九上(学生)相似三角形讲义

第1讲相似图形与成比例线段

【学习目标】

1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。

2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。

【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。

【学习难点】成比例线段概念。

【学习过程】

知识点一：比例线段

定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两

条线段的比，如果a c

b d

=，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线

段，简称比例线段。

例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？

解：

练习一：

1、如图所示：（1）求线段比AB

BC、

CD

DE、

AC

BE、

AC

CD

（2）试指出图中成比例线段

2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？

3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？

4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________

5、已知线段a=1

2

、b =23

+、c=23

-、若

a c

b x

=，则x=_________若()0

b y

y

y c

=>，

则y =__________

6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）

A a=3 b=6 c=2 d=4

C a=4 b=6 c=5 d=10

知识点二：比例线段的性质

比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：

（1） 基本性质：如果a c b d

=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形

b d a

c =、a b c

d =、c d a b = （2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d

±±= （3） 等比性质：如果a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么

a c e m a

b d f n b +++

+=+++

+ 例2 填空： 如果

23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -= 练习二：

1、已知

35a b =，求a b a b +-

2、若234a b c ==，则23a b c a

++=_________

3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）

A m x n y =

B m n y x =

C y m x n =

D x y n m = 4、已知570x y -=，则x y

=_______ 5、已知345

x y z ==，求x y z x y z +++-=________

第2讲平行线分线段成比例

【学习目标】

1.理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”表示相似三角形， 如△ABC ∽ △C B A ''';

2. 知道相似多边形的主要特征

3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。

【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别。

【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征进行相关的计算。

【学习过程】

知识点三：平行线分三角形两边成比例线段

(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰

BC 与DE ︰EF 相等吗?

(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．强调

“对应线段的比是否相等”

(3) 归纳总结：

平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的

_______________。

应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EK KF

= =_____、 AB AC

= =______。 求FK 的长?

[活动2]平行线分线段成比例定理推论 思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

A

B C

E K F

2、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的

3、 归纳总结：

平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的 线段 。

例1:如图在ABC ?中,90C ∠=?，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长

解：

例2如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．

分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角

形的性质，有AC

AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据AB

AD BC DE =求出DE 的长． 解：

[巩固练习]

1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD 和BD.

2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

[能力提升]

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，找出对

应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

[归纳]判定三角形相似的（预备）定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

练习2：

1、如图，在Rt ABC

?中，90

C

∠=?，DE⊥AC交AB于D，交AC于E，如果DE=5，AE=12，AC=28.求AB的长

2、在ABC

?中，DE//BC，交AB于D，交AC于E，F为BC上一点，DE交AF于G，已知AD=2BD，AE=5，求（1）

AG

AF

；（2）AC的长