4n +1则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=_________.
8. 若
1
25313322
11-+==+=+=+n x x x x x x x x n n L ，并且x 1+x 2+…+ x n =8，则x 1=_________.
9. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若
132+=n n
T S n
n ，则n
n
n b a ￥?lim
=_________. 10. 若n !=n (n -1)…2·1, 则!1)1(22007
1
n n n n n
++-?==_________.
11．若{a n }是无穷等比数列，a n 为正整数，且满足a 5+a 6=48, log 2a 2·log 2a 3+ log 2a 2·log 2a 5+ log 2a 2·log 2a 6+ log 2a 5·log 2a 6=36，求t
yü
?íìn a 1的通项。
12．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{n
b a }是公比为q 的
等比数列，且b 1=1, b 2=5, b 3=17, 求：（1）q 的值；（2）数列{b n }的前n 项和S n 。
四、高考水平训练题
1．已知函数f (x )=????
?
??íì3-÷?
?
?è?<<-÷
???è
?
￡+)
1(11211
22121
x x x x x x ，若数列{a n }满足a 1=37，
a n +1=f (a n )(n ∈N +)，则a 2006=_____________.
2．已知数列{a n }满足a 1=1, a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2)，则{a n }的通项a n =?í
ì3=)
2()
1(1
n n . 3. 若a n =n 2+n l , 且{a n }是递增数列，则实数l 的取值范围是__________.
4. 设正项等比数列{a n }的首项a 1=2
1
, 前n 项和为S n , 且210S 30-（210+1）
S 20+S 10=0，则a n =_____________.
5. 已知3
1
)1(33lim 1=-++￥?n n n n a ，则a 的取值范围是______________.
6．数列{a n }满足a n +1=3a n +n (n ∈ N +) ，存在_________个a 1值，使{a n }成等差数列；存在________个a 1值，使{a n }成等比数列。
7．已知402
401--=
n n a n (n ∈ N +)，则在数列{a n }的前50项中，最大项与
最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9. 设{a n }是由正数组成的数列，对于所有自然数n , a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则a n =____________.
10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11．已知数列{a n }中，a n 10，求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是
1
1143322111111++=++++n n n a a a a a a a a a a L （n ≥2）①恒成立。
12．已知数列{a n }和{b n }中有a n =a n -1b n , b n =
2
1
1
1---n n a b (n ≥2), 当a 1=p , b 1=q (p >0, q >0)且p +q =1时，（1）求证：a n >0, b n >0且a n +b n =1（n ∈N ）；（2）求证：a n +1=
1
+n n
a a ；（3）求数列.lim n n
b ￥?
13．是否存在常数a , b , c ，使题设等式 1·22+2·32+…+n ·(n +1)2=
12
)
1(+n n (an 2+bn +c ) 对于一切自然数n 都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{x n }满足x 1=1, x n =
7
22
411++--n n x x ，则通项x n =__________.
3. 设数列{a n }满足a 1=3, a n >0，且5
123-=n n a a ，则通项a n =__________.
4. 已知数列a 0, a 1, a 2, …, a n , …满足关系式(3-a n +1)·(6+a n )=18，且a 0=3，则?
=n
i i
a 01
=__________. 5. 等比数列a +log 23, a +log 43, a +log 83的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之
和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7. 数列{a n }满足a 1=2, a 2=6, 且
1
12++++n n
n a a a =2，则 =+++￥
?2
21lim
n a a a n
n L ________.
8. 数列{a n } 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a 0=0, {a n +1-qa n }构成公比为q 的等比数列，q 称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h ∈N +，数列{a n }定义为：a 0=1, a n +1=???íì+为奇数
为偶数n n
n n a h a a a 2
。问：
对于怎样的h ，存在大于0的整数n ，使得a n =1？
10．设{a k }k ≥1为一非负整数列，且对任意k ≥1，满足a k ≥a 2k +a 2k +1，（1）求证：对任意正整数n ，数列中存在n 个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。 11．求证：存在唯一的正整数数列a 1,a 2,…,使得 a 1=1, a 2>1, a n +1(a n +1-1)=
.11
13
22
-+-++n n n n a a a a
六、联赛二试水平训练题
1．设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字只能取1，3或4，求证：a 2n 是完全平方数，这里n =1, 2,…. 2．设a 1, a 2,…, a n 表示整数1，2，…，n 的任一排列，f (n )是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a 1=1; ②|a i -a i +1|≤2, i =1,2,…,n -1。 试问f (2007)能否被3整除？
3．设数列{a n }和{b n }满足a 0=1,b 0=0，且
???í
ì=-+=-+=++.
,2,1,0,478,
36711L n b a b b a a n n n n n n 求证：a n (n =0,1,2,…)是完全平方数。
4．无穷正实数数列{x n }具有以下性质：x 0=1，x i +1n
n x x x x x x 2122
1120-+++L ≥3.999均成立； （2）寻求这样的一个数列使不等式n
n x x x x x x 2122
112
0-+++L <4对任一n 均成
立。
5．设x 1,x 2,…,x n 是各项都不大于M 的正整数序列且满足x k =|x k -1-x k -2|(k =3,4,…,n )①.试问这样的序列最多有多少项？
6．设a 1=a 2=31，且当n =3,4,5,…时，a n =2
2
12212
1
242)21(------+--n n n n n n a a a a a a , (ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(ⅱ)求证：
21
-n
a 是整数的平方。 7．整数列u 0,u 1,u 2,u 3,…满足u 0=1，且对每个正整数n , u n +1u n -1=k u u ，这里k 是某个固定的正整数。如果u 2000=2000，求k 的所有可能的值。 8．求证：存在无穷有界数列{x n }，使得对任何不同的m, k ，有|x m -x k |≥
.1
k
m - 9.已知n 个正整数a 0,a 1,…，a n 和实数q ，其中0（2）q <
k
k b b 1+(k =1,2,…,n )； （3）b 1+b 2+…+b n <
q
q
-+11(a 0+a 1+…+a n ).
初中数学竞赛辅导讲义
初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 ［知识点击］ 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 ［例题选讲］ 例1?化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1— (x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1 --- — ---------- ---- 十 x 1 x 2 x 2 1,1 1 ----- 十 ------ — ----- x 3 x 3 x 4 例2. 解：原式二 i (x 1)(x 2)
x y kz(1) 解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2) 亠z y x =2 或x+y+z=O y z kx(3) (1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1 例3.设 2 1， 求 x mx 1ft x 1 4 2 2 x m x 的值。 1 解：显然2 X 0,由已知x mx 1 “ =1 , x 贝y x +丄= x m + 1 4 2 2 .x m x 1 (2) x + 1) 2-2 x -m 2 2 ???原式二 一 2m 1 =(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1 例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值
解: 1- a =0 二a =1 例5:设n为正整数，求证 1111 ++ …....+v 1 3 15(2n1)( 2 n 1) 2 证：左边=1(1 - 1 1-1 + ??…? +1-1 ) 23352n 12n 1 1(1-1) 22n1 1
高中数学竞赛数列问题
高中数学竞赛数列问题 一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系 1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次） 2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2， 且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有 a n =c 1x 1n +c 2x 2n ，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即 ???+=+=2 222112 2 2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111 2 10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题） 定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有 a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。 例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的 通项公式 2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+= --+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 3，.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列 {}n a 的通项公式 四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点1 0--= a b x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），
高一数学竞赛培训讲义：最大公约数和最小公倍数(学生)
第三节 最大公约数 定义1 整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数．不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k )． 由于每个非零整数的约数的个数是有限的，所以最大公约数是存在的，并且是正整数． 如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果 (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ， 则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）． 显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2． 定理1 下面的等式成立： (ⅰ) (a 1, a 2, , a k ) = (|a 1|, |a 2|, , |a k |)； (ⅱ) (a , 1) = 1，(a , 0) = |a |，(a , a ) = |a |； (ⅲ) (a , b ) = (b , a )； (ⅳ) 若p 是素数，a 是整数，则(p , a ) = 1或p ∣a ； (ⅴ) 若a = bq + r ，则(a , b ) = (b , r )． 由定理1可知，在讨论(a 1, a 2, , a n )时，不妨假设a 1, a 2, , a n 是正整数，以后我们就维持这一假设． 定理2 设a 1, a 2, , a k ∈Z ，记 A = { y ；y =∑=k i i i x a 1，x i ∈Z ，1 ≤ i ≤ k }． 如果y 0是集合A 中最小的正数，则y 0 = (a 1, a 2, , a k )．
高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=
高中数学竞赛讲义_复数
1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高中数学竞赛_数列【讲义】
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。b 不能被a 整除，记作a b. 2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,01且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。 6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。 7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。 8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m a ≡1(modm), (m)称欧拉函数。 10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k a a p p p m 2121 ，则 (m)=.)11(1 k i i p m 11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'1M M 1b 1+'2M M 2b 2+…+'k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =i m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。 例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。 2．不等分析法。 例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2有正整数解。
数学竞赛教案讲义排列组合与概率
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。
高中数学竞赛专题讲座数列
高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记
高中数学竞赛标准教材讲义函数教案
第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1)f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间． （2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． （3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期． 定义8 如果实数a a }记作开区间（a ， +∞集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞，a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ，y )|y =f (x )， x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域．通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ，b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对 称；（5）与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y =f -1 (x )的图象关于直线y =x 对称；（7）与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称． 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y = x -21 ， u=2-x 在（-∞，2）上是减函数，y = u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x -21在（-∞，2）上是增函数． 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的． 二、方法与例题
初中数学竞赛辅导讲义全
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义（五） ──数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式 a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B 至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.
定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n 项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。 定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是 人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
高中数学竞赛讲义-涂色问题 新人教A 版
§29涂色问题 涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。有些问题，本来就属于图论的内容。有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。 1．小方格染色问题 最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧. 2．线段染色和点染色 (1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边 染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解. （2）点染色.先看离散的有限个点的情况. 例题讲解 1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。 2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3 的六方格矩形内恰好2个红方格。试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？ 3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换
两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。 4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。 5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。 6．设a1，a2，a3……是一个不减的正整数序列，定义b m是使a n≥m的n的最小值，若a19=85，试求a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85的值。 7．有1987块玻璃片，每块上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色。 （1）求证：无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少块，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色； （2）求证：玻璃片最后变成哪种颜色，与操作顺序无关。 8．把集合M={1，2，…，1987}的元素用4种颜色涂色，求证：至少存在一种涂色方法，使得M中任何等差数列的10项，不是同一颜色。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
高中数学竞赛讲义_数列
数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
